選修4-5 證明不等式的基本方法-綜合法與分析法ppt課件

1、.,2020年9月2日星期三,不等式的證明,.,第二講 證明不等式的基本方法 綜合法與分析法,.,二、綜合法與分析法,例1.已知a,b,c0,且不全相等，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc,分析：觀察待證不等式的特點(diǎn)與重要不等式：,a2+b22ab有關(guān),所以證明可以從這個(gè)重要不等式出發(fā)， 再結(jié)合不等式的性質(zhì)推出.,這就是 綜合法,.,綜合法：,一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫綜合法.,綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч?綜合法的“入手處”是一些重要的不等式：,.,例2.已知a1,a2,.,an

2、R+,且a1a2.an1，求證 (1+a1)(1+a2)(1+an)2n,分析：觀察要證明的結(jié)論，可以聯(lián)想到是由n個(gè)同向不等式相乘得到.,由基本不等式得：,再由條件： a1a2.an1可得結(jié)論,.,例2.已知a1,a2,.,anR+,且a1a2.an1，求證 (1+a1)(1+a2)(1+an)2n,.,變式練習(xí)：,.,點(diǎn)評(píng)：瞄準(zhǔn)目標(biāo)進(jìn)行拆分與組合,.,分析：觀察不等式的特點(diǎn)聯(lián)想n維均值不等式,關(guān)鍵：將右邊的1移至左邊并進(jìn)行“均分”,再用均值不等式即可達(dá)到目標(biāo),.,.,課堂練習(xí):1.已知a,b,c不全相等，且a+b+c=3, 求證：a2+b2+c23,證：由已知得(a+b+c)2=9,即:a2

3、+b2+c2+2(ab+bc+ca)=9,a2+b22ab,由和得93(a2+b2+c2),即a2+b2+c23,又a,b,c不全相等,2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca ,b2+c22bc,a2+c22ca,以上三式相加得2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca,.,小結(jié)：,作業(yè):P251,2,7,8,課堂練習(xí),即綜合法是：由因?qū)Ч?.,分析法,證明命題時(shí)，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法.,這是一種執(zhí)果索因 的思考和證明方法,.

4、,因?yàn)?418成立，,.,例2.已知a0,b0,2ca+b.求證：,分析：原不等式等價(jià)于,又a0,所以，只需證：a2c-b,即：a+b2c,由題設(shè)知a+b2c成立, 原不等式得證.,.,.,.,課堂練習(xí),.,2.證明:當(dāng)周長(zhǎng)相等時(shí),圓的面積比正方形的面積大.,這就證明了，如果周長(zhǎng)相等，那么圓的面積比正方形的面積大,課堂練習(xí),.,課堂練習(xí),.,課堂練習(xí),.,作業(yè)：P263,4,5,6,9,分析法的思路是“執(zhí)果索因”，未知已知 即從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直至找到已知的不等式為止。,小結(jié):,(1)法常用于比較法，綜合法難于 入手的題型 (2)分析法的優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因

5、為它方向明確思 路自然，易于掌握，而綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表述， 條理清楚,形式簡(jiǎn)潔，因而證不等式時(shí)常常用分 析法尋找解題思路，再用綜合法寫出證明過程,.,解:設(shè)f(x)=(1+x)n(1+nx)，則 f(x)=n(1+x)n-1nn(1+x)n-11. 由f(x)=0得x=0,于是 當(dāng)x(-1，0)時(shí),f(x)0，f(x)在(0,+)上遞增. 當(dāng)x=0時(shí)，f(x)最小，最小值為0，即f(x)0 (1+x)n 1+nx.,例4.已知x-1，n2且nN*，比較(1+x)n與1+nx的 大小.,.,例4.已知x-1，n2且nN*，比較(1+x)n與1+nx的 大小.,解:設(shè)t=1+x,則t0,(1+x)n-(1+nx)=tnntn1() 再設(shè)f(t)= tn-nt+n-1,則 f(t)=ntn-1nn(tn-11. 當(dāng)