現(xiàn)代控制理論狀態(tài)空間模型的性質(zhì).pptx

1、現(xiàn)代控制理論 Modern Control Theory (4),俞 立,浙江工業(yè)大學 信息工程學院,建立了狀態(tài)空間模型和傳遞函數(shù)之間的關系。 由傳遞函數(shù)確定狀態(tài)空間模型。,特點：可以有很多個狀態(tài)空間模型，各有特點。 對角型、能控標準型、能觀標準型 由狀態(tài)空間模型確定傳遞函數(shù)。,特點：傳遞函數(shù)是唯一的。,MATLAB提供了一種方便的工具。,狀態(tài)空間模型的性質(zhì),x& = Ax + Bu,傳遞函數(shù)G(s),y = Cx + Du,x 0 2 x, ,x 0,1x 0,&,3,&, ,0 x ,x&,1 0,1,1 =,1 +,1 =,1 +,u, , ,u,1 =,1 +, , , , ,u, ,

2、 ,1 3 x,1 ,x&, 2 3 x,1,x&,x & ,2 x,1, , , , , ,2,2,2,2,2,2,x y = 3 1,x ,x 1,1,y = 0 1,1,y = 2 1 , , ,x,x,x 2, , ,2,2,能控標準型,能觀標準型,對角型,特點：狀態(tài)空間模型不惟一。,問題：針對特殊需要，是否可以找到一些特定結(jié)構(gòu)的 狀態(tài)空間模型，使得分析、設計更加簡單？,狀態(tài)空間模型的性質(zhì),(A, B, C, D)是G(s)的一個實現(xiàn),思考： =,1 +,G(s) C(sI A) B D,若 (A, B, C, D) 也是G(s)的實現(xiàn)，,C I A 1 B + D = G (s),(

3、s,),問題：如何找到特定結(jié)構(gòu)的 (A, B, C, D) 滿足上式？,x& = Ax + Bu,對狀態(tài)空間模型：, ,A =TAT1,y = Cx + Du,考慮狀態(tài)向量的一個線性變換：x = Tx,x = T 1 x,B = TB,1 &,1,T x = AT x + Bu,x& = Ax + Bu y = Cx + Du,&,1,x = TAT x +TBu,1,y = CT x + Du,C = CT1,D = D,1,1,A = TAT , B = TB, C = CT , D = D,1,G(s) = C (sI A) B + D,1,1 1,= CT (sI TAT ) TB +

4、 D,1,1,1,= CT (sI TAT )T B + D,1,= C(sI A) B + D = G(s),也是G(s)的一個實現(xiàn)。,(A, B, C, D),x = Tx,x = Ax + Bu,&,x& = Ax + Bu y = Cx + Du,y Cx Du,= +,1,x = T x,x = Tx 有無窮多個線性變換。,可以通過選取適當?shù)淖儞Q矩陣T，得到需要的等價狀,態(tài)空間模型。,A=TAT1,：對角型、能控標準型、能觀標準型,結(jié)論：等價的狀態(tài)空間模型有無窮多個； 一個傳遞函數(shù)有無窮多個狀態(tài)空間實現(xiàn)。 定理1 等價的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)。,G = C I A 1 B +

5、 D,(s) (s,),Cadj(sI A)B det(sI A),=,+ D,系統(tǒng)極點是分母多項式 det(sI A)的根； 是狀態(tài)矩陣A的特征值。,問題：同一個系統(tǒng)可以用等價的狀態(tài)空間模型來描述， 那么是否可能會有不同的極點呢？,定理2 等價的狀態(tài)空間模型具有相同的極點。,1,det(sI A) = det(sI TAT ),證明：,1,= detT(sI A)T ,1,= det(T) det(sI A) det(T ) = det(sI A),結(jié)論：系統(tǒng)極點、傳遞函數(shù)都是線性變換下的不變量。,變換矩陣的選取：,MATLAB給出了相關函數(shù) sys1=ss(A,B,C,D),sys2=ss

6、2ss(sys1,T) 或 AA,BB,CC,DD=ss2ss(A,B,C,D,T),第2章 系統(tǒng)的運動分析,模型是干什么的呢？ 已知系統(tǒng)模型,x&(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t),=,系統(tǒng)的初始狀態(tài) x(0) x,0,系統(tǒng)的輸入u(t)，,如何確定系統(tǒng)在任意時間 t 時的狀態(tài)x(t)、輸出y(t)？ 模型的作用之一：分析（預測） 相當于求解方程！,求解方程,x&(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t),方法：從簡單到復雜、從特殊到一般！ 并不完全是一個數(shù)學方程的求解；,要從控制工程的角度來理解、揭示一些特

7、性。,從齊次方程入手（特殊）,x&(t) = Ax(t),考慮標量方程（為了簡單）,x&(t) ax(t),=,x(t) e x(0) = at,指數(shù)函數(shù)的展開式,絕對收斂！,n,a,at =,t,n,e,n!,n=0,形式上的推廣,是否可以推廣呢？,1,1,定義,At = + +,2 2 + L +,n n + L A t,e I At A t,2!,n!,nn個標量級數(shù)，都是絕對收斂的。,按矩陣元逐項求和,1,1,矩陣指數(shù)函數(shù) = + +,+ +,+,At,2 2,n n,e I At A t L A t L,2! n!,d,d dt ,1,1,eAt,=,+ + I At A t L A

8、 t L,2 2 + +,n n,+, ,dt,2!,n!,1,1,= + +,0 A A (2)t,2,+L +,A (n)t,n,n1 +L,2!,n!,1,=,= + +L+,A I At,A t,n1 n1 +L AeAt, ,(n 1)!,0,當 t = 0 時，eA = I,x(t) e x(0) = At,=,x&(t) Ax(t),是方程,的解析解。,At,關鍵問題：求矩陣指數(shù)函數(shù) e,拉氏變換的方法,x&(t) = Ax(t),對系統(tǒng)作拉氏變換 sX (s) X (0) = AX (s) (sI A)X (s) = X (0),1 , 1,x(t) L (sI A) x(0),=,1,X (s) = (sI A) X (0),兩個關鍵問題,