質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ).ppt

1、第10章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ),10.1 內(nèi)容提要 10.2 知識(shí)要點(diǎn) 10.3 解題指導(dǎo),10.1 內(nèi)容提要,本章在介紹動(dòng)力學(xué)的任務(wù)和基本概念的基礎(chǔ)上，主要闡述了動(dòng)力學(xué)的基本定律及其應(yīng)用;慣性力的概念、達(dá)朗伯原理與動(dòng)靜法。重點(diǎn)是應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程(質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程)和動(dòng)靜法這兩種方法求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)問(wèn)題。按教學(xué)大綱要求第一類(lèi)問(wèn)題是重點(diǎn)。,返回,10.2 知識(shí)要點(diǎn),1.動(dòng)力學(xué)的任務(wù)是研究物體(包括質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系)運(yùn)動(dòng)變化與作用力之間的關(guān)系 按教學(xué)大綱要求，本書(shū)所研究的質(zhì)點(diǎn)系為剛體和剛體的組合系統(tǒng)。 2.動(dòng)力學(xué)基本定律牛頓三定律是動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ) 第一定律定性地闡明了力和運(yùn)動(dòng)變化(加速度)之間的關(guān)系

2、，闡明了任何物體都具有慣性，因此任何物體只有受到力的作用才會(huì)改變?cè)械倪\(yùn)動(dòng)狀態(tài)(包括速度的大小和方向)，即產(chǎn)生加速度;第二定律則闡明了力和運(yùn)動(dòng)變化之間的定量關(guān)系;第三定律闡明了兩物體間相互作用的關(guān)系。,下一頁(yè),返回,10.2 知識(shí)要點(diǎn),由于第一、二定律都是在慣性參考系中觀察、實(shí)驗(yàn)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)總結(jié)出來(lái)的規(guī)律，因此它們以及根據(jù)它們所建立起來(lái)的動(dòng)力學(xué)理論，僅適用于慣性參考系。所謂慣性參考系是指相對(duì)于地球靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考坐標(biāo)系。動(dòng)力學(xué)基本方程是牛頓第二定律的推廣，不嚴(yán)格區(qū)分的話，牛頓第二定律就是動(dòng)力學(xué)基本方程。但必須指出，動(dòng)力學(xué)基本方程等式右邊的力不是某一力，而是作用在質(zhì)點(diǎn)上所有力的合力。,上

3、一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.2 知識(shí)要點(diǎn),3.質(zhì)量和重量 質(zhì)量是物體慣性大小的度量，是物體內(nèi)所含物質(zhì)的量，在牛頓力學(xué)中是一常量。重量是地球?qū)ξ矬w引力大小的度量，即重力的大小，隨地理位置的變化而變化，只有在地球引力場(chǎng)(重力場(chǎng))內(nèi)才有意義。在重力場(chǎng)內(nèi)，質(zhì)量和重量的關(guān)系為P=-mg,g為重力加速度，是隨地理位置而變化的量，但一般近似取g = 9. 8 m/s2。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.2 知識(shí)要點(diǎn),4.質(zhì)點(diǎn)的慣性力 慣性力的概念慣性力是質(zhì)點(diǎn)在力作用下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)，由于質(zhì)點(diǎn)的慣性而對(duì)施力物體產(chǎn)生的反作用力，它作用在施力物體上，對(duì)于施力體來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)真實(shí)的力。如人推車(chē)時(shí)，車(chē)(質(zhì)點(diǎn))的慣性力，

4、真實(shí)地作用在人的手上。而在應(yīng)用動(dòng)靜法時(shí)，將質(zhì)點(diǎn)(車(chē))的慣性力加在質(zhì)點(diǎn)(車(chē))上，這對(duì)于運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)(車(chē))來(lái)說(shuō)，是一個(gè)虛加的力，因?yàn)樵搼T性力并不作用在車(chē)上。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.2 知識(shí)要點(diǎn),慣性力的計(jì)算 慣性力的定義式為Fg=-ma,即慣性力的方向與質(zhì)點(diǎn)的加速度方向相反，大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積?？梢?jiàn)影響慣性力大小的因素是質(zhì)量和加速度。不能誤認(rèn)為慣性大(質(zhì)量大)的質(zhì)點(diǎn)，慣性力就大，只有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速度相同時(shí)，質(zhì)量大的慣性力大。若加速度a=0，則慣性力Fg=0。 5.質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理與動(dòng)靜法 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理 在變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)上除了作用的真實(shí)力(主動(dòng)力和約束力)外，再假想加上質(zhì)點(diǎn)的慣

5、性力，這些力在形式上構(gòu)成平衡力系，其方程表達(dá)式為 F+FN+Fg=0 （1）,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.2 知識(shí)要點(diǎn),由達(dá)朗伯原理所表述的方程可見(jiàn)，該方程實(shí)質(zhì)上就是動(dòng)力學(xué)基本方程ma=F=F+FN移項(xiàng)的結(jié)果。因?yàn)镕g=-ma，所以把基本方程等式左邊的ma項(xiàng)移到右邊，并用Fg表示，則F+FN+Fg=0故質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程所提示的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)規(guī)律是完全一樣的。只不過(guò)達(dá)朗伯原理中引入了慣性力的概念，而將動(dòng)力學(xué)方程從形式上轉(zhuǎn)換成平衡方程。這樣就可以借助于已經(jīng)熟悉的靜力學(xué)的解題方法和技巧來(lái)求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)靜法 根據(jù)達(dá)朗伯原理、借助于靜力學(xué)平衡方程的形式，求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的方法

6、，稱(chēng)為動(dòng)靜法。該方法在工程實(shí)際中被廣泛應(yīng)用。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.2 知識(shí)要點(diǎn),6.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)靜法的應(yīng)用 無(wú)論應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本方程還是動(dòng)靜法求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，都需將其矢量方程進(jìn)行投影，得到投影形式的運(yùn)動(dòng)微分方程或平衡方程，現(xiàn)列表10-1總結(jié)如下。,上一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),例10-1 如圖10-1(a)所示，礦車(chē)及礦石總質(zhì)量為m=700 kg，以速度v= 160 cm/s沿傾角為=15的斜坡等速下滑，動(dòng)摩擦系數(shù)=0.15，求鋼絲繩的拉力，并求礦車(chē)制動(dòng)時(shí)(制動(dòng)時(shí)間為4s，設(shè)在制動(dòng)過(guò)程中，礦車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng))鋼絲繩的拉力。 本題用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程和動(dòng)靜法兩種方法求解

7、。 解一 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本方程 研究對(duì)象視礦車(chē)和礦石為質(zhì)點(diǎn)M。 （1）勻速下降時(shí)，a=0，受力為重力P，鋼繩拉力FT、法向反力FN及摩擦力F如圖10-1（b）。,下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),由動(dòng)力學(xué)基本方程 ma=F=P+F+FT+FN 向圖示的x軸投影有 max=Fx， 0=-Psin+F+FT （1） 向y軸投影有 may=Fy， 0=-Pcos+FN （2） 由動(dòng)摩擦定律有 F=FN （3） 聯(lián)立式（2）、（3）得F=Pcos，將F值代入式（1）則有,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),(2)剎車(chē)制動(dòng)時(shí)，作勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度a沿斜坡向上， 且 0.4m/s2。受力如圖10-1（

8、c）所示。 由動(dòng)力學(xué)基本方程 ma=F=P+F+FT+FN 向圖示的x軸投影有 ma=-Psin+F+FT （4） 向y軸投影有 0=-Pcos+FN （5） F=FN （6） 聯(lián)立式（4）、式（5）、式（6）可得,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),解二 應(yīng)用動(dòng)靜法 研究對(duì)象 質(zhì)點(diǎn)M (1)勻速下滑時(shí)，由于a=0，所以質(zhì)點(diǎn)的慣性力Fg=0。質(zhì)點(diǎn)M受力如圖10-1( d)所示，且處于平衡狀態(tài)。 列平衡方程 聯(lián)立式(1)、式(2)、式(3)解得FT =781.4 N,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),(2)剎車(chē)制動(dòng)時(shí)，加速度a沿斜坡向上，則質(zhì)點(diǎn)的慣性力Fg=-ma，將Fg畫(huà)在受力

9、圖10-1(e)上，且該力與圖示的真實(shí)力構(gòu)成平衡力系。 列平衡方程 聯(lián)立式(4)、式(5)、式(6)解得FT=1 061 N,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),例10-2 單擺的擺長(zhǎng)為l，擺球A的質(zhì)量為m，按 (t以秒計(jì)，以弧度計(jì))的規(guī)律作微幅擺動(dòng)，式中0為離開(kāi)鉛垂位置的最大擺角(擺幅)。如圖10-2(a)所示，求擺球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩的張力，以及擺球經(jīng)過(guò)最高位置和最低位置時(shí)繩的張力。 解一 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本方程 研究對(duì)象 擺球A 分析力 擺球運(yùn)動(dòng)在任意位置時(shí)，受主動(dòng)力P=mg及約束力FT，如圖10-2(a)所示。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),分析運(yùn)動(dòng) 擺球繞懸點(diǎn)0的擺動(dòng)規(guī)律為

10、 ，其軌跡為圓弧。由給出的運(yùn)動(dòng)方程可知，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始(t=0)時(shí)，= 0，擺球處于運(yùn)動(dòng)的最低位置A0。擺球圍繞該位置作微幅擺動(dòng)。 應(yīng)用自然法，建立自然坐標(biāo)系。以A0為弧坐標(biāo)的原點(diǎn)，沿?cái)[球的運(yùn)動(dòng)方向，即沿圓弧的逆時(shí)針?lè)较蛉∽骰∽鴺?biāo)的正向，如圖示。 由動(dòng)力學(xué)基本方程 ma=Fi=P+FT 向法向投影有 man=Fn=-mgcos+FT,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),所以 式中的速度 將其代入FT式，則,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,（1）,10.3 解題指導(dǎo),式中 。式(1)即為在運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)t（或任意瞬時(shí)位置）繩的張力，顯然張力FT的大小隨時(shí)間(位置)的變化而變化 當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到最高位置時(shí)，即擺

11、角達(dá)到最大值=0 時(shí)，由 可知 ，即 ?，F(xiàn)將=0及 的數(shù)據(jù)代入（1），則得到擺球在最高位置時(shí)繩的張力，即,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,（2）,10.3 解題指導(dǎo),當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到最低位置，即=0時(shí)，由 ，可知 ，也即 0，t=0。故將=0及t=0的數(shù)據(jù)代入式（1），則得到擺球在最低位置時(shí)繩的張力，即,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,（3）,10.3 解題指導(dǎo),解二 應(yīng)用動(dòng)靜法 研究對(duì)象 擺球A 分析力 主動(dòng)力P=mg及約束力FT，受力如圖10-2(b)。 分析運(yùn)動(dòng)及慣性力 點(diǎn)A作圓周運(yùn)動(dòng)，由 ，可得 ，切向加速度 ，法向加速度 ，則質(zhì)點(diǎn)A的切向慣性力Fg=-ma，法向慣性力Fgn=-man，將其慣性力畫(huà)在質(zhì)點(diǎn)A的

12、受力圖上。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),列法向的平衡方程 式(1)與解一所得的結(jié)果式(1)完全相同，同樣可將最高位置與最低位置的有關(guān)數(shù)據(jù)代入式(1)，即得到這兩個(gè)特殊位置時(shí)的繩子張力。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,（1）,10.3 解題指導(dǎo),例10-3 將一質(zhì)量為m的物體M，自M0處以速度v0水平拋出。設(shè)高度h為已知，不計(jì)空氣阻力，試求物體M的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡方程及落地時(shí)間(圖10-3)。 解 研究對(duì)象 拋體M 分析力 只受重力P作用 分析運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)開(kāi)始(t=0)時(shí)，距地血為h處，拋體M以水平速度v0拋出，作軌跡未知的平面曲線運(yùn)動(dòng)。 列運(yùn)動(dòng)微分方程 取坐標(biāo)系Oxy如圖。,上一頁(yè),下一頁(yè),

13、返回,10.3 解題指導(dǎo),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,由于,所以,由于,所以,由于,10.3 解題指導(dǎo),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,故拋體M的運(yùn)動(dòng)方程為,10.3 解題指導(dǎo),當(dāng)拋體落地時(shí)y=0，則求得落地的時(shí)間為 由運(yùn)動(dòng)方程消去參數(shù)t，則為拋體的軌跡方程(為一拋物線方程),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),例10-4 上例中其他條件不變，如考慮拋體下落時(shí)的空氣阻力，且阻力F與拋體的速度v方向相反。而大小成正比，即F=-v，為阻尼系數(shù)(圖10-4)。試求拋體的運(yùn)動(dòng)方程。 解 研究對(duì)象 拋體M 分析力 重力P及空氣阻力F=-v，受力圖如圖10-4所示。 分析運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)的初始條件為t=0時(shí)x=0，y=h

14、；vx=v0，vy=0。作未知的平面曲線運(yùn)動(dòng)。 列運(yùn)動(dòng)微分方程,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,（1）,10.3 解題指導(dǎo),由于,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),故拋體M的運(yùn)動(dòng)方程為,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),解題小結(jié) 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本方程及動(dòng)靜法兩種方法的解題步驟，教材中已作歸納，此處不再?gòu)?fù)述。求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可靈活選用其中的一種方法。下面僅就解題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題分述如下。 1.應(yīng)用動(dòng)力學(xué)基本方程解題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)質(zhì)點(diǎn)的受力分析。在動(dòng)力學(xué)中的受力分析與靜力學(xué)相同，盡管這時(shí)約束反力為動(dòng)約束反力，但約束性質(zhì)沒(méi)有變化，仍需根據(jù)約束性質(zhì)

15、畫(huà)約束力。對(duì)第二類(lèi)問(wèn)題要注意分析主動(dòng)力的性質(zhì)，是常力或是位置、速度、時(shí)間的函數(shù)。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),(2)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析。一般分析以下兩點(diǎn): 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否已知，是直線還是曲線(或圓)，以此確定采用哪種坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程 分析所求解的是哪類(lèi)問(wèn)題。如果是第一類(lèi)問(wèn)題，加速度必須已知，或根據(jù)題目所給出的運(yùn)動(dòng)方程(或速度方程)能求出加速度。如果是第二類(lèi)問(wèn)題，由于運(yùn)動(dòng)是未知的，需通過(guò)運(yùn)動(dòng)微分方程求運(yùn)動(dòng)，因此必須分析和確定運(yùn)動(dòng)初始條件，即運(yùn)動(dòng)開(kāi)始(t=0)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)（x0、y0）及速度 。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),(3)建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。必須注意以

16、下幾點(diǎn): 在什么位置建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，要根據(jù)題意確定。如題目只需要求某一特殊位置的力或加速度，則在該特殊位置列方程即可。如題目需要任意位置或幾個(gè)位置的力或加速度時(shí)，則必須在一般位置列方程，這個(gè)方程適合整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，即質(zhì)點(diǎn)無(wú)論在何位置、何瞬時(shí)，該方程都適用，所求解的結(jié)果為一般位置的解。而對(duì)某些特殊位置的解，可根據(jù)題目的要求，將其特殊位置的參數(shù)代入一般位置的解中，來(lái)求出特殊位置解的答案(如本書(shū)例10-2)。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),選擇運(yùn)動(dòng)微分方程的坐標(biāo)形式時(shí)，首先要判定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否已知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡已知，特別是作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，宜采用自然坐標(biāo)形式的方程;當(dāng)軌跡未知時(shí)

17、，只能采用直角坐標(biāo)形式的方程。 列運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，一定要根據(jù)動(dòng)力學(xué)基本方程的矢量式(ma =F)，將其等式兩邊的力和加速度向選定的坐標(biāo)軸投影，并處理好投影的正負(fù)號(hào)，特別需要指出的是加速度的投影。對(duì)第一類(lèi)問(wèn)題，加速度是已知的(或經(jīng)微分運(yùn)算可求出)，則應(yīng)按加速度的方向確定投影的正負(fù)號(hào)(與坐標(biāo)正向相同為正，否則為負(fù))。對(duì)第二類(lèi)問(wèn)題，由于加速度是未知的，其投影 均為代數(shù)量，所以列寫(xiě)方程時(shí)，不需考慮正負(fù)號(hào)的問(wèn)題，一律表示為正號(hào)，即 或 。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),(4)運(yùn)動(dòng)微分方程的解。第一類(lèi)問(wèn)題是已知加速度(或根據(jù)質(zhì)點(diǎn)已知的運(yùn)動(dòng)，經(jīng)微分運(yùn)算求出加速度)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)微分方程直接求得未知力

18、的問(wèn)題，求解是比較容易的。第二類(lèi)問(wèn)題要通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程積分求解，其解算過(guò)程是比較麻煩的。在求解中要根據(jù)已給出的力的性質(zhì)(常力或是時(shí)間、位置、速度的已知函數(shù))，對(duì)微分方程進(jìn)行分離變量使微分方程變換成可積分的形式，進(jìn)行積分求解。一般用定積分的方法，解算過(guò)程比較簡(jiǎn)便。下面歸納出分離變量的幾種形式，以供參考。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),上一頁(yè),下一頁(yè),返回,或者,10.3 解題指導(dǎo),式中 分別為t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始坐標(biāo)和初始速度; 分別為任意時(shí)t質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)和速度。將初始條件定作積分下限;任意瞬時(shí)t的 作為積分上限。 (5)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的綜合問(wèn)題。在實(shí)際中所解的問(wèn)題，如果是兩

19、類(lèi)問(wèn)題的綜合，一題中既要求運(yùn)動(dòng)，又要求某些未知力。對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，通常是先根據(jù)已知的力求加速度，然后再用加速度去求未知的反力。,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,10.3 解題指導(dǎo),2.應(yīng)用動(dòng)靜法解題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)質(zhì)點(diǎn)的受力分析。除正確地分析質(zhì)點(diǎn)所受的真實(shí)力(包括主動(dòng)力和約束力)外，關(guān)鍵是在運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力圖上正確地虛加慣性力Fg=-ma而確定慣性力的關(guān)鍵是正確地分析質(zhì)點(diǎn)的加速度a。對(duì)第一類(lèi)問(wèn)題加速度a是已知的，則受力圖中Fg的方向一定與a反向。對(duì)第二類(lèi)問(wèn)題，加速度a是未知的，則分別以ax 、ay表示加速度的兩個(gè)分量，其方向均假設(shè)與x、y軸正向相同，即其投影 。Fgx與Fgy則與x、y軸的正向相反，其投