題型專項(xiàng)(七) 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題

1、題型專項(xiàng)(七)二次函數(shù)與幾何圖形的綜合 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題是四川中考?jí)狠S題的必考題型，常結(jié)合三角形、四邊形、圓等考查二次函數(shù)或一次函數(shù)的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)，綜合探究圖形的基本性質(zhì)，線段、面積的數(shù)量關(guān)系及最值問題，與圖形變換等有關(guān)的綜合題，存在三角形為直角三角形或等腰三角形，存在平行四邊形(含特殊平行四邊形)，存在三角形相似等這類壓軸題的綜合性強(qiáng)，難度較大，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)總結(jié)解題通法，加強(qiáng)練習(xí)，突破高分瓶頸如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bx2的圖象與x軸交于A(3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；【思路點(diǎn)撥】拋物

2、線yax2bx2的解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，故只需將拋物線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式【自主解答】解：拋物線yax2bx2過點(diǎn)A(3，0)，B(1，0)，解得二次函數(shù)的解析式為yx2x2.,1確定二次函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，由于二次函數(shù)解析式有三個(gè)待定系數(shù)a，b，c(a，h，k或a，x1，x2)，因而確定二次函數(shù)的解析式需要已知三個(gè)獨(dú)立的條件：(1)已知拋物線上任意三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，選用一般式，即yax2bxc(a0)；(2)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和另外一點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，選用頂點(diǎn)式，即ya(xh)2k(a0)；(3)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(或橫坐標(biāo)x1，x2)時(shí)，選

3、用交點(diǎn)式，即ya(xx1)(xx2)(a0)2用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟：(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組；(3)解方程組，求出待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)的解析式(2)過點(diǎn)P作PMx軸于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；【思路點(diǎn)撥】設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，并用含有字母的代數(shù)式表示出PQ的長(zhǎng)度，結(jié)合字母的取值范圍，求出PQ的最大值【自主解答】解：由題知，C(0，2)，A(3，0)，可求直線AC的解析式為yx2，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，m2m2)PQx軸且點(diǎn)Q在直線yx2上，Q(m，m2)PQ(m2m2)(m2)m22m(m)2.當(dāng)m時(shí)，PQ取得最大值，最大值

4、為.1二次函數(shù)壓軸題中設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)要根據(jù)點(diǎn)的位置特征，即若點(diǎn)在拋物線上，該點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(x，ax2bxc)；若點(diǎn)在對(duì)稱軸上，該點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(，y)；若點(diǎn)在直線上，該點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為(x，kxb)，再結(jié)合具體情境去求解2探究線段的最值問題：解決此類問題首先設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)(通常是一個(gè)跟所求線段關(guān)系緊密的點(diǎn)的橫坐標(biāo))，通過題目中的函數(shù)和圖形關(guān)系，用該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線段的長(zhǎng)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，進(jìn)而得到線段長(zhǎng)的最大值或最小值3探究線段的數(shù)量關(guān)系(如分類訓(xùn)練P41T7(3)：此類問題一般是求滿足線段數(shù)量關(guān)系的點(diǎn)的坐標(biāo)，針對(duì)這種情況，應(yīng)先在圖中找出對(duì)應(yīng)線段，弄清已知點(diǎn)和未知

5、點(diǎn)；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù)；最后表示出線段的長(zhǎng)度，列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式，進(jìn)而求出未知數(shù)的值(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作PHAC于點(diǎn)H，求PHQ周長(zhǎng)的最大值；【思路點(diǎn)撥】在RtPHQ中，將PH，QH的長(zhǎng)用PQ的長(zhǎng)表示出來，從而要求PHQ周長(zhǎng)的最大值即求PQ長(zhǎng)的最大值【自主解答】AO3，CO2，AC.PHAC，PQy軸，QPHCAO.sinQPHsinCAO，cosQPHcosCAO，CPHQPQQHPHPQPQsinQPHPQcosQPH(1sinQPHcosQPH)PQ由(2)知，PQm22m，則CPHQ(1sinQPHcosQPH)PQ(1)

6、(m22m)(m)2.存在點(diǎn)P(，)，使PHQ的周長(zhǎng)最大，且最大值為.1探究三角形周長(zhǎng)的最值問題：求三角形周長(zhǎng)的最值問題，一般所求三角形有一條邊的長(zhǎng)度是定值，即可轉(zhuǎn)化為求線段和的最小值問題對(duì)于求直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的線段和最小值問題，首先要想到“最短路徑問題”，一般是作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另外一點(diǎn)與直線的交點(diǎn)，即為使得線段和最小的點(diǎn)，最后計(jì)算即可2探究線段差的最值問題(如分類訓(xùn)練P42T8(3)：對(duì)于線段差的最值問題，一般是放在三角形中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來求解，分為三點(diǎn)共線和不共線兩種情況,(4)是否存在點(diǎn)P，使ACP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明

7、理由；【思路點(diǎn)撥】要使ACP的面積最大，可先把ACP的面積用含有字母的式子表示出來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)【自主解答】解：存在設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t2t2)，方法一：由(2)知PQ(t2t2)(t2)t22t，SACPPQ(xCxA)(t22t)0(3)t23t(t)2.存在點(diǎn)P(，)，使ACP的面積最大方法二：連接PO，作PNy軸于N.PMt2t2，PNt，AO3，OC2.SACPSPAOSPCOSACOAOPMCOPNAOCO3(t2t2)2(t)32t23t.10，當(dāng)t時(shí)，SACP有最大值此時(shí)t2t2()2()2，存在點(diǎn)P(，)，使ACP的面積最大1在解答三角形

8、面積的最值問題時(shí)，具體方法如下：(1)確定三角形三個(gè)頂點(diǎn)位置；(2)根據(jù)題意，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t或設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，確定三角形的底和高，用含t的式子表示出底和高或利用與已知線段長(zhǎng)度的三角形相似，從而用含有t的代數(shù)式表示底和高；(3)利用面積公式S底高，得到關(guān)于t的二次函數(shù)，將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式求出面積的最大值和此時(shí)的t值2在解答三角形面積數(shù)量關(guān)系問題(如分類訓(xùn)練P43T10(3)時(shí)，解題思路如下：(1)三角形面積數(shù)量關(guān)系涉及有一個(gè)三角形面積與一個(gè)已知三角形面積相等或有一定的倍數(shù)關(guān)系，一般是通過構(gòu)造兩個(gè)三角形同底或等高；(2)如果涉及兩個(gè)三角形面積相等，可以根據(jù)題意作平行線構(gòu)造同底等高，此時(shí)就要分

9、情況分別求解；(3)如果涉及兩個(gè)三角形面積成倍數(shù)關(guān)系，利用面積公式或三角形相似求出有關(guān)線段長(zhǎng)度或面積的代數(shù)式，列方程求解3探究四邊形面積的最值及數(shù)量關(guān)系問題(如分類訓(xùn)練PT9(2)：對(duì)于四邊形的面積最值及數(shù)量關(guān)系，常用到的方法是利用割補(bǔ)法將四邊形分成兩個(gè)三角形(常作平行于坐標(biāo)軸的直線來分割四邊形面積)，其求法同三角形,(5)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)R，使BCR是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；【思路點(diǎn)撥】BCR是以BC為腰的等腰直角三角形，則需分以點(diǎn)C或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形兩種情況【自主解答】解：存在以BC為邊在兩側(cè)作正方形BCR1R

10、2、正方形BCR4R3，則點(diǎn)R1，R2，R3，R4為符合題意要求的點(diǎn)過R1點(diǎn)作R1Dy軸于點(diǎn)D，BCR190，R1CDOCB90.又在RtOBC中，OCBCBO90R1CDCBO.又R1CCB，R1DCCOB，R1CDCBO(AAS)R1DOC2，CDOB1.ODOCCD3.R1(2，3)同理求得R2(3，1)，R3(1，1)，R4(2，1)存在點(diǎn)R，使BCR是以BC為腰的等腰直角三角形R點(diǎn)坐標(biāo)為R1(2，3)，R2(3，1)，R3(1，1)，R4(2，1)1在解答直角三角形的存在性問題(如分類訓(xùn)練PT3(3)時(shí)，具體方法如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論；(2)找

11、點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的直角邊時(shí)，分別以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)作定長(zhǎng)的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所求點(diǎn)滿足條件的坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；(3)計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形的各條邊(表示線段時(shí)，還要注意代數(shù)式的符號(hào))，再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)2在解答等腰三角形的存在性問題(如分類訓(xùn)練P39T4(2)時(shí)，具體方法如下

12、：(1)假設(shè)結(jié)論成立；(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求邊長(zhǎng)；(3)當(dāng)所給定長(zhǎng)未說明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：當(dāng)定長(zhǎng)為腰，找已知直線上滿足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫弧，若所畫弧與已知直線有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫弧與已知直線無交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與已知直線有交點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若作出的垂直平分線與已知直線無交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)不存在用以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn)；(4)計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形的性質(zhì)求解，如果圖形

13、中沒有相似三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解(6)點(diǎn)R是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)R作RE垂直于x軸，垂足為E.是否存在點(diǎn)R，使以點(diǎn)B，R，E為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镽EBAOC90，使以點(diǎn)B，R，E為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似，則需分BERAOC或REBAOC兩種情況分別求解【自主解答】解：存在設(shè)E(n，0)，則BE1n，REn2n2.假設(shè)以點(diǎn)B，R，E為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似，則有兩種情況：若BERAOC，則，即，化簡(jiǎn)，得n2n20，解得n12，n21(與B重合，舍去)，

14、n2，REn2n22.R(2，2)若REBAOC，則，即，化簡(jiǎn)，得4n2n30，解得n1，n21(與B重合，舍去)，n，REn2n2.R(，)綜上所述，存在點(diǎn)R，使以點(diǎn)B，R，E為頂點(diǎn)的三角形與AOC相似R點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)或(，),1探究三角形相似的存在性問題的一般思路：解答三角形相似的存在性問題時(shí)，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類標(biāo)準(zhǔn)，一般涉及動(dòng)態(tài)問題要以靜制動(dòng)，動(dòng)中求靜，具體如下：(1)假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論探究三角形相似時(shí)，往往沒有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(尤其是以文字形式出現(xiàn)求證兩個(gè)三角形相似的題目)，或者涉及動(dòng)點(diǎn)問題，因動(dòng)點(diǎn)問題中點(diǎn)的位置的不確定，此

15、時(shí)應(yīng)考慮不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分情況討論；(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)在分類時(shí)，先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個(gè)相似三角形是否有對(duì)應(yīng)相等的角，若有，找出對(duì)應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角進(jìn)行分類討論來確定相似三角形成立的條件；若沒有，則分別按三種角對(duì)應(yīng)來分類討論；(3)建立關(guān)系式，并計(jì)算由相似三角形列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)2探究全等三角形的存在性問題(如分類訓(xùn)練P47T15(3)的思路與探究相似三角形的存在性問題類似，不同的是除了找角度相等外，還至少要找一組對(duì)應(yīng)邊相等(7)點(diǎn)

16、M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)R，使以A，C，M，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【思路點(diǎn)撥】因?yàn)轭}干中沒有指明是以哪一條線段為邊，哪一條為對(duì)角線，所以需要分情況討論【自主解答】解：假設(shè)存在點(diǎn)R，使以A，C，M，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形AC為對(duì)角線，此時(shí)CM平行于x軸，有符合要求的為點(diǎn)R1，此時(shí)R1ACM.CMx軸，點(diǎn)M，C(0，2)關(guān)于對(duì)稱軸直線x1對(duì)稱M(2，2)CM2.由R1ACM2，得R1(1，0)；AC為邊，當(dāng)CMx軸時(shí)，符合要求的點(diǎn)有1個(gè)為點(diǎn)R2，由R2ACM2，得到R2(5，0)當(dāng)CM與x軸不平行時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)M作MGx

17、軸于G，易證MGRCOA，得RGOA3，MGOC2，即yM2.設(shè)M(x，2)，則有x2x22，解得x1.又RG3，xRxG32.R3(2，0)，R4(2，0)綜上所述，存在點(diǎn)R，使以A，C，M，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形R點(diǎn)坐標(biāo)為R1(1，0)，R2(5，0)，R3(2，0)，R4(2，0),特殊四邊形的探究問題解題方法步驟如下：(1)先假設(shè)結(jié)論成立；(2)設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求邊長(zhǎng)；(3)建立關(guān)系式，并計(jì)算若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置已確定，則直接利用四邊形邊的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論：探究平行四邊形：以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊

18、形的對(duì)邊相等進(jìn)行計(jì)算；以已知邊為平行四邊形的對(duì)角線，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；若平行四邊形的各頂點(diǎn)位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論探究菱形：已知三個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)；已知兩個(gè)定點(diǎn)去求未知點(diǎn)坐標(biāo)，一般會(huì)用到菱形的對(duì)角線互相垂直平分、四邊相等等性質(zhì)列關(guān)系式探究正方形(如分類訓(xùn)練P40T6(3)：利用正方形對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，一般是分別計(jì)算出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，令其相等，得到方程再求解探究矩形：利用矩形對(duì)邊相等、對(duì)角線相等列等量關(guān)系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關(guān)系式求解類型1探究圖形的基本性質(zhì)1

19、(2016雅安三診)如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過A(2，1)，B(0，7)兩點(diǎn)(1)求該拋物線的解析式及對(duì)稱軸；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，y0?(3)在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于C，D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在對(duì)稱軸的左側(cè))，過點(diǎn)C，D作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)F，E.當(dāng)矩形CDEF為正方形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：(1)把A(2，1)，B(0，7)代入yx2bxc，得解得該拋物線的解析式為yx22x7.yx22x7(x1)28，對(duì)稱軸為直線x1.(2)當(dāng)y0時(shí)，x22x70，解得x12，由圖象知，當(dāng)12x12時(shí)，y0.(3)設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，n)，矩形CDEF為正方形，nm22m7，即C

20、Fm22m7.C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，C，D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線x1對(duì)稱設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為p，則1mp1，p2m.CD(2m)m22m.CDCF，22mm22m7.解得m11，m25.點(diǎn)C在對(duì)稱軸的左側(cè)，m只能取1.當(dāng)m1時(shí)，nm22m7(1)22(1)74.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，4)2如圖，點(diǎn)A(2，0)，B(4，0)，C(3，3)在拋物線yax2bxc上，點(diǎn)D在y軸上，且DCBC，BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后兩邊與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求拋物線的解析式；(2)CF能否經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)？若能，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，說明理由；(3)若FDC是等腰三角形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)解：(1)由拋物線與

21、x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可以設(shè)拋物線解析式為ya(x2)(x4)將C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a(32)(34)3，解得a.故拋物線解析式是y(x2)(x4)x2x.(2)CF能經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)由C，B兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得CB直線方程為y3x12.B(4，0)，C(3，3)，BC.設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(0，m)(m0)，則CD，BD.CDCB，BC2CD2BD2.m2.點(diǎn)D坐標(biāo)為(0，2)由C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得CD的直線方程為yx2.由拋物線解析式的頂點(diǎn)公式可得頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1，)，由C，M兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CM即CF直線方程為yx，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)CE直線方程可設(shè)為yxn，將C點(diǎn)坐標(biāo)代

22、入，得n，CE直線方程為yx.令y0，解得x.E點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)(3)由C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求得CD，則FDC是等腰三角形可以有三種情形：FDCD，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為為(0，2)；FCCD，過C點(diǎn)作y軸垂線，垂足為H點(diǎn)，則DH1，F(xiàn)H1，則F點(diǎn)坐標(biāo)(0，4)；FDFC，作DC的中垂線FG，交y軸于F點(diǎn)，交DC于G點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得G點(diǎn)坐標(biāo)為(，)DC直線方程為yx2，F(xiàn)G直線方程可以設(shè)為y3xp，將G點(diǎn)坐標(biāo)代入，得p7，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(0，7)綜上所述，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，(0，4)，(，)，(0，7)類型2探究特殊三角形的存在性問題3(2017達(dá)州一模)如圖，拋物線yx2x2與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸

23、交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)求直線BD的解析式；(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q，使BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)當(dāng)x0時(shí)，y2，即C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)；當(dāng)y0時(shí)，x2x20，解得x11，x24，即A(1，0)，B(4，0)(2)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，D(0，2)，設(shè)直線BD的解析式為ykxb，將B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得解得直線BD的解析式為yx2.(3)存在點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，PQx軸交拋物線

24、于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，m2m2)，BDQ是以BD為直角邊的直角三角形，當(dāng)QBD90時(shí)，由勾股定理，得BQ2BD2DQ2，即(m4)2(m2m2)220m2(m2m22)2，解得m13，m24(不符合題意，舍去)，Q(3，2)；當(dāng)QDB90時(shí)，由勾股定理，得BQ2BD2DQ2，即(m4)2(m2m2)220m2(m2m22)2，解得m18，m21，Q(8，18)或(1，0)綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，2)，(8，18)，(1，0)4(2017廣安)如圖，已知拋物線yx2bxc與y軸相交于點(diǎn)A(0，3)，與x軸正半軸相交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是直線x1.(1)求此拋物線的解析式以及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)

25、動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)過動(dòng)點(diǎn)M作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPN為矩形；當(dāng)t0時(shí)，BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由解：(1)拋物線yx2bxc對(duì)稱軸是直線x1，1，解得b2.拋物線過A(0，3)，c3.拋物線的解析式為yx22x3.令y0可得x22x30，解得x1或x3.B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)(2)由題意可知ON3t，OM2t，P在拋物線上，P(2t，4t24t3)四邊形OM

26、PN為矩形，ONPM.3t4t24t3.解得t1或t(舍去)當(dāng)t的值為1時(shí)，四邊形OMPN為矩形能A(0，3)，B(3，0)，OAOB3，且可求得直線AB解析式為yx3.當(dāng)t0時(shí)，OQOB.當(dāng)BOQ為等腰三角形時(shí)，有OBQB或OQBQ兩種情況OM2t，Q(2t，2t3)OQ，BQ|2t3|.又由題意可知0t1，當(dāng)OBQB時(shí)，則有|2t3|3，解得t(舍去)或t；當(dāng)OQBQ時(shí)，則有|2t3|，解得t.綜上所述，使BOQ為等腰三角形的t值為或.類型3探究特殊四邊形的存在性問題5(2017宜賓)如圖，拋物線yx2bxc與x軸分別交于A(1，0)，B(5，0)兩點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)在第二象

27、限內(nèi)取一點(diǎn)C，作CD垂直x軸于點(diǎn)D，連接AC，且AD5，CD8，將RtACD沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，求m的值；(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)C第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)拋物線yx2bxc與x軸分別交于A(1，0)，B(5，0)兩點(diǎn)，解得拋物線的解析式為yx24x5.(2)AD5，且OA1，OD6，且CD8.C(6，8)設(shè)平移后的點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8.代入拋物線解析式可得8x24x5，解得x1或x

28、3.C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，8)或(3，8)C(6，8)，當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí)，RtACD向右平移了7或9個(gè)單位長(zhǎng)度m的值為7或9.(3)yx24x5(x2)29，拋物線對(duì)稱軸為直線x2.可設(shè)P(2，t)由(2)可知E點(diǎn)坐標(biāo)為(1，8)當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí)，連接BE交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過E作EFx軸于點(diǎn)F，過Q作對(duì)稱軸的垂線，垂足為N，如圖，則BEFBMPQPN，在PQN和EBF中，PQNEBF(AAS)NQBFOBOF514.設(shè)Q(x，y)，則QN|x2|，|x2|4，解得x2或x6.當(dāng)x2或x6時(shí)，代入拋物線解析式可求得y7，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，7)或(6，7)當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，B(5，0)，E(1

29、，8)，線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，4)，則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，4)設(shè)Q(x，y)，且P(2，t)，x232.解得x4.把x4代入拋物線解析式可求得y5，Q(4，5)綜上可知，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，7)或(6，7)或(4，5)6(2017成都)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：yax2bxc與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D(0，4)，AB4，設(shè)點(diǎn)F(m，0)是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180，得到新的拋物線C.(1)求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；(2)若拋物線C與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求m的取值范圍；(3)如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的

30、距離相等，點(diǎn)P在拋物線C上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMPN能否成為正方形，若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說明理由解：(1)由題意知拋物線的頂點(diǎn)D(0，4)，A(2，0)，設(shè)拋物線的解析式為yax24，把A(2，0)代入可得a，拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為yx24.(2)由題意拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2m，4)，設(shè)拋物線C的解析式為y(x2m)24，由消去y，得x22mx2m280，由題意知，拋物線C與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有解得2m2.滿足條件的m的取值范圍為2m2.(3)四邊形PMPN能成為正方形理由：如圖，作PEx軸于E，MHx軸于H.由題意易

31、知P(2，2)，當(dāng)PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMPN是正方形，PFFM，PFM90.易證PFEFMH，可得PEFH2，EFHM2m，M(m2，m2)點(diǎn)M在yx24上，m2(m2)24.解得m3或3(舍去)m3時(shí)，四邊形PMPN是正方形如圖，四邊形PMPN是正方形，同法可得M(m2，2m)，把M(m2，2m)代入yx24中，得2m(m2)24，解得m6或0(舍去)，m6時(shí)，四邊形PMPN是正方形綜上，四邊形PMPN能成為正方形，m3或6.類型4探究線段的數(shù)量關(guān)系及最值問題7如圖，二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，且與y軸交于點(diǎn)C.(1)試求此二次函數(shù)的解析式；(2

32、)試證明：BAOCAO(其中O是原點(diǎn))；(3)若P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，過P作y軸的平行線，分別交此二次函數(shù)圖象及x軸于Q，H兩點(diǎn)，試問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使PH2QH？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)點(diǎn)A(4，0)與B(4，4)在二次函數(shù)的圖象上，解得二次函數(shù)的解析式為yx2x2.(2)過點(diǎn)B作BDx軸于點(diǎn)D.由(1)，得C(0，2)，則在RtAOC中，tanCAO.又在RtABD中，tanBAD.tanCAOtanBAD，CAOBAO.(3)由點(diǎn)A(4，0)與B(4，4)，可得直線AB的解析式為yx2.設(shè)P(x，x2)(4x4)，則Q(x，x2

33、x2)PH|x2|2x，QH|x2x2|.2x2|x2x2|.當(dāng)2xx2x4，解得x11，x24(舍去)，P(1，)當(dāng)2xx2x4，解得x13，x24(舍去)，P(3，)綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)，它們是P1(1，)與P2(3，)8如圖，拋物線yx2bxc過點(diǎn)A(3，0)，B(1，0)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)沿拋物線向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與A重合)，過點(diǎn)P作PDy軸交直線AC于點(diǎn)D.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中線段PD長(zhǎng)度的最大值；(3)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M使|MAMC|最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

34、理由解：(1)拋物線yx2bxc過點(diǎn)A(3，0)，B(1，0)，解得拋物線的解析式為yx24x3.(2)令x0，則y3，C(0，3)直線AC的解析式為yx3.設(shè)點(diǎn)P(x，x24x3)PDy軸，D(x，x3)PD(x3)(x24x3)x23x(x)2.10，當(dāng)x時(shí)，線段PD的長(zhǎng)度有最大值.(3)存在拋物線的對(duì)稱軸垂直平分AB，MAMB.由三角形的三邊關(guān)系，得|MAMC|BC.當(dāng)M，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，|MAMC|最大，為BC的長(zhǎng)度設(shè)直線BC的解析式為ykxb(k0)，則解得直線BC的解析式為y3x3.拋物線yx24x3的對(duì)稱軸為直線x2，當(dāng)x2時(shí)，y3233，點(diǎn)M(2，3)拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M(

35、2，3)，使|MAMC|最大類型5探究面積的數(shù)量關(guān)系及最值問題9如圖，直線y1x2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B，C，拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，0)(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形PCDB的面積最大？求出此時(shí)四邊形PCDB面積的最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo)解：(1)在y1x2中，令x0，可得y12，令y10，可得x4，即B(4，0)，C(0，2)將點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)yax2bxc的解析式中，得解得二次函數(shù)的解析式為yx2x2.(2)如圖，過點(diǎn)P作

36、PNx軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CEPN于E.設(shè)M(m，m2)，P(m，m2m2)，則PMm2m2(m2)m22m(0x4)yx2x2(x)2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，0)S四邊形PCDBSBCDSCPMSPMBBDOCCEPMBNPMm(m22m)(4m)(m22m)m24m(m2)2(0m4)當(dāng)m2時(shí)，S四邊形PCDB的最大值為.m2m222223.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到(2，3)時(shí)，四邊形PCDB的面積最大，最大值為.10(2017涼山)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA2，OB8，OC6.(1)求拋物線的解析式；

37、(2)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)當(dāng)MBN存在時(shí)，運(yùn)動(dòng)多少秒使MBN的面積最大，最大面積是多少？(3)在(2)的條件下，MBN面積最大時(shí)，在BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使BPC的面積是MBN面積的9倍，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)由題意可得A(2，0)，B(8，0)，C(0，6)，解得拋物線的解析式為yx2x6.(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，使MBN的面積最大，則AM3t，BM103t，BNt.在RtBOC中，OC6，OB8，BC

38、10.過N作NDOB于D，NDCO.BNDBCO.DNOC6t.SMBNMBDN(103t)tt23t(0t)當(dāng)t時(shí)，SMBN最大()23.答：運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，使MBN的面積最大，最大面積是.(3)假設(shè)符合條件的點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn)P(m，m2m6)，過P作PHAB于H，交BC于點(diǎn)Q，設(shè)直線BC的解析式為ykxb(k0)，則解得直線BC的解析式為yx6.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，m6)PQPHQH(m2m6)(m6)m23m.SBPCSPCQSPBQPQOHPQBHPQOB(m23m)8m212m.又SBPC9SMBN，m212m9.解得m3或m5.當(dāng)m3時(shí)，m2m6936.當(dāng)m5時(shí)，m2m62556.點(diǎn)P的坐標(biāo)

39、為(3，)或(5，)符合條件的點(diǎn)P存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)或(5，)類型6探究與圖形變換有關(guān)的綜合問題11(2017南充三診)如圖，直線x2上有一點(diǎn)A(2，4)，將拋物線yx2的頂點(diǎn)在線段OA上移動(dòng)到M，得到的拋物線與直線x2交于P.(1)求線段OA的解析式；(2)拋物線在平移的過程中，求點(diǎn)P到x軸的最短距離；(3)當(dāng)線段PB最短時(shí)，平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QMA與PMA的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)設(shè)線段OA的解析式為ykx.將A(2，4)代入，得2k4，k2.線段OA的解析式為y2x(0x2)(2)由(1)，可設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

40、m，2m)則拋物線的解析式為y(xm)22m.當(dāng)x2時(shí)，y(2m)22mm22m4.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，m22m4)點(diǎn)P到x軸的距離PBm22m4(m1)23.當(dāng)m1時(shí)，最短距離PB3.(3)當(dāng)線段PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線為y(x1)22，即yx22x3.此時(shí)PB3，AP1.如圖，過點(diǎn)P作PCAO，與y軸交于C.若PC與拋物線有交點(diǎn)Q，則SQMASPMA.由OCAP1，得點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，1)直線PC的解析式為y2x1.由x22x32x1，得x24x40.x1x22.Q(2，3)與點(diǎn)P重合，舍去以此為基礎(chǔ)，在直線OA的上方，過點(diǎn)D(0，1)作DEAO.若DE與拋物線有交點(diǎn)Q，則SQMASPMA.

41、直線DE的解析式為y2x1.由x22x32x1.得x24x20.x12，x22.y152，y252.拋物線上存在點(diǎn)Q1(2，52)，Q2(2，52)，使QMA與PMA的面積相等12(2017南充)如圖1，已知二次函數(shù)yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)的圖象過點(diǎn)O(0，0)和點(diǎn)A(4，0)，函數(shù)圖象最低點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為.直線l的解析式為yx.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖2，直線l沿x軸向右平移得直線l，l與線段OA相交于點(diǎn)B，與x軸下方的拋物線相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E，把BCE沿直線l折疊，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上點(diǎn)E時(shí)，求直線l的解析式；(3)在(2)的條件下，l與y軸交于

42、點(diǎn)N，把BON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135得到BON，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PBN為等腰三角形時(shí)，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)解：(1)拋物線過點(diǎn)(0，0)，(4，0)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，解得二次函數(shù)的解析式為yx2x.(2)直線l的解析式為yx，直線l與x軸成45的角ll，CBE45.又CEx軸，BCE是等腰直角三角形BCE是由BCE沿直線l折疊所得，四邊形BECE是正方形點(diǎn)C在yx2x的圖象上，設(shè)C(m，m2m)，點(diǎn)C與E關(guān)于對(duì)稱軸直線x2對(duì)稱，E的橫坐標(biāo)為4m.則B(4m，0)設(shè)l的解析式為yxk，B點(diǎn)在l上，km4.l的解析式為yxm4.又C點(diǎn)在l上，得m2mmm4.解得m11，m26.又點(diǎn)C在x軸下方的

43、拋物線上，m1.l的解析式為yx3.(3)由(2)可得B(3，0)，如圖BON是等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)后BON頂點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0，0)，B(，)，N(，)當(dāng)PBPN時(shí)，由對(duì)稱性可知，當(dāng)P(0，3)時(shí)，PBN是等腰三角形；當(dāng)BPBN時(shí)，延長(zhǎng)BO交BN于點(diǎn)F，得BFBN，BF3，又BNBN3，BFBN.BPBF，這種情況不存在當(dāng)PNBN時(shí)，P在l上，設(shè)P(n，n3)，得PN2(n)2(n3)2BN(3)2.即18(n)2(n3)2.解得n1，n2.當(dāng)P(，)或(，)時(shí)，PBN為等腰三角形綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(0，3)，P2(，)，P3(，)類型7探究相似三角形問題13(2017綿陽一

44、模)如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A(1，1)，且與直線yx2交于B，C兩點(diǎn)(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；(2)求ABC的內(nèi)切圓半徑；(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MNx軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)21.又拋物線過原點(diǎn)，0a(01)21，解得a1.拋物線的解析式為y(x1)21，即yx22x.聯(lián)立解得或B(2，0)，C(1，3)(2)由(1)知，B(2，0)，C(1，3)A(1，1)，AB，BC3，AC2.AB2BC2AC

45、2.ABC是直角三角形設(shè)ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，r2.(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N(x，0)，則M(x，x22x)，ON|x|，MN|x22x|.由(2)知，AB，BC3，MNx軸于點(diǎn)N，ABCMNO90.當(dāng)ABC和MNO相似時(shí)，有或.當(dāng)時(shí)，即|x|x2|x|.當(dāng)x0時(shí)M，O，N不能構(gòu)成三角形，x0.|x2|.x2.解得x或x.此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)或(，0)；當(dāng)時(shí)，即|x|x2|3|x|.|x2|3.x23.解得x5或x1，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(5，0)，綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為(，0)或(，0)或(1，0)或(5，0)拓展類型其他問題14(2017綿陽模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，