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1、2020/9/14,1,第三章 分層隨機(jī)抽樣,第一節(jié) 分層隨機(jī)抽樣的定義、使用場(chǎng)合以及符號(hào) 第二節(jié) 估計(jì)量及其性質(zhì) 第三節(jié) 樣本量的分配原則 第四節(jié) 樣本量的確定 第五節(jié) 分層抽樣的若干問題,2020/9/14,2,第一節(jié) 引 言,一、定義 在抽樣之前,先將總體N個(gè)單元?jiǎng)澐殖蒐個(gè)互不重復(fù)的子總體,每個(gè)子總體稱為層,它們的大小分別為 ,這個(gè)層合起來就是整個(gè)總體 ,然后,在每個(gè)層中分別獨(dú)立地進(jìn)行抽樣,這種抽樣就是分層抽樣,所得到的樣本稱為分層樣本。 如果每層都是獨(dú)立按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣進(jìn)行,則稱為分層隨機(jī)抽樣,不重不漏,2020/9/14,3,作用,分層抽樣的抽樣效率較高,也就是說分層抽樣的估計(jì)精度較
2、高。這是因?yàn)榉謱映闃庸烙?jì)量的方差只和層內(nèi)方差有關(guān),和層間方差無關(guān)。 分層抽樣不僅能對(duì)總體指標(biāo)進(jìn)行推算,而且能對(duì)各層指標(biāo)進(jìn)行推算。 層內(nèi)抽樣方法可以不同,而且便于抽樣工作的組織。,2020/9/14,4,二、分層原則:總體中的每一個(gè)單元一定屬于并且只屬于某一個(gè)層,而不可能同時(shí)屬于兩個(gè)層或不屬于任何一個(gè)層。,1.估計(jì):層內(nèi)單元具有相同性質(zhì),通常按調(diào)查對(duì)象的不同類型進(jìn)行劃分。 2.精度:盡可能使層內(nèi)單元的指標(biāo)值相近,層間單元的差異盡可能大,從而達(dá)到提高抽樣估計(jì)精度的目的。 3.估計(jì)和精度:既按類型、又按層內(nèi)單元指標(biāo)值相近的原則進(jìn)行多重分層,同時(shí)達(dá)到實(shí)現(xiàn)估計(jì)類值以及提高估計(jì)精度的目的。 4.實(shí)施:抽樣
3、組織實(shí)施的方便,通常按行政管理機(jī)構(gòu)設(shè)置進(jìn)行分層。,2020/9/14,5,例題,例如,對(duì)全國范圍汽車運(yùn)輸?shù)某闃诱{(diào)查,調(diào)查目的不僅要推算全國貨運(yùn)汽車完成的運(yùn)量,還要推算不同經(jīng)濟(jì)成分(國有、集體、個(gè)體)汽車完成的運(yùn)量。 為組織的方便,首先將貨運(yùn)汽車總體按省分層,由各省運(yùn)輸管理部門負(fù)責(zé)省內(nèi)的調(diào)查工作。 各省再將省內(nèi)擁有的汽車按經(jīng)濟(jì)成分分層。 為提高抽樣效率,再對(duì)汽車按噸位分層。 例如,某高校對(duì)學(xué)生在宿舍使用電腦的情況進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),本科生和研究生擁有電腦的狀況差異較大。 因此,在抽樣前對(duì)學(xué)生按本科生和研究生進(jìn)行分層是有必要的。,2020/9/14,6,三、符號(hào)說明 (關(guān)于第h層的記號(hào) ),層號(hào),
4、2020/9/14,7,第二節(jié) 估 計(jì) 量,一、對(duì)總體均值的估計(jì) 分層樣本,總體均值 的估計(jì) 分層隨機(jī)樣本,總體均值 的簡(jiǎn)單估計(jì),2020/9/14,8,估計(jì)量的性質(zhì),性質(zhì)1:對(duì)于一般的分層抽樣,如果 是 的無偏估計(jì)( ),則 是 的無偏估計(jì)。 的方差為: 只要對(duì)各層估計(jì)無偏,則總體估計(jì)也無偏。 各層可以采用不同的抽樣方法,只要相應(yīng)的估計(jì)量是無偏的,則對(duì)總體的推算也是無偏的。,2020/9/14,9,證明性質(zhì)1,由于對(duì)每一層有 因此, 估計(jì)量的方差 由于各層是獨(dú)立抽取的,因此上式第二項(xiàng)中的協(xié)方差全為0,從而有,2020/9/14,10,性質(zhì)2:對(duì)于分層隨機(jī)抽樣, 是 的無偏估計(jì), 的方差為:,
5、2020/9/14,11,證明性質(zhì)2:,對(duì)于分層隨機(jī)抽樣,各層獨(dú)立進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,對(duì)每一層有 因此,由性質(zhì)1,有 由第二章性質(zhì)2,得 因此,2020/9/14,12,性質(zhì)3:對(duì)于分層隨機(jī)抽樣, 的一個(gè)無偏估計(jì)為:,2020/9/14,13,證明性質(zhì)3:,對(duì)于分層隨機(jī)抽樣,各層獨(dú)立進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,由第二章性質(zhì)3,得 的無偏估計(jì)為: 因此, 的一個(gè)無偏估計(jì)為:,2020/9/14,14,二、對(duì)總體總量的估計(jì),總體總量 的估計(jì)為: 如果得到的是分層隨機(jī)樣本,則總體總量的簡(jiǎn)單估計(jì)為:,2020/9/14,15,2.估計(jì)量的性質(zhì),性質(zhì)4:對(duì)于一般的分層抽樣,如果 是 的無偏估計(jì),則 是 的無偏估計(jì)。
6、 的方差為:,2020/9/14,16,性質(zhì)5:對(duì)于分層隨機(jī)抽樣, 的方差為:,2020/9/14,17,性質(zhì)6:對(duì)于分層隨機(jī)抽樣, 的一個(gè)無偏估計(jì)為:,2020/9/14,18,例3.1,調(diào)查某地區(qū)的居民奶制品年消費(fèi)支出,以居民戶為抽樣單元,根據(jù)經(jīng)濟(jì)及收入水平將居民戶劃分為4層,每層按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取10戶,調(diào)查獲得如下數(shù)據(jù)(單位:元),要估計(jì)該地區(qū)居民奶制品年消費(fèi)總支出及估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。,2020/9/14,19,2020/9/14,20,2020/9/14,21,三、對(duì)總體比例的估計(jì),總體比例P的估計(jì)為: 估計(jì)量的性質(zhì),性質(zhì)7:對(duì)于一般的分層抽樣,如果 是 的無偏估計(jì) ( ),則 是 的無
7、偏估計(jì)。 的方差為:,2020/9/14,22,性質(zhì)8:對(duì)于分層隨機(jī)抽樣, 是 的無偏估計(jì),,因而 的方差為:,2020/9/14,23,性質(zhì)9:對(duì)于分層隨機(jī)抽樣, 的一個(gè)無偏估計(jì)為:,2020/9/14,24,例3.2,在例3.1的調(diào)查中,同時(shí)調(diào)查了居民戶擁有家庭電腦的情況,獲得如下數(shù)據(jù)(單位:臺(tái)),要估計(jì)該地區(qū)居民擁有家庭電腦的比例及估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。,2020/9/14,25,解:由上表可得, 根據(jù)前面對(duì)各層層權(quán) 及抽樣比 的計(jì)算結(jié)果,可得各層估計(jì)量的方差: 因此,該地區(qū)居民擁有家庭電腦比例的估計(jì)為: 估計(jì)量的方差為: 估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為:,2020/9/14,26,第三節(jié) 樣本量在各層的分配
8、,確定樣本量:總的樣本量,各層樣本量 估計(jì)量的方差不僅與各層的方差有關(guān),還和各層所分配的樣本量有關(guān)。 實(shí)際工作中有不同的分配方法,可以按各層單元數(shù)占總體單元數(shù)的比例分配,也可以采用使估計(jì)量總方差達(dá)到最小、費(fèi)用最小。,2020/9/14,27,【例3.1】,調(diào)查某地區(qū)的居民奶制品年消費(fèi)支出,以居民戶為抽樣單元,根據(jù)經(jīng)濟(jì)及收入水平將居民戶劃分為4層,每層按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取10戶,調(diào)查獲得如下數(shù)據(jù)(單位:元),要估計(jì)該地區(qū)居民奶制品年消費(fèi)總支出及估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。,2020/9/14,28,40.3,2020/9/14,29,2020/9/14,30,一、比例分配,按各層單元數(shù)占總體單元數(shù)的比例,也就是
9、按各層的層權(quán)進(jìn)行分配. 對(duì)于分層隨機(jī)抽樣,這時(shí)總體均值的估計(jì)是,自加權(quán),2020/9/14,31,總體中的任一個(gè)單元,不管它在哪一個(gè)層,都以同樣的概率入樣,因此按比例分配的分層隨機(jī)樣本,估計(jì)量的形式特別簡(jiǎn)單。這種樣本也稱為自加權(quán)的樣本。,總體比例的估計(jì)是,2020/9/14,32,二、最優(yōu)分配,(一)最優(yōu)分配 在分層隨機(jī)抽樣中,如何將樣本量分配到各層,使得總費(fèi)用給定的條件下,估計(jì)量的方差達(dá)到最小,或給定估計(jì)量方差的條件下,使總費(fèi)用最小,能滿足這個(gè)條件的樣本量分配就是最優(yōu)分配。,2020/9/14,33,對(duì)所有層成立時(shí), 達(dá)到極小,常數(shù),2020/9/14,34,簡(jiǎn)單線性費(fèi)用函數(shù),總費(fèi)用 由此得
10、出下面的行為準(zhǔn)則,如果某一層 單元數(shù)較多 內(nèi)部差異較大 費(fèi)用比較省 則對(duì)這一層的樣本量要多分配一些。,2020/9/14,35,(二)Neyman(內(nèi)曼)分配,如果每層抽樣的費(fèi)用相同,最優(yōu)分配可簡(jiǎn)化為 這種分配稱為Neyman分配。這時(shí), 達(dá)到最小。,2020/9/14,36,2020/9/14,37,例3.3,(續(xù)例3.1),如果樣本量仍為40,則按比例分配和Neyman分配時(shí),各層的樣本量應(yīng)為多少? 按比例分配時(shí),各層的樣本量為:,2020/9/14,38,對(duì)于Neyman分配,,2020/9/14,39,某些層要求大于100%抽樣時(shí)的修正,按最優(yōu)分配時(shí),有時(shí)抽樣比f較大,某個(gè)層的 又比較
11、大,則可能出現(xiàn)按最優(yōu)分配計(jì)算的這個(gè)層的樣本量 超過 的情況。 實(shí)際工作中,如果第 k 層出現(xiàn)這種情況,最優(yōu)分配是對(duì)這個(gè)層進(jìn)行100%的抽樣,即取 ,然后,將剩下的樣本量 按最優(yōu)分配分到各層。,2020/9/14,40,第四節(jié) 樣本量的確定,令 當(dāng)方差 給定時(shí),2020/9/14,41,當(dāng)按比例分配時(shí), 實(shí)際工作中,n的計(jì)算可以分為兩步,先計(jì)算: 然后進(jìn)行修正:,2020/9/14,42,當(dāng)按Neyman分配時(shí),,2020/9/14,43,例3.4,(續(xù)例3.1),如果要求在95%置信度下,相對(duì)誤差不超過10%,則按比例分配和Neyman分配時(shí),總樣本量分別為多少?,=2679.22,2020/9/14,44,當(dāng)按Neyman分配時(shí):,2020/9/14,45,二、最優(yōu)分配需要考慮費(fèi)用時(shí),給定V時(shí),2020/9/14,46,給定C時(shí),2020/9/14,47,三、總體參數(shù)為P的情形,當(dāng)方差給定時(shí),如
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