文科數(shù)學(xué)1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用.ppt

1、1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用,必修3(第二章 統(tǒng)計(jì))知識(shí)結(jié)構(gòu),收集數(shù)據(jù) (隨機(jī)抽樣),整理、分析數(shù)據(jù)估計(jì)、推斷,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣,用樣本估計(jì)總體,變量間的相關(guān)關(guān)系,用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征,線性回歸分析,1、兩個(gè)變量的關(guān)系,不相關(guān),相關(guān)關(guān)系,函數(shù)關(guān)系,線性相關(guān),非線性相關(guān),現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量間的關(guān)系有哪些呢？,相關(guān)關(guān)系：對(duì)于兩個(gè)變量，當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系。,思考：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣的不同？,函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系 相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模

2、型 相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，是更一般的情況,2、最小二乘估計(jì)(使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的 平方和最小的方法叫最小二乘法),最小二乘估計(jì)下的線性回歸方程：,回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心,線性回歸方程 中， 的意義是x每增加一個(gè)單位，y就平均增加 個(gè)單位,C,3、回歸分析的基本步驟:,畫散點(diǎn)圖,求回歸方程,預(yù)報(bào)、決策,這種方法稱為回歸分析.,回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì) 分析的一種常用方法.,回歸分析知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,比數(shù)學(xué)3中“回歸”增加的內(nèi)容,數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì) 畫散點(diǎn)圖 了解最小二乘法的思想 求回歸直線方程 ybxa 用回歸直線方程解決應(yīng)用問題,選修1-2統(tǒng)計(jì)案例 引入線性回歸模型

3、了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因 了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系 了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分析方法與結(jié)果,選修1-2統(tǒng)計(jì)案例 引入線性回歸模型 了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因 了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系 了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分析方法與結(jié)果,例題：某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費(fèi)用（萬(wàn)元） 如下表：,（1）求根據(jù)使用年限預(yù)報(bào)維修費(fèi)用的回歸方程， 并預(yù)報(bào)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用的多少； （2）求殘差、殘差平方和，并進(jìn)行殘差分析； （3）求相關(guān)指數(shù)R，并說明回歸模型擬合效

4、果的好壞.,解：（1）選取使用年限為自變量x，維修費(fèi)用為因變量y，作散點(diǎn)圖,（2）殘差表如下,由殘差表中的數(shù)據(jù)可看出第三和第五個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需確認(rèn)在采集這兩個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)是否有人為的錯(cuò)誤，若有，需糾正數(shù)據(jù)重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適.由以上分析可知，使用年限與維修費(fèi)用成線性關(guān)系.,所以回歸模型的擬合效果很好,探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？,答：用這個(gè)回歸方程不能給出每個(gè)身高為 172cm的女大學(xué)生的體重的預(yù)測(cè)值，只能給出她們平均體重的估計(jì)值。,由于所有的樣本點(diǎn)不共

5、線，而只是散布在某一直線的附近，所以身高和體重的關(guān)系可以用線性回歸模型來(lái)表示：,其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差.,函數(shù)模型與“回歸模型”的關(guān)系,函數(shù)模型：因變量y完全由自變量x確定 回歸模型： 預(yù)報(bào)變量y完全由解釋變量x和隨機(jī)誤差e確定,注：e 產(chǎn)生的主要原因： 1、忽略了其它因素的影響：影響身高 y 的因素 不只是體重 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素； 2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差； 3、身高 y 的觀測(cè)誤差。,思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？,在線性回歸模型中，e是用 預(yù)報(bào)真實(shí)值y的隨機(jī)誤差,它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么應(yīng)如何研究隨機(jī)誤差呢？,

6、殘差：一般地，對(duì)于樣本點(diǎn) 它們的隨機(jī)誤差為 其估計(jì)值為 ， 稱為相應(yīng)于點(diǎn) 的殘差,如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤？如何衡量隨機(jī)模型的擬合效果？,殘差圖的制作和作用： 制作： 坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇. 橫軸為編號(hào)：可以考察殘差與編號(hào)次序之間的關(guān)系， 常用于調(diào)查數(shù)據(jù)錯(cuò)誤. 橫軸為解釋變量：可以考察殘差與解釋變量的關(guān)系， 常用于研究模型是否有改進(jìn)的余地. 作用： 判斷模型的適用性若模型選擇得正確， 殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為中心的帶形區(qū)域.,下面表格列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。,身高與體重殘差圖,幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集

7、過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。,誤差與殘差，這兩個(gè)概念在某程度上具有很大的相似性， 都是衡量不確定性的指標(biāo)，可是兩者又存在區(qū)別。 誤差與測(cè)量有關(guān)，誤差大小可以衡量測(cè)量的準(zhǔn)確性，誤差越大則表示測(cè)量越不準(zhǔn)確。誤差分為兩類：系統(tǒng)誤差與 隨機(jī)誤差。其中，系統(tǒng)誤差與測(cè)量方案有關(guān)，通過改進(jìn)測(cè)量方案可以避免系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差與觀測(cè)者，測(cè)量工具，被觀測(cè)物體的性質(zhì)有關(guān)

8、，只能盡量減小，卻不能避免。 殘差與預(yù)測(cè)有關(guān)，殘差大小可以衡量預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。殘差越大表示預(yù)測(cè)越不準(zhǔn)確。殘差與數(shù)據(jù)本身的分布特性，回歸方程的選擇有關(guān)。,顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好,在線性回歸模型中，R2表示解析變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率,我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是:,注：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)， 在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力.,R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1， 表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）,如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行 回歸分析，則可以通過比較R2的值來(lái)做出選擇， 即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。,下面我們用相關(guān)指數(shù)分析一下例1：,預(yù)報(bào)變量的變化程度可以分解為由解釋變量引起的變化程度與殘差變量的變化程度之和，即,結(jié)合例1思考：用回歸方程預(yù)報(bào)體重時(shí)應(yīng)注意什么？,1.回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體； 2.我們建立的回歸