H-inf-H無窮控制.ppt

1、H設(shè)計的m函數(shù),目 錄,廣義對象的求取 連續(xù)系統(tǒng)H設(shè)計的m函數(shù) 離散系統(tǒng)H設(shè)計的m函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)的H問題的框圖如圖所示，圖中G為系統(tǒng)的廣義對象，K為控制器。,圖1,求解圖中對象G的方法有兩種： 1. m函數(shù)調(diào)用法 2. 直接求取法,一廣義對象的求取,圖2 加權(quán)靈敏度問題,下面通過圖2所示的加權(quán)靈敏度問題的例子來看一下如何通過m函數(shù)調(diào)用來求取系統(tǒng)的廣義對象G。,1. m函數(shù)調(diào)用法,系統(tǒng)除去控制器K以外的部分就是廣義對象G，它是兩入兩出的，輸入信號是w和u，輸出信號是z和y?？捎脗鬟f函數(shù)表示為,設(shè)圖2中的對象P和靈敏度權(quán)函數(shù)W分別為,將參數(shù)代入，可以得到廣義對象G為,G送進(jìn)去以后，調(diào)用下面的三個m函數(shù)

2、，就可以得到廣義對象G的狀態(tài)空間實現(xiàn),A,B,C,D=ssdata(sys),sys=minreal(ss(G),圖2 加權(quán)靈敏度問題,G通過下面的函數(shù)送進(jìn)去,G=tf(0 100,1 1)，tf(-100 2000,1 22 41 20)；1，tf(-1 20,1 21 20),G=ltisys(A,B,C,D),這個G就是我們求解問題時所用的G，它是這樣送進(jìn)去的。,用上面的函數(shù)調(diào)用法來求取G的狀態(tài)實現(xiàn)，是非常簡單的。但是從上面的結(jié)果可以看出，用這種方法得到的狀態(tài)變量純粹是數(shù)值上的運算，脫離了物理概念。,本例中得到的廣義對象G,圖2 加權(quán)靈敏度問題,根據(jù)結(jié)果只能知道這個廣義對象的輸入輸出之間

3、的關(guān)系，這幾個狀態(tài)變量之間的關(guān)系與實際的物理系統(tǒng)之間的狀態(tài)沒有直接聯(lián)系，沒有物理意義。,下面我們?nèi)杂蒙厦娴睦樱弥苯咏顟B(tài)變量的方法來求取廣義對象G的狀態(tài)空間實現(xiàn)(A,B,C,D)。首先來求對象P的狀態(tài)空間實現(xiàn)。設(shè)被控對象P的狀態(tài)變量為x1和x2，根據(jù)P的傳遞函數(shù),可以得到如下的狀態(tài)方程：,2. 直接求取法,設(shè)權(quán)函數(shù)W的狀態(tài)變量為x3，根據(jù)W的傳遞函數(shù)，可以得到權(quán)函數(shù)W的狀態(tài)空間實現(xiàn),根據(jù)圖2中各信號的關(guān)系，進(jìn)一步可以得到廣義對象G的狀態(tài)空間實現(xiàn)為,圖2 加權(quán)靈敏度問題,前面講的這部分內(nèi)容是關(guān)于廣義對象G如何送進(jìn)去，這里我們講了兩種方法：1. m函數(shù)調(diào)用法；2. 直接求取法。接下來要講的是

4、第二部分的內(nèi)容：連續(xù)系統(tǒng)H設(shè)計的m函數(shù)。,1. 函數(shù) hinfsyn,該函數(shù)用來計算系統(tǒng)的 H控制器k，函數(shù)的調(diào)用形式為： k,g,gfin = hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol) 該函數(shù)用的是“DGKF文獻(xiàn)”中的算法： (1) Doyle, J.C., K. Glover, P. Khargonekar, and B. Francis, State-space solutions to standard H2 and Hcontrol problems, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 34, no

5、. 8, pp. 831-847, August 1989. (2) Glover, K., and J.C. Doyle, State-space formulae for all stabilizing controllers that satisfy an H norm bound and relations to risk sensitivity, Systems and Control Letters, vol. 11, pp. 167-172, 1988.,二連續(xù)系統(tǒng)H設(shè)計的m函數(shù),該函數(shù)用來計算系統(tǒng)的 H控制器k，函數(shù)的調(diào)用形式為： k,g,gfin= hinfsyn(G,nme

6、as,ncon,gmin,gmax,tol) 其中輸入變量中的G為如下定義的兩入兩出的廣義對象，也是我們第一部分內(nèi)容里所講的用G=ltisys(A,B,C,D)送進(jìn)去的G。,1. 函數(shù) hinfsyn,G: 系統(tǒng)的廣義對象； nmeas: 連接到控制器的測量輸出的個數(shù)； ncon: 控制輸入的個數(shù)； gmin: 的下界； gmax: 的上界； tol: 的迭代精度； k: H最優(yōu)控制器； g: 閉環(huán)控制系統(tǒng)； gfin: 最終的值；,k,g,gfin=hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol),算例： PS/T混合靈敏度問題,本例的H問題是要求解如下的有約束的優(yōu)化設(shè)

7、計問題,K,圖3PS/T問題,圖3中參數(shù)如下：,圖中除去K以外的部分就是廣義對象G,按照我們第一部分內(nèi)容所講的方法把參數(shù)送進(jìn)去以后，得到系統(tǒng)廣義對象G的狀態(tài)空間實現(xiàn)矩陣如下：,由于調(diào)用函數(shù)hinfsyn時對象要滿足假設(shè)中秩的要求，設(shè)計中取Dp=10-6，以后第4章講DGKF法時還要提到。,廣義對象G由下面的函數(shù)送進(jìn)去： G=ltisys(A,B,C,D) 本例中函數(shù)的調(diào)用形式如下： hinfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol) k,g,gfin=hinfsyn(G,1,1,0.1,2,0.0001),函數(shù)調(diào)用中的迭代過程如下： gamma hamx_eig xinf_

8、eig hamy_eig yinf_eig nrho_xy p/f 2.000 6.8e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 1.050 6.7e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.575 6.6e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p,設(shè)計中權(quán)函數(shù)W1中的是可變的，要取盡可能的最大值，這里給出的是當(dāng)取1000時的迭代過程。,0.338 6.2e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.219 5.3e+00

9、0 -3.3e-003# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.278 5.9e+000 -2.9e-002# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.308 6.1e+000 -4.4e-001# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.323 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.315 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.312 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.00

10、00 p 0.310 6.1e+000 -1.3e+000# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.311 6.1e+000 -1.6e+002# 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 f 0.311 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.311 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.311 6.1e+000 1.2e-016 1.0e-003 -1.9e-017 0.0000 p 0.311 6.1e+000 1.3e-016 1.0e-00

11、3 -1.9e-017 0.0000 p Gamma value achieved: 0.3107 1,逐漸增大，當(dāng)增大到100000時，這就是最終的設(shè)計結(jié)果。,函數(shù)調(diào)用中的迭代過程如下： gamma hamx_eig xinf_eig hamy_eig yinf_eig nrho_xy p/f 2.000 2.1e+001 4.6e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.050 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 0.575 1.4e+001 -9.1e-004# 1.0e-003 0.0e+000 0.000

12、0 f 0.813 1.8e+001 -3.5e+000# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 0.931 1.9e+001 -1.4e+001# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 0.991 1.9e+001 -7.9e+001# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.020 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.005 1.9e+001 -1.1e+003# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.013 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003

13、0.0e+000 0.0000 p,1.009 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.007 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.006 1.9e+001 -4.2e+003# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.007 1.9e+001 4.7e-013 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.007 1.9e+001 -1.6e+004# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f 1.007 1.9e+001 4.7e-013

14、 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 p 1.007 1.9e+001 -5.1e+004# 1.0e-003 0.0e+000 0.0000 f Gamma value achieved: 1.0067,設(shè)計所得的H控制器：,設(shè)計所得的閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值Bode圖如圖4所示，,圖4閉環(huán)系統(tǒng)奇異值Bode圖,2. 函數(shù) hinf,函數(shù)的調(diào)用形式為： sscp,sscl = hinf(G, ssu) 該函數(shù)用的是下面文獻(xiàn)中的算法，對于D11不為0的情形，可以用該函數(shù)求解。 M. G. Safonov, D. J. N. Limebeer and R. Y. Chiang, Simpl

15、ifying the H Theory via Loop Shifting, Matrix Pencil and Descriptor Concepts, Int. J. Contr., vol. 50, no. 6, pp. 2467-2488, 1989. 函數(shù)的輸入變量G為如下定義的廣義對象：,圖5,函數(shù)的輸入變量中的ssu對應(yīng)的就是圖5中的U(s)，是個可調(diào)參數(shù)。一般都取默認(rèn)值0，此時所求得的H控制器是中心控制器。,sscp,sscl = hinf(G, ssu),輸出變量中的sscp表示控制器F(s)，sscl表示閉環(huán)傳遞函數(shù) 。,算例：S/KS/T問題,圖中參數(shù)如下：,圖6,本例的

16、H問題是要求解如下的有約束的優(yōu)化問題,調(diào)用函數(shù)hinf時，其輸入變量G有自己的調(diào)用形式，要用如下的幾個函數(shù)調(diào)用來送進(jìn)去： W1= /900 /15 ;0.01 0.02 0.01; W2=0.0001; W3=0.1 1;3.16/300 3.16; P=ss(ap,bp,cp,dp); G=augtf(P,W1,W2,W3); 其中ap,bp,cp,dp為對象P的狀態(tài)空間實現(xiàn),sscp,sscl = hinf(G, ssu),圖6,本例中函數(shù)hinf的調(diào)用形式為：,圖7 閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值Bode圖,sscp,sscl = hinf(G),當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)的H范數(shù)為0.8916。當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)的

17、H范數(shù)為0.9998，設(shè)計所得的H控制器為：,hinf(G,ssU),該函數(shù)用的是下列文獻(xiàn)中的算法： (1) Doyle, J.C., K. Glover, P. Khargonekar, and B. Francis, State-space solutions to standard H2 and Hcontrol problems, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 34, no. 8, pp. 831-847, August 1989. (2) P. Gahinet, A. Nemirovskii, A. J. Laub, M.

18、Chilali. The LMI Control Toolbox. Proc. of the IEEE Conf. on Dec. and Control. 1994: 2038-2041,3. 函數(shù) hinfric,函數(shù)的調(diào)用形式為：,其中輸入變量中的G為如下定義的廣義對象：,輸入變量中的r是2維列向量， r(1) 表示量測輸出的個數(shù)， r(2)表示控制輸入的個數(shù)。輸出變量gopt表示最優(yōu)的H性能，輸出變量k表示H中心控制器。,gopt,k = hinfric(G,r),該函數(shù)用的是基于Riccati方程的算法，是解析法。其最優(yōu)控制器是在任意階控制器中尋優(yōu)的，所以優(yōu)化效果比較好。函數(shù)對對象的

19、秩的要求比較低。,算例：S/KS/T問題,圖中參數(shù)如下：,圖8,本例的H問題是要求解如下的有約束的優(yōu)化問題,函數(shù)調(diào)用時的廣義對象G由下面的函數(shù)送進(jìn)去：,hinfric(G,r),G=ltisys(A,B,C,D),gopt,k = hinfric(G,1;1),H優(yōu)化設(shè)計所得的閉環(huán)系統(tǒng)的最終值為0.1011，所得的H中心控制器為：,本例中函數(shù)的調(diào)用形式如下：,圖9 加權(quán)閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值Bode圖,該函數(shù)用的是下面文獻(xiàn)中的算法，是基于LMI的算法，對對象的秩的要求也比較低。 (1) P. Gahinet, P. Apkarian. A Linear Matrix Inequality Appro

20、ach to H Control. Int. J. of Robust and Nonlinear control. 1994, 4: 421-448,函數(shù)的調(diào)用形式為：,其中輸入變量中的G為如下定義的廣義對象：,輸入變量中的r是2維列向量， r(1) 表示量測輸出的個數(shù)， r(2)表示控制輸入的個數(shù)。輸出變量gopt表示最優(yōu)的H性能，輸出變量k表示H中心控制器。,gopt,k = hinflmi(G,r),4. 函數(shù) hinflmi,算例：S/KS/T問題,圖10,圖中參數(shù)如下：,本例的H問題是要求解如下的有約束的優(yōu)化問題,函數(shù)調(diào)用時的廣義對象G由下面的函數(shù)送進(jìn)去：,hinflmi(G,r)

21、,G=ltisys(A,B,C,D),gopt,k = hinflmi(G,1;1),H優(yōu)化設(shè)計所得的閉環(huán)系統(tǒng)的最終值為0.1064，所得的H中心控制器為：,本例中函數(shù)的調(diào)用形式如下：,圖11 加權(quán)閉環(huán)系統(tǒng)的奇異值Bode圖,5. 函數(shù) hinfnorm,該函數(shù)用來計算系統(tǒng)的H范數(shù) ，函數(shù)的調(diào)用形式為： out = hinfnorm(sys,tol,iiloc) sys: 為系統(tǒng)矩陣，當(dāng)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)T時，調(diào)用如下的函數(shù)可得到sys A,B,C,D=ssdata(T) sys=ltisys(A,B,C,D) out = hinfnorm(sys,tol,iiloc) tol: 為H范數(shù)的上

22、下界之間的相對精度。 iiloc: 為假定的范數(shù)值所對應(yīng)的初始頻率點。 out是一個 的行向量。分別表示的下界，上界以及下界所對應(yīng)的頻率。,算例：,首先調(diào)用函數(shù)ltisys將系統(tǒng)矩陣sys送進(jìn)去, sys=ltisys(A,B,C,D) 如下調(diào)用函數(shù)hinfnorm hinfnorm(sys,tol,iiloc) out=hinfnorm(sys,0.000001,0) 求得的out=1 1 0。,設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn)為,下界,上界,下界對應(yīng)頻率,6. 函數(shù) norminf,該函數(shù)的調(diào)用形式為 gain,peakf=norminf(sys,tol) 輸入變量中的sys為系統(tǒng)矩陣，tol為相對精度，輸出變量gain為求得的峰值增益，peakf為該范數(shù)值對應(yīng)的頻率。,1. 函數(shù)dhfsyn(對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)為hinfsyn)的調(diào)用形式 k,g,gfin =dhfsyn(G,nmeas,ncon,gmin,gmax,to