第三章 邏輯代數(shù)與邏輯函數(shù)

1、.,第三章 邏輯代數(shù)與 邏輯函數(shù),重點： 邏輯函數(shù)的變換和化簡,3.1 基本邏輯運算,3.4 邏輯函數(shù)門電路的實現(xiàn),3.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡,3.3 卡諾圖化簡及變換,.,3.1 基本邏輯運算,數(shù)字電路研究的是數(shù)字電路的輸入與輸出之間的因果關系，即邏輯關系。邏輯關系一般由邏輯函數(shù)來描述。邏輯函數(shù)是由邏輯變量A，B，C和基本邏輯運算符號 (與)、+（或）、（非）及括號、等號等構成的表達式來表示，如： F=BC+A =F(A,B,C) 式中A、B、C稱為原變量， 稱為對應的反變量，F(xiàn)稱為邏輯函數(shù)（ 稱為F的邏輯反函數(shù)）。,基本公式 1.變量與常數(shù)的計算公式： A0=0 A1=A A+1=1 A

2、+0=A A1= A0=A 2.變量與變量的計算： AA=A A+A=AA =0A+ =1A=A AA=0 A =1,.,二. 基本運算定律,1.交換律：AB=BA A+B=B+A AB=BA 2.結合律：A(BC)=(AB)C (A+B)+C=A+(B+C) (AB) C=A (BC) 3.分配律：A(BC)=ABAC A(B C)=(AB)(AC) 3.吸收律： B+A=A+B AB+C+BC= AB+C 5.反演律(摩根定律)：AB=A+B A+B=A B 以上這些定律可以用基本公式或真值表進行證明。 例1 利用基本公式證明AB+C+BC=AB+C。 證：左邊=AB+C+(A+)BC=A

3、B+C+ABC+BC =AB ( 1+C ) + C ( 1+B ) =AB+ C=右邊 如果AB+C+BCEFG=?,.,三. 基本運算規(guī)則,1運算順序 在邏輯代數(shù)中，運算優(yōu)先順序為:先算括號，再是非運算，然后是與運算，最后是或運算。 2代入規(guī)則 在邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)某一變量的位置都代之以一個邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。這就是代入規(guī)則。,3. 反演規(guī)則 在邏輯求F函數(shù)的反函數(shù)，只要將F式中與+互換，0與1互換，原變量與反變量互換，其余符號和運算順序不變。,例如，已知 。若用Z=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即,.,3.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡,一. 邏輯函數(shù)的變換

4、 利用基本邏輯運算可以將同一個邏輯函數(shù)變換為不同的表達式，一個邏輯函數(shù)通常有以下五種類型的表達式:,與或表達式易于從真值表直接寫出，而且只需運用一次摩根 定律就可以從最簡與或表達式變換為與非-與非表達式，從而可以用與非門電路來實現(xiàn)。,.,二. 邏輯函數(shù)代數(shù)法化簡,1.消去多余項： 2.消去合并項： 3.消去因子: 4.添加項配項：,對較簡單邏輯函數(shù)用代數(shù)化簡很方便。對較復雜的邏輯函數(shù)化簡不但要求熟練掌握邏輯代數(shù)的基本公式，而且需要一些技巧，特別是較難掌握獲得代數(shù)化簡后的最簡邏輯表達式的方法。,例 F=AB+ABC(E+F) 例 F=ABC+ABC 例 F=AB+AC+BC 例 F=AB+BC+

5、BC+AB,最簡與或表達式有兩個特點: 1與項(即乘積項)的個數(shù)最少; 2每個與項中變量的個數(shù)最少。,.,例：根據(jù)真值表寫出函數(shù)T1和T2的與或表達式和與非表達式。,解：,.,3.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法與變換,一. 最小項,特點： 1.每個乘積項都有三個變量，原、反變量均可； 2.每個乘積項中，同一原、反變量只能出現(xiàn)1次； 3. n個原變量的最小項最多有2n個。,性質： 對變量的任一取值，只有一個最小項為1； 兩個最小項之積為0；全部最小項之和為1。,在含有三個輸入變量A、B、C的邏輯函數(shù)中， A、B、C的所有取值可以構成8種不同狀態(tài)，用變量表示為8個乘積項：ABC ABC ABC ABC

6、 ABC ABC ABC ABC，它們統(tǒng)稱為邏輯函數(shù)的最小項。,.,二. 最小項(標準)表達式,對于某種邏輯關系，用真值表來表示是唯一的，用前面討論的邏輯表達式來表示可以有多個表達式。如果用最小項之和組成的表達式來表示，也是唯一的。用最小項表示的邏輯函數(shù)稱為最小項(標準)表達式，其表達式是唯一的。 例：F=ABC+ABC+ABC,最小項表達式還可簡寫為F=mi，式中mi表示最小項，下標i是最小項值為1時對應變量的十進制數(shù)值。 上例可寫為F（A,B,C）= m1+m6+m7 =m(1,6,7)= (1,6,7),.,(1)每方格代表一個最小項，方格內(nèi)的數(shù)字表示相應最小項的下標，最小項的邏輯取值填

7、入相應方格； (2)卡諾圖方格外的字母和數(shù)字為輸入變量及其相應變量取值，變量取值的排序不能改變； (3)相鄰的2個方格稱為邏輯相鄰項（簡稱相鄰項），相鄰項中只有1對變量互為反變量，而其余變量完全相同。 (4)卡諾圖一列中最上和最下2個方格是相鄰項；一行中最左和最右2個方格是相鄰項。,三. 卡諾圖,.,由邏輯函數(shù)真值表直接畫出的卡諾圖,四. 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,真值表輸入變量每一行對應一個最小項，即對應卡諾圖中的一個方格，將最小項取值（即輸出變量取值）填入卡諾圖對應方格中，即構成相應的卡諾圖。,0,0,1,0,1,1,1,0,.,由邏輯函數(shù)表達式畫出的卡諾圖,四. 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示,1,0

8、,0,1,1,0,1,1,例：畫出F=AB+C+ABC 的卡諾圖。,直接畫出卡諾圖,如果邏輯函數(shù)中含有與非項或或非項，應先利用反演律去掉，再按上述方法畫出卡諾圖 。例,.,五.卡諾圖化簡,化簡依據(jù)： 圖中任何2=21個為1的相鄰項可以合并為1個與項，并消去一個變量； 任何4=22個為1的相鄰項可以合并為1個與項，消去2個變量； 任何2K個為1的相鄰項可以合并為1個與項，消去K個變量。 化簡步驟: 將為1的相鄰項（方格）盡可能多的圈出，每個圈內(nèi)1的個數(shù)滿足2k； 方格1可以重復使用,每個圈要有新1； 必須圈完所有的1，獨立1對應一個最小項； 將所有包圍圈內(nèi)的最小項合并成對應與項，然后相加得到最簡

9、與或表達式。,.,例：,用卡諾圖化簡下列函數(shù)：,1,1,1,1,F1=B,1,.,練習,化簡下列邏輯函數(shù)為最簡與或函數(shù)式： F1=XYZ+XY+XYZ F2=BCD+AC+AB+BCD F3=ABC+ABC+ABC+ABC 解：,F1=(7,5,4,6),=X,F3=(4,5,6,7),=A,.,3. 含有無關項的化簡,約束項(不允許或不會出現(xiàn)的最小項)和任意項(最小項可任意取值)統(tǒng)稱為無關項。常用d表示。 無關項在卡諾圖中用表示，既可看作1，也可看作0，視具體情況而定。例如：,F(A,B,C,D) =m(4,6,8,9,10,12,13,14)+d(0,2,5),.,例：用8421BCD碼表

10、示的1位十進制數(shù)，當十進制數(shù)為奇數(shù)時，電路輸出為1，當十進制數(shù)為偶數(shù)時，電路輸出為0。試寫出上述邏輯關系的最簡與或表達式 解：,1,1,1,1,1,0 0 0 0 0,F = D,F(A,B,C,D) =m(1,3,5,7,9) +d(11,12,13,14,15),.,六.卡諾圖變換,與或轉換為或與 轉換原理 F=AD+AC+BD+BC F=A B+C D F=A B+C D =（A+B)(C+D) 化簡步驟: 將為0的相鄰項（方格）盡可能多的圈出，每個圈內(nèi)0的個數(shù)滿足2k； 方格0可以重復使用,每個圈要有新0,必須圈完所有的0 ； 將所有包圍圈內(nèi)的最小項合并成對應或項，注意：合并后變量取值

11、為0用原變量，取值為1用反原變量； 相與所有或項得到最簡或與表達式。,0000 0111 0111 0111,.,與或轉換為與或非 轉換原理 將F= A C+A D+B C+B D轉換為與或非表達式。 F=A B+C D F=A B+C D 化簡步驟: 將為0的相鄰項（方格）盡可能多的圈出，每個圈內(nèi)0的個數(shù)滿足2k； 按圈1化簡，得到反函數(shù)的與或形式； 將反函數(shù)兩邊求反得到最簡與或非表達式。,六.卡諾圖變換,1011 1011 0000 1011,.,六.卡諾圖變換,與或轉換為或非 化簡步驟: 先將與或轉換為或與形式； 再利用摩根定理將或與轉換為或非表達式。 舉例 將F= A BD+AD+BD

12、+ABC轉換為或非表達式: F=(A+B+ D)(B+D)(A+C+D) F=(A+B+ D)+(B+D)+(A+C+D),0110 1001 1001 1011,.,3.4 邏輯函數(shù)門電路的實現(xiàn),邏輯函數(shù)經(jīng)過化簡之后，得到了最簡邏輯表達式。根據(jù)邏輯表達式，就可采用適當?shù)倪壿嬮T來實現(xiàn)邏輯函數(shù)。 邏輯函數(shù)的實現(xiàn)是通過邏輯電路圖表現(xiàn)出來的。邏輯電路圖是由邏輯符號以及其它電路符號構成的電路連接圖。邏輯電路圖是除真值表，邏輯表達式和卡諾圖之外，表達邏輯函數(shù)的另一種方法。邏輯電路圖更接近于邏輯電路設計的工程實際。 由于采用的邏輯門不同，實現(xiàn)邏輯函數(shù)的電路形式也不同。,.,例：已知某電路的輸入A、B、C及

13、輸出F波形如圖所示，試分析該電路的邏輯功能，（1）用與非門畫出其等效的邏輯電路，（2）用或非門畫出其等效的邏輯電路。,解：1)在波形圖標出對應的邏輯值 2)寫出邏輯表達式并化簡,0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0,3)畫出邏輯電路,.,例:用邏輯門實現(xiàn)邏輯函數(shù)F=AB+AC+BC。,解：可用3個與門和1個或門，連接成先“與”后“或”的邏輯電路。,若用4個與非門或4個或非門也可實現(xiàn)該邏輯運算,.,F=AB+AC+BC=,若用4個與非門實現(xiàn)該邏輯函數(shù),在所有基本邏輯門中，與非門是工程實際中大量應用的邏輯門，單獨使用與非門可以實現(xiàn)任何組合的邏輯函數(shù)。,.,練習,1,1,1,1,1,1,1,1,求最簡與或函數(shù)式并用與非門實現(xiàn)，畫出邏輯圖。 F(A,B,C,D)=m(0,2,3,6,7,8,14,15) 解：,.,1,1,用四個與非門實現(xiàn)邏輯函數(shù)，畫出邏輯圖。 F=WXZ+WYZ+XYZ+WXYZ ，d=WYZ 解：,.,1,用兩個或非門實現(xiàn)邏輯函數(shù)，畫出邏輯圖，允許反變量輸