44最值凸性拐點(diǎn)(27).ppt

1、2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),1,上課,手機(jī) 關(guān)了嗎？,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),2,極值點(diǎn)必要條件,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間及極值的步驟:,(1) 求函數(shù)f (x)的定義域；,(2) 求駐點(diǎn)(即方程f (x)0的根)及不可導(dǎo)點(diǎn)；,極值點(diǎn)充分條件,第一充分條件,第二充分條件,(3) 用上述點(diǎn)分定義域?yàn)槿舾蓞^(qū)間，列表考察各區(qū)間f (x)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值.,復(fù) 習(xí),2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),3,二、函數(shù)的最值,1.閉區(qū)間a, b上連續(xù)函數(shù)f (x)的最值,1)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必存在最大、最小值；,2)最值可能在區(qū)間內(nèi)部、也可能在端點(diǎn)取得

2、；,3)最值若在區(qū)間內(nèi)部取得，必為極值。,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),4,求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值:,1）求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);,2）求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,最大的那個(gè)就是最大值,最小的那個(gè)就是最小值;,由上可知：最值點(diǎn) 端點(diǎn)極值點(diǎn),端點(diǎn)駐點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn),從而得：,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),5,解,計(jì)算,例1,比較得,f (1)5,f (0)2,f (2)14,f (3)11,最大值f (3)11,最小值f (2)14,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),6,特例,2)連續(xù)函數(shù)在(a, b)內(nèi)只有一個(gè)極值，則,很多求最大值、最小值的

3、實(shí)際問(wèn)題，屬于特例2)這種類型，并且其唯一極值往往在駐點(diǎn)處取得.,a,b,a,b,1) f (x)在閉區(qū)間a, b上單調(diào)增加(減少), 則,最值在端點(diǎn)取得.,此極值必為函數(shù)在a, b上的最值 (極大值則為最大值，極小值則為最小值) .,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),7,2.最值實(shí)際問(wèn)題舉例,(1)建立目標(biāo)函數(shù);,(2)求最值;,幾何問(wèn)題或生活中實(shí)際問(wèn)題,經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,成本最小化,利潤(rùn)最大化,庫(kù)存控制,解題步驟：,若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最值(最大或最小),2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),8,例2 設(shè)直圓柱形罐頭的容積為定值 V，問(wèn)其高 h 與底

4、半徑 r 為何值時(shí)用料最少(即表面積S最小)?,解,得唯一駐點(diǎn),由,知r0是S(r) 的極小值點(diǎn)，,從而是最小值點(diǎn). 此時(shí),故當(dāng),時(shí)，用料最少.,例3設(shè)某廠每日生產(chǎn)某種產(chǎn)品x單位的總成本為 (元)，問(wèn)每日生產(chǎn)多少單位的產(chǎn)品，其平均成本最?。坎⑶笞钚∑骄杀竞拖鄳?yīng)的邊際成本,解,得唯一駐點(diǎn)x010,由,知,x010為極小值點(diǎn),即最小值點(diǎn).,即每日生產(chǎn)10個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí),平均成本最小,為,(x110舍),(元/單位);,此時(shí)邊際成本為,(元/單位).,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),10,一般地, 如果平均成本 可導(dǎo),則當(dāng) 取得最小值時(shí),必有：,即：,即,對(duì)一般的成本函數(shù),都有最小平

5、均成本等于其相應(yīng)邊際成本的結(jié)論.,例4已知某商品的需求函數(shù)為 ,總成本函數(shù)為 .若工廠有權(quán)自定價(jià)格,問(wèn)每天生產(chǎn)多少個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí),利潤(rùn)最大,此時(shí)價(jià)格為多少?,解,得唯一駐點(diǎn),由,知,為極大值點(diǎn),即最大值點(diǎn).,即每日生產(chǎn)350個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí), 利潤(rùn)最大, 此時(shí)價(jià)格為 個(gè)價(jià)格單位.,由,例5 某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品年銷售量為100萬(wàn)件. 假設(shè) (1)這些產(chǎn)品分成若干批生產(chǎn), 每批需生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1000元(與批量大小無(wú)關(guān));(2)產(chǎn)品均勻銷售(即產(chǎn)品的平均庫(kù)存量為批量的一半),且每件產(chǎn)品庫(kù)存一年需存費(fèi)0.05元.試求使每年生產(chǎn)所需的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為最小的最佳批量(稱為經(jīng)濟(jì)批量).,解,得唯一駐點(diǎn),由,

6、知,為最小值點(diǎn).,由,設(shè)每年的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為C,批量為x,則,因此，最佳批量為20萬(wàn)件.,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),13,在類似于例5的庫(kù)存控制問(wèn)題中,建立函數(shù)關(guān)系時(shí)要抓住兩點(diǎn)： 其一, 我們所討論的往往都是理想化的情形, 即均勻銷售平均庫(kù)存量批量2 ； 其二，批量批次總量倘若所要求的是最佳批次，將批次設(shè)為自變量x，抓住上述兩個(gè)關(guān)系式，也不難列出相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),14,例6 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租, 當(dāng)租金定為每月180元時(shí), 公寓會(huì)全部租出去. 當(dāng)租金每月增加10元時(shí), 就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月

7、需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？,解,設(shè)房租為每月x元，,租出去的房子有 套，,每月總收入為,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),15,(唯一駐點(diǎn)),故每月每套租金為350元時(shí)收入最高。,最大收入為,3.最值應(yīng)用證明不等式,(證f(x)0),而f(0) f(1)0,(端點(diǎn)最小值?),(內(nèi)部最大?),由羅爾定理, 必存在x (0，1),使f (x ) 0,即函數(shù)f(x)至少有一個(gè)駐點(diǎn),f (x)在(0，1)上嚴(yán)格單減,即f(x)有唯一駐點(diǎn),又f (x )0, 故f(x)在x 處取得最大值, f(0) f(1)0為f(x)在0,1上的最小值,2020/9/12,微

8、積分-最值、凸性、拐點(diǎn),17,六、小結(jié),注意最值與極值的區(qū)別.,最值是整體概念而極值是局部概念.,實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟.,一、曲線的凸性與拐點(diǎn),4.5 曲線的凸性、拐點(diǎn)與漸近線,1.曲線凸性定義,2.曲線凸性的判定,證明分析：,切線在曲線下方?,切線:,N(x1, y1)在M下方?,證y1f(x1)!,f(x1)與f(x0)聯(lián)系?,由拉格朗日中值定理,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),20,例8 確定下列函數(shù)曲線的凸性,2020/9/12,21,2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),22,3.曲線拐點(diǎn)定義 連續(xù)曲線上凸弧與凹弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn),拐點(diǎn)嫌疑點(diǎn)的橫坐標(biāo):,(

9、x0, f(x0).,求曲線的凹、凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟:,(1) 求函數(shù)f (x)的定義域；,(2) 求,(3) 用上述點(diǎn)分定義域?yàn)槿舾蓞^(qū)間，列表考察各區(qū)間f (x)的符號(hào)，確定曲線的凸性及拐點(diǎn).,性質(zhì): f (x)在x0點(diǎn)二階可導(dǎo),且(x0, f(x0)是f(x)的拐點(diǎn),則f (x0)0,23,例9 求曲線 的上凸、下凸區(qū)間及拐點(diǎn),解,令y 0得,當(dāng)x20時(shí), y 不存在,不存在,y ,y,x,拐點(diǎn) (-0.5, -0.123),非拐點(diǎn),曲線的上凸區(qū)間為 ，下凸區(qū)間為 和 (0, +)；拐點(diǎn)為(0.5, 0.123),2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),24,例10 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和曲線的凸性區(qū)間、拐點(diǎn),極小值為f (1)=0,(1)略,(1,0)為其拐點(diǎn),2020/9/12,微積分-最值、凸性、拐點(diǎn),25,作業(yè)：,完成 P143 21(2)