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文檔簡介

1、學(xué)習(xí)三角形角平分線的知識時,我發(fā)現(xiàn)了幾個有趣的結(jié)論,讓大家一起來看看吧!例1如圖1,已知ABC的B和C的平分線BD、CE相交于點O求證:BOC= 90+1/2A。解:BD平分ABCABC=2ABD=2DBC同理:ACB=2ACE=2ECB.在BOC中,BOC+DBC+ECB= 180,BOC = 180-(DBC+ECB)= 180-(1/2ABC + 1/2ACB)= 180- 1/2(ABC + ACB)= 180- 1/2(180-A)=180- 90+ 1/2A= 90+ 1/2A即BOC= 90+1/2A。結(jié)論1:在一個三角形中,任意兩個內(nèi)角的角平分線相交形成的鈍角等于90加上第三個

2、角的一半。練習(xí)1、在三角形ABC中,ABC,ACB的平分線相交于D,若BDC=125,則A為_2、例2如圖2,已知BO平分EBC,CO平分FCB,BO、CO相交于點O,探究BOC與A的關(guān)系。解:BO平分EBCEBC=2CBO=2EBO同理:FCB=2BCO=2FCO又ABC+EBC=180ABC=180-EBC= 180-2CBO同理: ACB=180-FCB =180-2BCO又BOC+CBO+BCO =180BOC =180-(CBO+BCO)=180-(1/2EBC+1/2FCB)=180-1/2(EBC+FCB)=180-1/2(180-ABC+180-ACB)= 180-1/2(18

3、0-ABC-ACB + 180)=180-1/2(180+A)=180- 90+1/2A)=90-1/2A即BOC= 90- 1/2A。結(jié)論2:三角形兩個外角的角平分線相交形成的角等于90減去第三個外角對應(yīng)的內(nèi)角的一半。例3如圖3,已知ABC中,BE平分ABC,CE平分ACD,BE、CE相交于點E,探究E與A的關(guān)系。解:BE平分ABCABC = 2ABE= 2EBC同理:ACD = 2ACE = 2ECDACD= ABC +AECD= EBC+ EACD=2ECD即 ABC +A = 2(EBC+ E)=2EBC+ 2E=ABC+ 2EA=2E即E = 1/2A。結(jié)論3:三角形的一個內(nèi)角的角平

4、分線與另一個內(nèi)角的鄰補角的角平分線相交形成的角等于三角形中的第三個內(nèi)角的一半。提示:1、記憶口訣 加減一半2、 三角形內(nèi)角和定理3、轉(zhuǎn)化思想例4、在ABC中,ABC、ACB的平分線交于F,過點F作DE/BC,分別交AB、AC于D、E,已知ADE的周長為24cm,且BC=8cm,求ABC的周長如圖,綠色三角形和青色三角形都是等腰三角形。在這里有一個規(guī)律:角平分線遇平行必有等腰三角形。平行線構(gòu)成的內(nèi)錯角相等,角平分線分兩角相等。圖中標(biāo)出了等角。因此,DF=DB,EF=EC。所以三角形ABC的周長是24+8=32CM三角形角平分線的應(yīng)用例析三角形的角平分線是三角形的主要線段之一,它在幾何的計算或證明

5、中,起著“橋梁”的作用那么如何利用三角形的角平分線解題呢?下面舉例說明一、“以角平分線為軸翻折”構(gòu)造全等三角形此情形可構(gòu)造兩種基本圖形如圖1、2所示:如圖1,以AD為軸翻折,使點C落在AB上(即在AB上截取AE = AC),得ACDAED如圖2,以AD為軸翻折,使點B落在AC的延長線上(即延長AC到E,使 AE = AB),得ABDAED例 1 如圖3,在ABC中,AD平分BAC,AB + BD = AC,求B C的值(河南省)解法1:在AC上截取AE = AB ,連結(jié)AEBAD = DAE,AD = AD,ABDAED,B = AED,BD = DE又AB + BD = AC,CE = BD

6、 = DE,C = EDC,B = AED = 2C,B C = 21解法2:延長AB到E,使AE = AC ,連結(jié)DE請讀者一試二、“角平分線 + 垂線”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形1、根據(jù)角平分線的性質(zhì)作垂線:自角的平分線上任一點向兩邊作垂線,得兩個全等的直角三角形;2、根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)作垂線:自角的一邊上的一點作角平分線的垂線,使之與另一邊相交,則截的一個等腰三角形例 2 如圖4,在四邊形ABCD中,BC BA,AD = DC,BD平分ABC 求證:A + C = 180證明:過點D作DEAB,交BA延 長線于點E,作DFBC,交BC于點F BD平分ABC,DE = DF

7、又AD = DC,RtEADRtFCD,C = EADEAD + BAD = 180,C + BAD = 180例 3 如圖5,已知等腰RtABC中,A = 90,B的平分線交AC于D,過C作BD的垂線交BD的延長線于E求證:BD = 2CE .證明:延長CE交BA的延長線于點F BE是B的平分線,BECF,BCF = F,F(xiàn)BC是等腰三角形CE = FECF = 2CEAB = AC,ABD = ACF,BAD = CAF = 90,RtBADRtCAFBD = CF = 2CE三、“角平分線 + 平行線”構(gòu)造等腰三角形1、自角的平分線上任一點作角的一邊的平行線交另一邊,得等腰三角形;2、自

8、角的一邊上任一點作角平分線的平行線交另一邊的反向延長線,得等腰三角形例4 如圖6,在ABC中,B和C的平分線相交于點F,過F作DEBC,交AB于D,交AC于E若BD + EC =9,則線段DE的長為( ) A.9 B.8 C.7 D.6解:DEBC,DFB = FBC FBC = FBD,DFB = FBD,DF = BD同理可證,F(xiàn)E = EC DF + FE = DE,BD + EC = DE,即DE = 9. 故應(yīng)選A.例5 如圖7,ABC中,AD是BAC的平分線,E是BC中點,EFAD,交AB于M,交CA的延長線于F,求證:BM = CF證明:作CNEF交BA的延長線于NE是BC中點,

9、BM = MNBAD =CAD,EFAD,F(xiàn) = FMA,AM = AF又CNEF,N = ACN,AN = ACAC + AF = AN + AM = BM,BM = CF總之,三角形的角平分線問題的輔助線的添加,一般不外乎以上三種情形,只要根據(jù)題目所給的條件,靈活選用上述三種構(gòu)圖方法,問題可獲得解答與三角形的角平分線有關(guān)的幾個結(jié)論三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系一、三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系例1.已知如圖,BD平分ABC,CD平分外角ACE,A=70,求D的度數(shù).結(jié)論:三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角D與第三個角A的

10、關(guān)系是:二、三角形的兩條內(nèi)角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系例2.已知如圖,BD平分ABC,CD平分ACB,A=70,求D的度數(shù).結(jié)論:三角形的兩條內(nèi)角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是:三、三角形的兩條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系例3.已知如圖,BD平分外角CBE,CD平分外角BCF,A=70,求D的度數(shù).結(jié)論:三角形的兩條外角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是:關(guān)于三角形角平分線的幾個結(jié)論1、若ABC的內(nèi)角的平分線與一個外角的平分線相交于點D,試猜想D與A的關(guān)系,并說明理由1 三角形任意兩個內(nèi)角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系2 三角形中任意一個內(nèi)角平分線與另一個角外角平分線的夾角與第三個內(nèi)

11、角的關(guān)系3 三角形任意兩個內(nèi)角相鄰的外角的平分線說夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系解:如圖,設(shè)ABC中,ABC和ACB的內(nèi)角平分線交于D,ABC的內(nèi)角平分線與ACB的外角平分線交于E,ABC的外角平分線與ACB的外角平分線交于F,則有下列關(guān)系成立:BDC90A/2EA/2F90A/2證明過程如下:1、因為BD平分ABC,所以DBCABC/2同理DCBACB/2因為DBCDCBBDC180所以BDC180DBCDCB180(ABCACB)/2又因為AABCACB180所以ABCACB180A所以BDC180(180A)/2即BDC90A/22、如圖,根據(jù)“三角形任一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和”得:EEB

12、CECG所以EECGEBC同理AACGABC因為EBCABC/2,ECGACG/2所以EACG/2ABC/2(ACGABC)/2A/23、如圖,根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)得:ABCACB180ABFC180(CBFBCF)因為BF、CF為ABC,ACB的外角MBC和NCB的平分線所以MBFCBFCBM/2BCFNCFBCN/2所以BFC180(CBFBCF)180(CBM/2BCN/2)180(CBMBCN)/2因為CBM180ABC,BCN180ACB所以BFC180(180ABC180ACB)/2(ABCACB)/2(180A)/2即F90A/2另外,第三個結(jié)論也可以用第一個結(jié)論進行推導(dǎo)思路如下

13、:先根據(jù)角平分線的條件證明DBFDCF90再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360得:BDCF180而BDC90A/2所以F90A/2當(dāng)然,先證明第三個結(jié)論,再用上面的方法也可以證出第一個結(jié)論變式問題:在四邊形ABCD中,ABC的平分線BE交CD于E,BCD的平分線CF交AB于F,BE,CE相交于O,A=124,D=100.求,BOF的度數(shù)將本題中的BA、CD延長相交于M后就是一個三角形MBC,再作出兩個角的角平分線,演變?yōu)樯厦娴膯栴}的第一小題。而M是很容易求出的(44度)所以BOC90度M/2112度所以BOF180度112度68度初一幾何題(圖上的字母有些抱歉啦,因為不知怎么的那上面的字是在打不出來,

14、只好讓大家看個大概,勉強看看吧(1)如圖,在ABC中,BD平分ABC,CD平分ABC的外角ACE,BD、CD交與點D,圖(1)(2)(3)A度數(shù)分別為40,90,126,求各圖D的度數(shù)。(2)根據(jù)上述求解過程中,你能發(fā)現(xiàn)A與D的大小之間存在著什么規(guī)律嗎?寫出你的發(fā)現(xiàn)(3)如圖(4),A=96,延長BC到DABC與ACD的平分線交與A1,A1BC與A1CD的角平分線交與A2,以此類推,A4BC與A4CD的角平分線交與A5,則A5=?/question/.html解:1)圖1中,D20圖2中,D45圖3中,D632)可以發(fā)現(xiàn):DA/2理由:如圖,根據(jù)“三

15、角形任一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和”得:DDBCDCE所以DDCEDBC同理AACEABC因為BD平分ABC,CD平分ABC的外角ACE所以DBCABC/2,DCEACE/2所以DACE/2ABC/2(ACEABC)/2A/23)重復(fù)運用上面的結(jié)論得:A1A/248A2A1/224A3A2/212A4A3/26A5A4/23三角形三外角的平分線的反向延長線相交構(gòu)成的三角形是什么形狀/question/.html解:一定是銳角三角形如圖,設(shè)ABC的三條外角平分線構(gòu)成的三角形是DEF可以證明:EDF90BAC/290DEF90ABC/290DFE90A

16、CB/290例1如圖1,已知ABC的B和C的平分線BD、CE相交于點O 求證:BOC= 90+1/2A。解:BD平分ABC ABC=2ABD=2DBC 同理:ACB=2ACE=2ECB. 在BOC中,BOC+DBC+ECB= 180, BOC = 180-(DBC+ECB)= 180-(1/2ABC + 1/2ACB)= 180- 1/2(ABC + ACB)= 180- 1/2(180-A)=180- 90+ 1/2A = 90+ 1/2A 即BOC= 90+1/2A。結(jié)論1:在一個三角形中,任意兩個內(nèi)角的角平分線相交形成的鈍角等于90加上第三個角的一半。練習(xí) 1、在三角形ABC中,ABC,

17、ACB的平分線相交于D,若BDC=125,則A為 _ 2、例2如圖2,已知BO平分EBC,CO平分FCB,BO、CO相交于點O,探究BOC與A的關(guān)系。解:BO平分EBC EBC=2CBO=2EBO 同理: FCB=2BCO=2FCO 又ABC+EBC=180 ABC=180-EBC = 180-2CBO同理: ACB=180-FCB = 180-2BCO 又BOC+CBO+BCO =180 BOC =180-(CBO+BCO) =180-(1/2EBC +1/2FCB) =180-1/2(EBC +FCB)= 180-1/2(180-ABC +180-ACB) = 180-1/2(180-AB

18、C -ACB + 180) =180- 1/2(180+A) =180- 90+1/2A) =90-1/2A 即BOC= 90- 1/2A。 結(jié)論2:三角形兩個外角的角平分線相交形成的角等于90減去第三個外角對應(yīng)的內(nèi)角的一半。例3如圖3,已知ABC中,BE平分ABC,CE平分ACD,BE、CE相交于點E,探究E與A的關(guān)系。解:BE平分ABC ABC = 2ABE= 2EBC 同理: ACD = 2ACE = 2ECD ACD = ABC +A ECD = EBC+ E ACD = 2ECD 即 ABC +A = 2(EBC+ E) =2EBC+ 2E=ABC+ 2E A =2E 即E = 1/

19、2A。 結(jié)論3:三角形的一個內(nèi)角的角平分線與另一個內(nèi)角的鄰補角的角平分線相交形成的角等于三角形中的第三個內(nèi)角的一半。提示:1、記憶口訣 加減一半 2、 三角形內(nèi)角和定理 3、轉(zhuǎn)化思想例4、在ABC中,ABC、ACB的平分線交于F,過點F作DE/BC,分別交AB、AC于D、E,已知ADE的周長為24cm,且BC=8cm, 求ABC的周長 如圖,綠色三角形和青色三角形都是等腰三角形。在這里有一個規(guī)律: 角平分線遇平行必有等腰三角形。 平行線構(gòu)成的內(nèi)錯角相等,角平分線分兩角相等。圖中標(biāo)出了等角。因此,DF=DB,EF=EC。所以三角形ABC的周長是24+8=32CM 三角形角平分線的應(yīng)用例析 三角形

20、的角平分線是三角形的主要線段之一,它在幾何的計算或證明中,起著“橋梁”的作用那么如何利用三角形的角平分線解題呢?下面舉例說明 一、“以角平分線為軸翻折”構(gòu)造全等三角形 此情形可構(gòu)造兩種基本圖形如圖1、2所示:如圖1,以AD為軸翻折,使點C落在AB上(即在AB上截取AE = AC),得ACDAED如圖2,以AD為軸翻折,使點B落在AC的延長線上(即延長AC到E,使 AE = AB),得ABDAED 例 1 如圖3,在ABC中,AD平分BAC,AB + BD = AC,求B C的值(河南?。?解法1:在AC上截取AE = AB ,連結(jié)AE BAD = DAE,AD = AD, ABDAED, B

21、= AED,BD = DE 又AB + BD = AC, CE = BD = DE, C = EDC, B = AED = 2C, B C = 21 解法2:延長AB到E,使AE = AC ,連結(jié)DE請讀者一試 二、“角平分線 + 垂線”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形 1、根據(jù)角平分線的性質(zhì)作垂線:自角的平分線上任一點向兩邊作垂線,得兩個全等的直角三角形; 2、根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)作垂線:自角的一邊上的一點作角平分線的垂線,使之與另一邊相交,則截的一個等腰三角形 例 2 如圖4,在四邊形ABCD中,BC BA,AD = DC,BD平分ABC 求證:A + C = 180 證明:過點D作

22、DEAB,交BA延 長線于點E,作DFBC,交BC于點F BD平分ABC, DE = DF 又AD = DC, RtEADRtFCD, C = EAD EAD + BAD = 180, C + BAD = 180 例 3 如圖5,已知等腰RtABC中,A = 90,B的平分線交AC于D,過C作BD的垂線交BD的延長線于E求證:BD = 2CE .證明:延長CE交BA的延長線于點F BE是B的平分線,BECF,BCF = F,F(xiàn)BC是等腰三角形CE = FECF = 2CEAB = AC,ABD = ACF,BAD = CAF = 90,RtBADRtCAFBD = CF = 2CE三、“角平分

23、線 + 平行線”構(gòu)造等腰三角形1、自角的平分線上任一點作角的一邊的平行線交另一邊,得等腰三角形;2、自角的一邊上任一點作角平分線的平行線交另一邊的反向延長線,得等腰三角形例4 如圖6,在ABC中,B和C的平分線相交于點F,過F作DEBC,交AB于D,交AC于E若BD + EC =9,則線段DE的長為( ) A.9 B.8 C.7 D.6解:DEBC,DFB = FBC FBC = FBD,DFB = FBD,DF = BD同理可證,F(xiàn)E = EC DF + FE = DE,BD + EC = DE,即DE = 9. 故應(yīng)選A.例5 如圖7,ABC中,AD是BAC的平分線,E是BC中點,EFAD

24、,交AB于M,交CA的延長線于F,求證:BM = CF證明:作CNEF交BA的延長線于NE是BC中點,BM = MNBAD =CAD,EFAD,F(xiàn) = FMA,AM = AF又CNEF,N = ACN,AN = ACAC + AF = AN + AM = BM,BM = CF總之,三角形的角平分線問題的輔助線的添加,一般不外乎以上三種情形,只要根據(jù)題目所給的條件,靈活選用上述三種構(gòu)圖方法,問題可獲得解答 與三角形的角平分線有關(guān)的幾個結(jié)論 三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系 一、三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系 例1.已知如圖,BD平分ABC

25、,CD平分外角ACE,A=70,求D的度數(shù). 結(jié)論:三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是: 二、三角形的兩條內(nèi)角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系 例2.已知如圖,BD平分ABC,CD平分ACB,A=70,求D的度數(shù). 結(jié)論:三角形的兩條內(nèi)角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是: 三、三角形的兩條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系 例3.已知如圖,BD平分外角CBE,CD平分外角BCF,A=70,求D的度數(shù). 結(jié)論:三角形的兩條外角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是: 關(guān)于三角形角平分線的幾個結(jié)論1、 若ABC的內(nèi)角的平分線與一個外角的平分線相交于點D,試猜想D與A的關(guān)系,

26、并說明理由1 三角形任意兩個內(nèi)角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系2 三角形中任意一個內(nèi)角平分線與另一個角外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系3 三角形任意兩個內(nèi)角相鄰的外角的平分線說夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系解:如圖,設(shè)ABC中,ABC和ACB的內(nèi)角平分線交于D,ABC的內(nèi)角平分線與ACB的外角平分線交于E,ABC的外角平分線與ACB的外角平分線交于F,則有下列關(guān)系成立:BDC90A/2EA/2F90A/2證明過程如下:1、因為BD平分ABC,所以DBCABC/2同理DCBACB/2因為DBCDCBBDC180所以BDC180DBCDCB180(ABCACB)/2又因為AABCACB180所以ABCA

27、CB180A所以BDC180(180A)/2即BDC90A/22、如圖,根據(jù)“三角形任一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和”得:EEBCECG所以EECGEBC同理AACGABC因為EBCABC/2,ECGACG/2所以EACG/2ABC/2(ACGABC)/2A/23、如圖,根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)得:ABCACB180ABFC180(CBFBCF)因為BF、CF為ABC,ACB的外角MBC和NCB的平分線所以MBFCBFCBM/2BCFNCFBCN/2所以BFC180(CBFBCF)180(CBM/2BCN/2)180(CBMBCN)/2因為CBM180ABC,BCN180ACB所以BFC180(180ABC180ACB)/2(ABCACB)/2(180A)/2即F90A/2另外,第三個結(jié)論也可以用第一個結(jié)論進行推導(dǎo)思路如下:先根據(jù)角

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