學(xué)習(xí)三角形角平分線的知識時

1、學(xué)習(xí)三角形角平分線的知識時,我發(fā)現(xiàn)了幾個有趣的結(jié)論，讓大家一起來看看吧！例1如圖1，已知ABC的B和C的平分線BD、CE相交于點O求證：BOC= 90+1/2A。解：BD平分ABCABC=2ABD=2DBC同理：ACB=2ACE=2ECB.在BOC中，BOC+DBC+ECB= 180，BOC = 180-(DBC+ECB)= 180-(1/2ABC + 1/2ACB)= 180- 1/2(ABC + ACB)= 180- 1/2(180-A)=180- 90+ 1/2A= 90+ 1/2A即BOC= 90+1/2A。結(jié)論1：在一個三角形中，任意兩個內(nèi)角的角平分線相交形成的鈍角等于90加上第三個

2、角的一半。練習(xí)1、在三角形ABC中，ABC，ACB的平分線相交于D，若BDC=125，則A為_2、例2如圖2，已知BO平分EBC，CO平分FCB，BO、CO相交于點O，探究BOC與A的關(guān)系。解：BO平分EBCEBC=2CBO=2EBO同理：FCB=2BCO=2FCO又ABC+EBC=180ABC=180-EBC= 180-2CBO同理： ACB=180-FCB =180-2BCO又BOC+CBO+BCO =180BOC =180-(CBO+BCO)=180-(1/2EBC+1/2FCB）=180-1/2(EBC+FCB）=180-1/2(180-ABC+180-ACB)= 180-1/2(18

3、0-ABC-ACB + 180)=180-1/2(180+A)=180- 90+1/2A)=90-1/2A即BOC= 90- 1/2A。結(jié)論2：三角形兩個外角的角平分線相交形成的角等于90減去第三個外角對應(yīng)的內(nèi)角的一半。例3如圖3，已知ABC中，BE平分ABC,CE平分ACD，BE、CE相交于點E，探究E與A的關(guān)系。解：BE平分ABCABC = 2ABE= 2EBC同理：ACD = 2ACE = 2ECDACD= ABC +AECD= EBC+ EACD=2ECD即 ABC +A = 2(EBC+ E)=2EBC+ 2E=ABC+ 2EA=2E即E = 1/2A。結(jié)論3：三角形的一個內(nèi)角的角平

4、分線與另一個內(nèi)角的鄰補角的角平分線相交形成的角等于三角形中的第三個內(nèi)角的一半。提示：1、記憶口訣 加減一半2、 三角形內(nèi)角和定理3、轉(zhuǎn)化思想例4、在ABC中,ABC、ACB的平分線交于F，過點F作DE/BC，分別交AB、AC于D、E，已知ADE的周長為24cm,且BC=8cm，求ABC的周長如圖，綠色三角形和青色三角形都是等腰三角形。在這里有一個規(guī)律：角平分線遇平行必有等腰三角形。平行線構(gòu)成的內(nèi)錯角相等，角平分線分兩角相等。圖中標(biāo)出了等角。因此，DF=DB，EF=EC。所以三角形ABC的周長是24+8=32CM三角形角平分線的應(yīng)用例析三角形的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何的計算或證明

5、中，起著“橋梁”的作用那么如何利用三角形的角平分線解題呢？下面舉例說明一、“以角平分線為軸翻折”構(gòu)造全等三角形此情形可構(gòu)造兩種基本圖形如圖1、2所示：如圖1，以AD為軸翻折，使點C落在AB上（即在AB上截取AE = AC），得ACDAED如圖2，以AD為軸翻折，使點B落在AC的延長線上（即延長AC到E，使 AE = AB），得ABDAED例 1 如圖3，在ABC中，AD平分BAC，AB + BD = AC，求B C的值（河南省）解法1：在AC上截取AE = AB ，連結(jié)AEBAD = DAE，AD = AD，ABDAED，B = AED，BD = DE又AB + BD = AC，CE = BD

6、 = DE，C = EDC，B = AED = 2C，B C = 21解法2：延長AB到E，使AE = AC ，連結(jié)DE請讀者一試二、“角平分線 + 垂線”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形1、根據(jù)角平分線的性質(zhì)作垂線：自角的平分線上任一點向兩邊作垂線，得兩個全等的直角三角形；2、根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)作垂線：自角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與另一邊相交，則截的一個等腰三角形例 2 如圖4，在四邊形ABCD中，BC BA，AD = DC，BD平分ABC 求證：A + C = 180證明：過點D作DEAB，交BA延 長線于點E，作DFBC，交BC于點F BD平分ABC，DE = DF

7、又AD = DC，RtEADRtFCD，C = EADEAD + BAD = 180，C + BAD = 180例 3 如圖5，已知等腰RtABC中，A = 90，B的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長線于E求證：BD = 2CE .證明：延長CE交BA的延長線于點F BE是B的平分線，BECF，BCF = F，F(xiàn)BC是等腰三角形CE = FECF = 2CEAB = AC，ABD = ACF，BAD = CAF = 90，RtBADRtCAFBD = CF = 2CE三、“角平分線 + 平行線”構(gòu)造等腰三角形1、自角的平分線上任一點作角的一邊的平行線交另一邊，得等腰三角形；2、自

8、角的一邊上任一點作角平分線的平行線交另一邊的反向延長線，得等腰三角形例4 如圖6，在ABC中，B和C的平分線相交于點F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E若BD + EC =9，則線段DE的長為（ ） A.9 B.8 C.7 D.6解：DEBC，DFB = FBC FBC = FBD，DFB = FBD，DF = BD同理可證，F(xiàn)E = EC DF + FE = DE，BD + EC = DE，即DE = 9. 故應(yīng)選A.例5 如圖7，ABC中，AD是BAC的平分線，E是BC中點，EFAD，交AB于M，交CA的延長線于F，求證：BM = CF證明：作CNEF交BA的延長線于NE是BC中點，

9、BM = MNBAD =CAD，EFAD，F(xiàn) = FMA，AM = AF又CNEF，N = ACN，AN = ACAC + AF = AN + AM = BM，BM = CF總之，三角形的角平分線問題的輔助線的添加，一般不外乎以上三種情形，只要根據(jù)題目所給的條件，靈活選用上述三種構(gòu)圖方法，問題可獲得解答與三角形的角平分線有關(guān)的幾個結(jié)論三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系一、三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系例1.已知如圖，BD平分ABC，CD平分外角ACE，A=70，求D的度數(shù).結(jié)論：三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角D與第三個角A的

10、關(guān)系是：二、三角形的兩條內(nèi)角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系例2.已知如圖，BD平分ABC，CD平分ACB，A=70，求D的度數(shù).結(jié)論：三角形的兩條內(nèi)角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是：三、三角形的兩條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系例3.已知如圖，BD平分外角CBE，CD平分外角BCF，A=70，求D的度數(shù).結(jié)論：三角形的兩條外角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是：關(guān)于三角形角平分線的幾個結(jié)論1、若ABC的內(nèi)角的平分線與一個外角的平分線相交于點D，試猜想D與A的關(guān)系，并說明理由1 三角形任意兩個內(nèi)角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系2 三角形中任意一個內(nèi)角平分線與另一個角外角平分線的夾角與第三個內(nèi)

11、角的關(guān)系3 三角形任意兩個內(nèi)角相鄰的外角的平分線說夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系解：如圖，設(shè)ABC中，ABC和ACB的內(nèi)角平分線交于D，ABC的內(nèi)角平分線與ACB的外角平分線交于E，ABC的外角平分線與ACB的外角平分線交于F，則有下列關(guān)系成立：BDC90A/2EA/2F90A/2證明過程如下：1、因為BD平分ABC，所以DBCABC/2同理DCBACB/2因為DBCDCBBDC180所以BDC180DBCDCB180(ABCACB)/2又因為AABCACB180所以ABCACB180A所以BDC180(180A)/2即BDC90A/22、如圖，根據(jù)“三角形任一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和”得：EEB

12、CECG所以EECGEBC同理AACGABC因為EBCABC/2，ECGACG/2所以EACG/2ABC/2(ACGABC)/2A/23、如圖，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)得：ABCACB180ABFC180(CBFBCF)因為BF、CF為ABC，ACB的外角MBC和NCB的平分線所以MBFCBFCBM/2BCFNCFBCN/2所以BFC180(CBFBCF)180(CBM/2BCN/2)180(CBMBCN)/2因為CBM180ABC，BCN180ACB所以BFC180(180ABC180ACB)/2(ABCACB)/2(180A)/2即F90A/2另外，第三個結(jié)論也可以用第一個結(jié)論進行推導(dǎo)思路如下

13、：先根據(jù)角平分線的條件證明DBFDCF90再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360得：BDCF180而BDC90A/2所以F90A/2當(dāng)然，先證明第三個結(jié)論，再用上面的方法也可以證出第一個結(jié)論變式問題：在四邊形ABCD中，ABC的平分線BE交CD于E，BCD的平分線CF交AB于F，BE，CE相交于O，A=124，D=100.求，BOF的度數(shù)將本題中的BA、CD延長相交于M后就是一個三角形MBC，再作出兩個角的角平分線，演變?yōu)樯厦娴膯栴}的第一小題。而M是很容易求出的（44度）所以BOC90度M/2112度所以BOF180度112度68度初一幾何題（圖上的字母有些抱歉啦，因為不知怎么的那上面的字是在打不出來，

14、只好讓大家看個大概，勉強看看吧（1）如圖，在ABC中，BD平分ABC，CD平分ABC的外角ACE，BD、CD交與點D,圖（1）(2）（3）A度數(shù)分別為40，90，126，求各圖D的度數(shù)。（2）根據(jù)上述求解過程中，你能發(fā)現(xiàn)A與D的大小之間存在著什么規(guī)律嗎？寫出你的發(fā)現(xiàn)(3)如圖(4),A=96，延長BC到DABC與ACD的平分線交與A1，A1BC與A1CD的角平分線交與A2，以此類推，A4BC與A4CD的角平分線交與A5，則A5=？/question/.html解：1）圖1中，D20圖2中，D45圖3中，D632）可以發(fā)現(xiàn)：DA/2理由：如圖，根據(jù)“三

15、角形任一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和”得：DDBCDCE所以DDCEDBC同理AACEABC因為BD平分ABC，CD平分ABC的外角ACE所以DBCABC/2，DCEACE/2所以DACE/2ABC/2(ACEABC)/2A/23）重復(fù)運用上面的結(jié)論得：A1A/248A2A1/224A3A2/212A4A3/26A5A4/23三角形三外角的平分線的反向延長線相交構(gòu)成的三角形是什么形狀/question/.html解：一定是銳角三角形如圖，設(shè)ABC的三條外角平分線構(gòu)成的三角形是DEF可以證明：EDF90BAC/290DEF90ABC/290DFE90A

16、CB/290例1如圖1，已知ABC的B和C的平分線BD、CE相交于點O 求證：BOC= 90+1/2A。解：BD平分ABC ABC=2ABD=2DBC 同理：ACB=2ACE=2ECB. 在BOC中，BOC+DBC+ECB= 180， BOC = 180-(DBC+ECB)= 180-(1/2ABC + 1/2ACB)= 180- 1/2(ABC + ACB)= 180- 1/2(180-A)=180- 90+ 1/2A = 90+ 1/2A 即BOC= 90+1/2A。結(jié)論1：在一個三角形中，任意兩個內(nèi)角的角平分線相交形成的鈍角等于90加上第三個角的一半。練習(xí) 1、在三角形ABC中，ABC，

17、ACB的平分線相交于D，若BDC=125，則A為 _ 2、例2如圖2，已知BO平分EBC，CO平分FCB，BO、CO相交于點O，探究BOC與A的關(guān)系。解：BO平分EBC EBC=2CBO=2EBO 同理： FCB=2BCO=2FCO 又ABC+EBC=180 ABC=180-EBC = 180-2CBO同理： ACB=180-FCB = 180-2BCO 又BOC+CBO+BCO =180 BOC =180-(CBO+BCO) =180-(1/2EBC +1/2FCB） =180-1/2(EBC +FCB）= 180-1/2(180-ABC +180-ACB) = 180-1/2(180-AB

18、C -ACB + 180) =180- 1/2(180+A) =180- 90+1/2A) =90-1/2A 即BOC= 90- 1/2A。 結(jié)論2：三角形兩個外角的角平分線相交形成的角等于90減去第三個外角對應(yīng)的內(nèi)角的一半。例3如圖3，已知ABC中，BE平分ABC,CE平分ACD，BE、CE相交于點E，探究E與A的關(guān)系。解：BE平分ABC ABC = 2ABE= 2EBC 同理： ACD = 2ACE = 2ECD ACD = ABC +A ECD = EBC+ E ACD = 2ECD 即 ABC +A = 2(EBC+ E) =2EBC+ 2E=ABC+ 2E A =2E 即E = 1/

19、2A。 結(jié)論3：三角形的一個內(nèi)角的角平分線與另一個內(nèi)角的鄰補角的角平分線相交形成的角等于三角形中的第三個內(nèi)角的一半。提示：1、記憶口訣 加減一半 2、 三角形內(nèi)角和定理 3、轉(zhuǎn)化思想例4、在ABC中,ABC、ACB的平分線交于F，過點F作DE/BC，分別交AB、AC于D、E，已知ADE的周長為24cm,且BC=8cm， 求ABC的周長 如圖，綠色三角形和青色三角形都是等腰三角形。在這里有一個規(guī)律： 角平分線遇平行必有等腰三角形。 平行線構(gòu)成的內(nèi)錯角相等，角平分線分兩角相等。圖中標(biāo)出了等角。因此，DF=DB，EF=EC。所以三角形ABC的周長是24+8=32CM 三角形角平分線的應(yīng)用例析 三角形

20、的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何的計算或證明中，起著“橋梁”的作用那么如何利用三角形的角平分線解題呢？下面舉例說明 一、“以角平分線為軸翻折”構(gòu)造全等三角形 此情形可構(gòu)造兩種基本圖形如圖1、2所示：如圖1，以AD為軸翻折，使點C落在AB上（即在AB上截取AE = AC），得ACDAED如圖2，以AD為軸翻折，使點B落在AC的延長線上（即延長AC到E，使 AE = AB），得ABDAED 例 1 如圖3，在ABC中，AD平分BAC，AB + BD = AC，求B C的值（河南?。?解法1：在AC上截取AE = AB ，連結(jié)AE BAD = DAE，AD = AD， ABDAED， B

21、= AED，BD = DE 又AB + BD = AC， CE = BD = DE， C = EDC， B = AED = 2C， B C = 21 解法2：延長AB到E，使AE = AC ，連結(jié)DE請讀者一試 二、“角平分線 + 垂線”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形 1、根據(jù)角平分線的性質(zhì)作垂線：自角的平分線上任一點向兩邊作垂線，得兩個全等的直角三角形； 2、根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)作垂線：自角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與另一邊相交，則截的一個等腰三角形 例 2 如圖4，在四邊形ABCD中，BC BA，AD = DC，BD平分ABC 求證：A + C = 180 證明：過點D作

22、DEAB，交BA延 長線于點E，作DFBC，交BC于點F BD平分ABC， DE = DF 又AD = DC， RtEADRtFCD， C = EAD EAD + BAD = 180， C + BAD = 180 例 3 如圖5，已知等腰RtABC中，A = 90，B的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長線于E求證：BD = 2CE .證明：延長CE交BA的延長線于點F BE是B的平分線，BECF，BCF = F，F(xiàn)BC是等腰三角形CE = FECF = 2CEAB = AC，ABD = ACF，BAD = CAF = 90，RtBADRtCAFBD = CF = 2CE三、“角平分

23、線 + 平行線”構(gòu)造等腰三角形1、自角的平分線上任一點作角的一邊的平行線交另一邊，得等腰三角形；2、自角的一邊上任一點作角平分線的平行線交另一邊的反向延長線，得等腰三角形例4 如圖6，在ABC中，B和C的平分線相交于點F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E若BD + EC =9，則線段DE的長為（ ） A.9 B.8 C.7 D.6解：DEBC，DFB = FBC FBC = FBD，DFB = FBD，DF = BD同理可證，F(xiàn)E = EC DF + FE = DE，BD + EC = DE，即DE = 9. 故應(yīng)選A.例5 如圖7，ABC中，AD是BAC的平分線，E是BC中點，EFAD

24、，交AB于M，交CA的延長線于F，求證：BM = CF證明：作CNEF交BA的延長線于NE是BC中點，BM = MNBAD =CAD，EFAD，F(xiàn) = FMA，AM = AF又CNEF，N = ACN，AN = ACAC + AF = AN + AM = BM，BM = CF總之，三角形的角平分線問題的輔助線的添加，一般不外乎以上三種情形，只要根據(jù)題目所給的條件，靈活選用上述三種構(gòu)圖方法，問題可獲得解答 與三角形的角平分線有關(guān)的幾個結(jié)論 三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系 一、三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系 例1.已知如圖，BD平分ABC

25、，CD平分外角ACE，A=70，求D的度數(shù). 結(jié)論：三角形的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是： 二、三角形的兩條內(nèi)角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系 例2.已知如圖，BD平分ABC，CD平分ACB，A=70，求D的度數(shù). 結(jié)論：三角形的兩條內(nèi)角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是： 三、三角形的兩條外角平分線的夾角與第三個角的關(guān)系 例3.已知如圖，BD平分外角CBE，CD平分外角BCF，A=70，求D的度數(shù). 結(jié)論：三角形的兩條外角平分線的夾角D與第三個角A的關(guān)系是： 關(guān)于三角形角平分線的幾個結(jié)論1、 若ABC的內(nèi)角的平分線與一個外角的平分線相交于點D，試猜想D與A的關(guān)系，

26、并說明理由1 三角形任意兩個內(nèi)角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系2 三角形中任意一個內(nèi)角平分線與另一個角外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系3 三角形任意兩個內(nèi)角相鄰的外角的平分線說夾角與第三個內(nèi)角的關(guān)系解：如圖，設(shè)ABC中，ABC和ACB的內(nèi)角平分線交于D，ABC的內(nèi)角平分線與ACB的外角平分線交于E，ABC的外角平分線與ACB的外角平分線交于F，則有下列關(guān)系成立：BDC90A/2EA/2F90A/2證明過程如下：1、因為BD平分ABC，所以DBCABC/2同理DCBACB/2因為DBCDCBBDC180所以BDC180DBCDCB180(ABCACB)/2又因為AABCACB180所以ABCA

27、CB180A所以BDC180(180A)/2即BDC90A/22、如圖，根據(jù)“三角形任一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和”得：EEBCECG所以EECGEBC同理AACGABC因為EBCABC/2，ECGACG/2所以EACG/2ABC/2(ACGABC)/2A/23、如圖，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)得：ABCACB180ABFC180(CBFBCF)因為BF、CF為ABC，ACB的外角MBC和NCB的平分線所以MBFCBFCBM/2BCFNCFBCN/2所以BFC180(CBFBCF)180(CBM/2BCN/2)180(CBMBCN)/2因為CBM180ABC，BCN180ACB所以BFC180(180ABC180ACB)/2(ABCACB)/2(180A)/2即F90A/2另外，第三個結(jié)論也可以用第一個結(jié)論進行推導(dǎo)思路如下：先根據(jù)角