高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)學案(含解析)新人教A版選修

1、1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)學習目標1理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系2會求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值知識鏈接極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)，但是我們往往更關心函數(shù)在某個區(qū)間上哪個值最大，哪個值最小，函數(shù)的極值與最值有怎樣的關系？答函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點處取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點處取得必定是極值，所以在開區(qū)間(a，b)上若存在最值，

2、則必是極值預習導引1函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則該函數(shù)在a，b上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在端點處或極值點處取得2求函數(shù)yf(x)在a，b上的最值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值3函數(shù)在開區(qū)間(a，b)的最值在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值；若函數(shù)f(x)在開區(qū)間I上只有一個極值，且是極大(小)值，則這個極大(小)值就是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大(小)值4極值與最值的

3、意義(1)最值是在區(qū)間a，b上的函數(shù)值相比較最大(小)的值；(2)極值是在區(qū)間a，b上的某一個數(shù)值x0附近相比較最大(小)的值要點一求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值例1求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)x42x23，x3,2；(2)f(x)x33x26x2，x1,1解(1)f(x)4x34x，令f(x)4x(x1)(x1)0，得x1，x0，x1.當x變化時，f(x)及f(x)的變化情況如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60極大值4極小值3極大值45當x3時，f(x)取最小值60；當x1或x1時，f(x)取最大值4.(2)f(x)3x26x63(x22x2)

4、3(x1)23，f(x)在1,1內(nèi)恒大于0，f(x)在1,1上為增函數(shù)故x1時，f(x)最小值12；x1時，f(x)最大值2.即f(x)的最小值為12，最大值為2.規(guī)律方法(1)求函數(shù)的最值，顯然求極值是關鍵的一環(huán)但僅僅是求最值，可用下面簡化的方法求得求出導數(shù)為零的點比較這些點與端點處函數(shù)值的大小，就可求出函數(shù)的最大值和最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)且單調(diào)，則最大、最小值在端點處取得跟蹤演練1求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5解(1)f(x)x34x4，f(x)x24.令f(x)0，得x12，x22.f(2)，f(0)4，f(3

5、)1，函數(shù)f(x)在0,3上的最大值為4，最小值.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在區(qū)間2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,5上單調(diào)遞減，x2時，函數(shù)f(x)取得最大值f(2)e2；x5時，函數(shù)f(x)取得最小值f(5)22e5.要點二含參數(shù)的函數(shù)的最值問題例2已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa)求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值解令f(x)0，解得x10，x2.當0，即a0時，f(x)在0,2上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(2)84a.當2，即a3時，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，從而f(x

6、)maxf(0)0.當02，即0a3時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而f(x)max綜上所述，f(x)max規(guī)律方法由于參數(shù)的取值范圍不同會導致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導致最值的變化所以解決這類問題常需要分類討論，并結(jié)合不等式的知識進行求解跟蹤演練2在本例中，區(qū)間0,2改為1,0結(jié)果如何？解令f(x)0，解得x10，x2a，當a0，即a0時，f(x)在1,0上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(0)0；當a1，即a時，f(x)在1,0上單調(diào)遞減，從而f(x)maxf(1)1a；當1a0，即a0時，f(x)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則f(x)maxfa3.綜上所述：f(x)m

7、ax要點三函數(shù)最值的應用例3設函數(shù)f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm對t(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，當xt時，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230得t1，t1(不合題意，舍去)當t變化時，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)遞增1m遞減對t(0,2)，當t1時，g(t)max1m，h(t)2tm對t(0,2)恒成立，也就是g(t)0，對t(0,2)

8、恒成立，只需g(t)max1m1.故實數(shù)m的取值范圍是(1，)規(guī)律方法(1)“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型，一般地，可采用分離參數(shù)法進行轉(zhuǎn)化f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可(2)此類問題特別要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等號”的情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“”跟蹤演練3設函數(shù)f(x)2x39x212x8c，(1)若對任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍；(2)若對任意的x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍解(1)f(x)6x218x126(x1)(x2

9、)當x(0,1)時，f(x)0；當x(1,2)時，f(x)0；當x(2,3)時，f(x)0.當x1時，f(x)取極大值f(1)58c.又f(3)98cf(1)，x0,3時，f(x)的最大值為f(3)98c.對任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c1或c9.c的取值范圍為(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)f(3)98c，98cc2，即c1或c9，c的取值范圍為(，19，)1函數(shù)f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分別是()Af(2)，f(3) Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)答案B解析f(x)2x4，當x3,5時，f(x)e時，y0

10、；當0x0)y2t.當0t時，y0，可知y在上單調(diào)遞減；當t時，y0，可知y在上單調(diào)遞增故當t時，|MN|有最小值9(2014湖北重點中學檢測)已知函數(shù)f(x)x3tx23x，若對于任意的a1,2，b(2,3，函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，則實數(shù)t的取值范圍是()A(，3 B(，5 C3，) D5，)答案D解析f(x)x3tx23x，f(x)3x22tx3，由于函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則有f(x)0在a，b上恒成立，即不等式3x22tx30在a，b上恒成立，即有t在a，b上恒成立，而函數(shù)y在1,3上單調(diào)遞增，由于a1,2，b(2,3，當b3時，函數(shù)y取得最大值，即ymax5，所以

11、t5，故選D.10如果函數(shù)f(x)x3x2a在1,1上的最大值是2，那么f(x)在1,1上的最小值是_答案解析f(x)3x23x，令f(x)0得x0，或x1.f(0)a，f(1)a，f(1)a，f(x)maxa2.f(x)mina.11已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函數(shù)f(x)在x1和x3處取得極值，試求a，b的值；(2)在(1)的條件下，當x2,6時，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范圍解(1)f(x)3x22axb，函數(shù)f(x)在x1和x3處取得極值，1,3是方程3x22axb0的兩根，.(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9，令f(x)

12、0，得x1或x3.當x變化時，f(x)，f(x)隨x的變化如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)極大值c5極小值c27而f(2)c2，f(6)c54，當x2,6時，f(x)的最大值為c54，要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，當c0時，c542c，c54；當c0時，c542c，c18.c的取值范圍是(，18)(54，)，此即為參數(shù)c的取值范圍12已知函數(shù)f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間2,2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值解(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x1或x3，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞

13、減區(qū)間為(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)于是有22a20，a2.f(x)x33x29x2.在(1,3)上f(x)0，f(x)在1,2上單調(diào)遞增又由于f(x)在2，1上單調(diào)遞減，f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2,2上的最大值和最小值，f(1)13927，即f(x)最小值為7.三、探究與創(chuàng)新13(2013新課標)已知函數(shù)f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2時，f(x)kg(x)，求k的取值范圍解(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4，而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)，設函數(shù)F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2(x2)，F(xiàn)(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由題設可得F(0)0，即k1，令F(x)0得x1ln k，x22，若1ke2，則2x10，當x(2，x1)時，F(xiàn)(x)0，當x(x1，)時，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，x1)單調(diào)遞減，在(x