高中數(shù)學(xué) 1.1.1 角的概念的推廣學(xué)案 新人教B版必修

1、1.1.1角的概念的推廣1.了解角的概念的推廣，能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角.2.理解象限角的概念.3.掌握終邊相同的角的表示方法，并能判斷角所在的位置.(重點)基礎(chǔ)初探教材整理1角的概念閱讀教材P3P4“例1”以上內(nèi)容，完成下列問題.1.角的概念(1)角的形成：角可以看成是一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.(2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：正角：按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角；負(fù)角：按照順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角；零角：當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時，我們也把它看成一個角，叫做零角.2.角的加減法運算(1)射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB位置所成的角，記作AOB，其中OA叫做AOB的始

2、邊，OB叫做AOB的終邊.(2)引入正角、負(fù)角的概念以后，角的減法運算可以轉(zhuǎn)化為角的加法運算，即可以化為().這就是說，各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和.時鐘經(jīng)過1小時，時針轉(zhuǎn)動的角的大小是_.【解析】時鐘是順時針轉(zhuǎn)，故形成的角是負(fù)角，又經(jīng)過12個小時時針轉(zhuǎn)動一個周角，故經(jīng)過1個小時時針轉(zhuǎn)動周角的，所以轉(zhuǎn)動的角的大小是36030.【答案】30教材整理2終邊相同的角閱讀教材P4“例1”以下P5“第4行”以上內(nèi)容，完成下列問題.1.前提：表示任意角.2.表示：所有與終邊相同的角，包括本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為S|k360，kZ.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)終邊相同的角不一定相等，

3、但相等的角終邊一定相同.()(2)終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360的整數(shù)倍.()(3)終邊相同的角的表示不唯一.()【解析】由終邊相同角的定義可知(1)(2)(3)正確.【答案】(1)(2)(3)教材整理3象限角閱讀教材P5“第5行”“例2”以上內(nèi)容，完成下列問題.1.象限角：平面內(nèi)任意一個角都可以通過移動，使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸正半軸重合.這時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角.2.如果終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何象限.下列說法：第一象限角一定不是負(fù)角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是鈍角；小于180的角是鈍角、直角或銳角.其中錯誤的序號為

4、_.(把錯誤的序號都寫上)【解析】由象限角定義可知都不正確.【答案】質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型任意角的概念(1)已知集合A第一象限角，B銳角，C小于90的角，則下面關(guān)系正確的是()A.ABC B.ACC.ACB D.BCC(2)下面與85012終邊相同的角是()A.23012 B.22948C.12948 D.13012【精彩點撥】正確理解第一象限角、銳角、小于90的角的概念.【自主解答】(1)第一象限角可表示為k360k36090，kZ；銳角可表示為090；小于90的角可表示為90；由三者之

5、間的關(guān)系可知，選D.(2)與85012終邊相同的角可表示為85012k360(kZ)，當(dāng)k3時，850121 08022948.【答案】(1)D(2)B1.判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧：(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可.2.在0到360范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法：(1)一般地，可以將所給的角化成k360的形式(其中0360，kZ)，其中的就是所求的角.(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時，采用連續(xù)加360的方式；當(dāng)所給角是正角時，采用連續(xù)減360的方式，

6、直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止.常見360的倍數(shù)如下：1360360，2360720，33601 080，43601 440，53601 800.再練一題1.有下列說法：相差360整數(shù)倍的兩個角，其終邊不一定相同；終邊相同的角一定相等；終邊關(guān)于x軸對稱的兩個角，之和為k360，(kZ).其中正確說法的序號是_.【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】不正確.終邊相同的兩個角一定相差360的整數(shù)倍，反之也成立；不正確.由可知終邊相同的兩個角一定相差k360，(kZ)；正確.因為終邊關(guān)于x軸對稱的兩個角，當(dāng)(180，180)，且(180，180)時0，當(dāng)，為任意角時，k360(kZ).【答案】象限角與區(qū)域角的表示(1)如圖

7、111，終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合是()圖111A.|k36030k36045，kZB.|k180150k180225，kZC.|k360150k360225，kZD.|k36030k18045，kZ(2)已知角的終邊在如圖112所示的陰影部分內(nèi)，試指出角的取值范圍.圖112【精彩點撥】找出0360內(nèi)陰影部分的角的集合適合題意的角的集合【自主解答】(1)在0360內(nèi)落在陰影部分角的范圍為大于150而小于225，所以終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合為|k360150k360225，kZ.【答案】C(2)陰影在x軸上方部分的角的集合為：A|k36060k360105，kZ.陰

8、影在x軸下方部分的角的集合為：B|k360240k360285，kZ.所以陰影部分內(nèi)角的取值范圍是AB，即|k36060k360105，kZ|k360240k360285，kZ)，其中B可以化為：|k36018060k360180105，kZ.即|(2m1)18060(2m1)180105，mZ.集合A可以化為|2m180602m180105，mZ.故AB可化為|n18060n180105，nZ.表示區(qū)間角的三個步驟：第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的360360范圍內(nèi)的角和，寫出最簡區(qū)間x|x，其中360；第三步：起始、終止邊界對

9、應(yīng)角，再加上360的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.再練一題2.寫出圖113中陰影部分(不含邊界)表示的角的集合.圖113【解】在180180內(nèi)落在陰影部分角集合為大于45小于45，所以終邊落在陰影部分(不含邊界)的角的集合為|45k36045k360，kZ.探究共研型所在象限的判定方法及角的終邊對稱問題探究1由所在象限如何求(kN*)所在象限？【提示】(1)畫圖法：將各象限k等分，從x軸正半軸開始逆時針方向依次標(biāo)注1,2,3,4，循環(huán)下去，直到填滿為止，則當(dāng)在第n象限時，就在n號區(qū)域.例如：當(dāng)角在第二象限時，在圖k2時的2號區(qū)域，在圖k3時的2號區(qū)域.但此規(guī)律有局限性，如在已知角的范圍求角2的范圍時

10、上述規(guī)律就不好用了，所以還應(yīng)該掌握求范圍的一般方法.(2)代數(shù)推導(dǎo)法：運用代數(shù)式一步一步推理.如：當(dāng)角在第二象限時，90k360180k360，kZ，則30k12060k120，kZ，所以在第一、二、四象限.探究2若角與的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點、直線yx對稱，則角與分別具有怎樣的關(guān)系？【提示】(1)關(guān)于y軸對稱：若角與的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與的關(guān)系是180k360，kZ.(2)關(guān)于x軸對稱：若角與的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與的關(guān)系是k360，kZ.(3)關(guān)于原點對稱：若角與的終邊關(guān)于原點對稱，則角與的關(guān)系是180k360，kZ.(4)關(guān)于直線yx對稱：若角與的終邊關(guān)于直線yx對稱，則角與的關(guān)

11、系是90k360，kZ.(1)(2016北京高一檢測)若是第四象限角，則180是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)已知為第二象限角，則2，分別是第幾象限角？【精彩點撥】(1)可通過寫出的取值范圍，逐步求得180范圍來求解；(2)可由范圍寫出2，的范圍后，直接求得2的范圍，然后分k為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況確定的位置.【自主解答】(1)因為是第四象限角，則角應(yīng)滿足：k36090k360，kZ，所以k360k36090，則k360180180k36090180，kZ，當(dāng)k0時，180180270，故180為第三象限角.【答案】C(2)是第二象限角，90k360180k

12、360，1802k36023602k360，kZ，2是第三或第四象限角，或是終邊落在y軸的非正半軸上的角.同理4536090360.當(dāng)k為偶數(shù)時，不妨令k2n，nZ，則45n36090n360，此時，為第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，令k2n1，nZ，則225n360270n360，此時，為第三象限角.為第一或第三象限角.解決此類問題，要先確定的范圍，進(jìn)一步確定出n或的范圍，再根據(jù)k與n的關(guān)系進(jìn)行討論.再練一題3.本例(2)中條件不變，試判斷是第幾象限角？【解】是第二象限角，90k360180k360，kZ，30k12060k120，kZ.當(dāng)k3n，nZ時，30n36060n360，nZ此時為第一象

13、限角，當(dāng)k3n1，nZ時，150n360180n360，nZ，此時為第二象限角，當(dāng)k3n2，nZ時，270n360300n360，nZ，此時為第四象限角.為第一、第二或第四象限角.1.若是第一象限角，則是()A.第一象限角B.第一、四象限角C.第二象限角 D.第二、四象限角【解析】因為是第一象限角，所以為第一、三象限角，所以是第二、四象限角.【答案】D2.與457角終邊相同的角的集合是()A.|k360457，kZB.|k36097，kZC.|k360263，kZD.|k360263，kZ【解析】當(dāng)選項C的集合中k2時，457.【答案】C3.下列各角中，與330角的終邊相同的角是()A.510

14、 B.150C.150 D.390【解析】與330終邊相同的角的集合為S|330k360，kZ，當(dāng)k2時，330720390，故選D.【答案】D4.若角與角終邊相同，則_.【解析】根據(jù)終邊相同角的定義可知：k360(kZ).【答案】k360(kZ)5.在0到360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)120；(2)640.【導(dǎo)學(xué)號：】【解】(1)與120終邊相同的角的集合為M|120k360，kZ.當(dāng)k1時，1201360240，在0到360范圍內(nèi)，與120終邊相同的角是240，它是第三象限的角.(2)與640終邊相同的角的集合為M|640k360，kZ.當(dāng)k1時

15、，640360280，在0到360范圍內(nèi)，與640終邊相同的角為280，它是第四象限的角.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測評(一)(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.已知A第二象限角，B鈍角，C大于90的角，那么A，B，C關(guān)系是()A.BAC B.BCCC.AC D.ABC【解析】鈍角大于90，小于180，故CB，選項B正確.【答案】B2.下列是第三象限角的是()A.110 B.210 C.80 D.13【解析】110是第三象限角，210是第二象限角，80是第一象限角，13是第四象限角.故選A.【答案】A3.終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合是()A

16、.|k360，kZB.|k18090，kZC.|k180，kZD.|k90，kZ【解析】終邊在坐標(biāo)軸上的角為90或90的倍數(shù)角，所以終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為|k90，kZ.故選D.【答案】D4.若是第一象限的角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A.90 B.90C.360 D.180【解析】因為是第一象限角，所以為第四象限角，所以360為第四象限角.【答案】C5.在平面直角坐標(biāo)系中，若角與角的終邊互為反向延長線，則必有()A.B.k180(kZ)C.180D.2k180180(kZ)【解析】因為角與角的終邊互為反向延長線，所以角與角的終邊關(guān)于原點對稱，所以2k180180(kZ).【答案

17、】D二、填空題6.在0360范圍內(nèi)，與角60的終邊在同一條直線上的角為_.【解析】根據(jù)終邊相同角定義知，與60終邊相同角可表示為60k360(kZ)，當(dāng)k1時300與60終邊相同，終邊在其反向延長線上且在0360范圍內(nèi)角為120.故填120，300.【答案】120，3007.設(shè)集合Ax|k36060xk360300，kZ，Bx|k360210xk360，kZ，則AB_.【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】ABx|k36060xk360300，kZx|k360360150xk360360360，kZx|k36060xk360300，kZx|(k1)360150x(k1)360360，kZx|k360150xk3

18、60300，kZ【答案】x|k360150xk360300，kZ三、解答題8.在與530終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)720到360的角.【解】與530終邊相同的角為k360530，kZ.(1)由360k3605300，且kZ可得k2，故所求的最大負(fù)角為190.(2)由0k360530360且kZ可得k1，故所求的最小正角為170.(3)由720k360530360且kZ得k3，故所求的角為550.9.若角的終邊落在直線yx上，寫出角的集合；當(dāng)360360時，求角.【解】角的終邊落在直線yx上，在0到360范圍內(nèi)的角為150和330，角的集合為x|xk180150，kZ.當(dāng)360360時，角為210，30，150，330.能力提升1.如圖114，終邊落在直線yx上的角的集合是()圖114A.|k36045，kZB.|k18045，kZC.|k18045，kZD.|k9045，kZ【解析】終