2018年高考數(shù)學(xué) 專題24 數(shù)列求和方法黃金解題模板

1、專題24 數(shù)列求和方法【高考地位】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn),其涉及的基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想與方法,在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起著重要作用,因而成為歷年高考久考不衰的熱點(diǎn)題型,在歷年的高考中都占有重要地位。數(shù)列求和的常用方法是我們在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的基本方法，是高考的必考熱點(diǎn)之一。此類問題中除了利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。下面，就近幾年高考數(shù)學(xué)中的幾個(gè)例子來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧?！痉椒c(diǎn)評】方法一 公式法解題模板：第一步 結(jié)合所求結(jié)論，尋找已知與未知的關(guān)系； 第二步 根據(jù)已知條件列方程求出未知量； 第三步 利用前項(xiàng)和公

2、式求和結(jié)果例1.設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求【評析】直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時(shí)，應(yīng)對其公比是否為1進(jìn)行討論常用的數(shù)列求和公式有：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式： 等比數(shù)列前項(xiàng)和公式： 自然數(shù)方冪和公式： 【變式演練1】已知an是等差數(shù)列，a1+a2=4，a7+a8=28，則該數(shù)列前10項(xiàng)和S10等于（ ）A.64 B.100 C.110 D.120【答案】B考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和方法二 分組法解題模板：第一步 定通項(xiàng)公式：即根據(jù)已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； 第二步 巧拆分：即根據(jù)通項(xiàng)公式特征，將其分解為幾個(gè)可以直接求和的數(shù)

3、列； 第三步 分別求和：即分別求出各個(gè)數(shù)列的和； 第四步 組合：即把拆分后每個(gè)數(shù)列的求和進(jìn)行組合，可求得原數(shù)列的和.例2. 已知數(shù)列an是321,6221,9231,12241，寫出數(shù)列an的通項(xiàng)公式并求其前n項(xiàng)Sn. 【變式演練2】在已知數(shù)列， ，且， ，則的值為（ ）A. B. C. D. 【來源】【全國百強(qiáng)校】河北省2017屆衡水中學(xué)押題卷理數(shù) II卷【答案】C【解析】由遞推公式可得：當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， ，數(shù)列 是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， ，數(shù)列 是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列， 本題選擇C選項(xiàng).【方法點(diǎn)睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差

4、或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和；(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和. 【變式演練3】已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）考點(diǎn)：1、等差數(shù)列；2、等比數(shù)列 方法三 裂項(xiàng)相消法解題模板：第一步 定通項(xiàng)公式：即根據(jù)已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； 第二步 巧裂項(xiàng)：即根據(jù)通項(xiàng)公式特征準(zhǔn)確裂項(xiàng)，將其表示為兩項(xiàng)之差的形式； 第三步 消項(xiàng)求和：即把握消項(xiàng)的規(guī)律，準(zhǔn)確求和.例3. 已知數(shù)列:, ,若，那么數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）A B C. D【答案】B【變式演練4】已知等差數(shù)列an的前n

5、項(xiàng)和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（ ）A B C D【答案】A【解析】試題分析：由a5=5，S5=15，可知 考點(diǎn)：數(shù)列求和方法四 錯(cuò)位相減法解題模板：第一步 巧拆分：即根據(jù)通項(xiàng)公式分解為等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的形式； 第二步 確定等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式； 第三步 構(gòu)差式：即寫出的表達(dá)式，然后兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另外一個(gè)式子，兩式作差； 第四步 求和：根據(jù)差式的特征準(zhǔn)確求和.例4. 已知數(shù)列滿足， .記，則數(shù)列的前項(xiàng)和_【答案】【變式演練5】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）.() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； () 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）；（）. () 由()，.

6、則，所以，則.所以考點(diǎn)：1、數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、數(shù)列求和.【方法點(diǎn)睛】對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列，此法稱為輔助數(shù)列法.常用轉(zhuǎn)化方法：變換法、待定系數(shù)法、加減法、累加法、迭代法等.【變式演練6】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的公差不為，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由題意可知，利用，成等比數(shù)列，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列 考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的綜合；2.等比數(shù)列的綜合；3.錯(cuò)位相減法的運(yùn)用.方法五 倒序相加法例

7、5.函數(shù)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_【答案】【解析】由，函數(shù)為奇函數(shù)，由為奇函數(shù)， ， ，考點(diǎn)：倒序相加法求和.【變式演練7】已知函數(shù)（1）求的值；（2）已知數(shù)列,求證數(shù)列是等差數(shù)列；（3）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1) S=. (2)見解析；（3）= 。 (2)由兩邊同減去1,得. 所以,所以,是以2為公差以為首項(xiàng)的等差數(shù)列. 分（3）因?yàn)?因?yàn)?，所?= （3）= （4） 由（3）-（4）得=所以= 【高考再現(xiàn)】1.【2015高考安徽，理14】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于 .【答案】【考點(diǎn)定位】1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.【名師點(diǎn)睛】對于等差數(shù)列與等比數(shù)

8、列綜合考查的問題，要做到：熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是，則（等差數(shù)列），（等比數(shù)列）；注意題目給定的限制條件，如本題中“遞增”，說明；要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式等.2.【2015高考新課標(biāo)2，理16】設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則_【答案】【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項(xiàng)公式，要搞清楚項(xiàng)與的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為與的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷是等差數(shù)列，屬于中檔題3.【2015江蘇高考，11】數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 【答案】【考點(diǎn)定位】數(shù)列通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和【名師點(diǎn)晴】由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，若遞推關(guān)系為an1an

9、f(n)或an1f(n)an，則可以分別通過累加、累乘法求得通項(xiàng)公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意：有的問題也可利用構(gòu)造法，即通過對遞推式的等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求通項(xiàng)數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法，并項(xiàng)求和法等，可根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)進(jìn)行選用. 4.【2017山東，文19】已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且. (I)求數(shù)列an通項(xiàng)公式；(II)bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn,已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(I)；(II) 【解析】試題分析：(I)列出關(guān)于的方程組,解方程組求基本量；(II)用錯(cuò)位相減法求和.試題解析：(I)

10、設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知, .又，解得，所以.兩式相減得所以.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng),錯(cuò)位相減法求和.【名師點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了方程的思想(2)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意：在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式；若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解5.【2017天津文，18】已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的

11、等比數(shù)列，且公比大于0，.（）求和的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（）.（）.試題解析：（）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以.又因?yàn)椋獾?所以，.由，可得.由，可得，聯(lián)立，解得，由此可得.所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.【考點(diǎn)】1.等差，等比數(shù)列；2.錯(cuò)位相減法求和.【名師點(diǎn)睛】重點(diǎn)說說數(shù)列求和的一些方法：本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和方法（1）分組轉(zhuǎn)化法，6.【2017北京文，15】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通項(xiàng)公式；（）求和：【答案】（） ；（）.7【2017山東，理9】已知xn是各項(xiàng)均為

12、正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；（）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.【答案】(I)（II）因?yàn)?所以，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為（II）過向軸作垂線，垂足分別為,由(I)得記梯形的面積為.由題意，所以+=+ 又+ 8.【2017天津理，18】已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（）求和的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】 （1）.（2）.【解析】（II）解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和

13、為，由，有，故，上述兩式相減，得 得.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.9.【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明（）.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知【考點(diǎn)定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點(diǎn)，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞推公式作等價(jià)變形，即可得到，再結(jié)合已知條件即可得證，第二小問具有較強(qiáng)的技巧性，首先根據(jù)遞推公式將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達(dá)式，再結(jié)合已知條件得到的取值范圍即可得證，此次數(shù)列自2008年之后作為解答題

14、壓軸題重出江湖，算是一個(gè)不大不小的冷門（之前浙江各地的?？冀獯痤}壓軸題基本都是以二次函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題），由于數(shù)列綜合題常與不等式，函數(shù)的最值，歸納猜想，分類討論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，技巧性比較強(qiáng)，需要平時(shí)一定量的訓(xùn)練與積累，在后續(xù)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注. 10.【2015高考山東，理18】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知. （I）求的通項(xiàng)公式； （II）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.【答案】（I）; （II）.所以 當(dāng) 時(shí)， 所以兩式相減，得 所以經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)也適合，綜上可得： 【考點(diǎn)定位】1、數(shù)列前 項(xiàng)和 與通項(xiàng) 的關(guān)系；2、特殊數(shù)列的求和問題.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的基本概念與運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯

15、思維能力與運(yùn)算求解能力，思維的嚴(yán)密性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，在利用與通項(xiàng)的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況，錯(cuò)位相減不法雖然思路成熟但也對學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高的要求.11.【2015高考天津，理18】已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(I)求的值和的通項(xiàng)公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(I) ; (II) . (II) 由(I)得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，兩式相減得，整理得 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法求和.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列定義與性質(zhì)，求和公式以及錯(cuò)位相減法求和的問題，通過等差數(shù)列定義、等比數(shù)列性質(zhì)，分為奇偶數(shù)討論求通項(xiàng)公

16、式，并用錯(cuò)位相減法基本思想求和.是中檔題.12.【2015高考四川，理16】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.所以.由，得，即.因?yàn)?，所?于是，使成立的n的最小值為10.【考點(diǎn)定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】凡是有與間的關(guān)系，都是考慮消去或（多數(shù)時(shí)候是消去，得與間的遞推關(guān)系）.在本題中，得到與間的遞推關(guān)系式后，便知道這是一個(gè)等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考內(nèi)容，多屬容易題，考

17、生應(yīng)立足得滿分.13.【2015高考湖北，理18】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為已知，（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【答案】（）或；（）. -可得，故. 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【名師點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法適合于一個(gè)由等差數(shù)列及一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列考生在解決這類問題時(shí)，都知道利用錯(cuò)位相減法求解，也都能寫出此題的解題過程，但由于步驟繁瑣、計(jì)算量大導(dǎo)致了漏項(xiàng)或添項(xiàng)以及符號出錯(cuò)等兩邊乘公比后，對應(yīng)項(xiàng)的冪指數(shù)會發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對齊，這樣有一個(gè)式子前面空出一項(xiàng)，另外一個(gè)式子后面就會多了一項(xiàng)，兩項(xiàng)相減，除

18、第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，剩下的項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列14.【2015高考新課標(biāo)1，理17】為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知0，=.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè) ,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）（）所以=；（）由（）知，=，所以數(shù)列前n項(xiàng)和為= =.【考點(diǎn)定位】數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；拆項(xiàng)消去法【名師點(diǎn)睛】已知數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系，求數(shù)列通項(xiàng)公式，常用將所給條件化為關(guān)于前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項(xiàng)的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式.15.【2015高考廣東，理21】數(shù)列滿足， (1) 求的值；

19、(2) 求數(shù)列前項(xiàng)和； (3) 令，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足【答案】（1）；（2）；（3）見解析（3）依題由知，【考點(diǎn)定位】前項(xiàng)和關(guān)系求項(xiàng)值及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前項(xiàng)和，不等式放縮【名師點(diǎn)睛】本題主要考查前項(xiàng)和關(guān)系求項(xiàng)值及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前項(xiàng)和，不等式放縮等，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用和運(yùn)算求解能力，屬于高檔題，此題（1）（2）問難度不大，但第（3）問難度較大，首先應(yīng)能求得，并由得到，再用構(gòu)造函數(shù)（）結(jié)合不等（）放縮方法或用數(shù)學(xué)歸納法證明【反饋練習(xí)】1【安徽省馬鞍山含山2017-2018學(xué)年度高三聯(lián)考試題】已知表示正整數(shù)的所有因數(shù)中最大的奇數(shù)，例如：12的因數(shù)有1,2,3,4,6,12，則；21的因數(shù)

20、有1,3,7,21，則，那么的值為（ ）A. 2488 B. 2495 C. 2498 D. 2500【答案】D【解析】由 的定義知 ，且若 為奇數(shù)則 則 選D2【湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題】已知數(shù)列滿足， ，則數(shù)列的前40項(xiàng)的和為（ ）A. B. C. D. 【答案】D 3【湖南省株洲市2018屆高三上學(xué)期兩校期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題】數(shù)列的前2017項(xiàng)的和為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】通過已知條件得到： ，裂項(xiàng)累加得到： 故結(jié)果為，答案選擇B4【河南省林州市第一中學(xué)2018屆高三10月調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題】數(shù)列中，已知對任意正整數(shù)，有，則

21、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，所以，則 ， ，選B.5【湖南省益陽市、湘潭市2018屆高三9月調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若且，設(shè)，則的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 6【廣東省珠海一中等六校2018屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題】數(shù)列滿足，且對于任意的都有，則等于（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意可得： ，則：，以上各式相加可得： ，則： ，.本題選擇D選項(xiàng).7【安徽省合肥市2018屆高三調(diào)研性檢測數(shù)學(xué)文試題】已知數(shù)列滿足， 是等差數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和（ ）A. 220 B. 110 C. 99 D. 55【答案】B 8【湖南省五市十校教研教改共同體2018屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積是，且， .若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_【答案】【解析】 點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如 (其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列