2018屆高考數(shù)學(xué) 誤區(qū)2.2 利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性、極值等誤區(qū)提分練習(xí).doc

1、2.2 利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性、極值等誤區(qū)一、易錯提醒導(dǎo)數(shù)的引入,為函數(shù)的研究與應(yīng)用提供了有效的工具,把初等函數(shù)的學(xué)習(xí)提高到一個新的層次,正因如此,近年來,對應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的考查,已成為高考和各地模擬考試的熱點和重點, 有些學(xué)生由于對概念的理解不夠準(zhǔn)確或受到某些知識或方法的負遷移,在由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程時,忽略“在某點處的切線”與“過某點處的切線”的區(qū)別；研究函數(shù)的單調(diào)性時忽略定義域的限制，忽略取等條件；處理函數(shù)的極值忽視極值存在條件，從而導(dǎo)致對而不會,會而不全.二、典例精析(一) “在某點處的切線”與“過某點處的切線”的區(qū)別利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理曲線的切線問題,是考查導(dǎo)數(shù)

2、時常見的一類小題（選擇題、填空題）,在此類問題中的重點和關(guān)鍵是抓住“切點”,充分利用“切點”的三個作用：一,切點在曲線上；二,切點在切線上；三,切點的橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率.在此類問題中有一個易錯點：“在某點處的切線”與“過某點處的切線”的區(qū)別,其實質(zhì)就是已知點是不是一定為切點的區(qū)別.【例1】若存在過點O(0,0)的直線l與曲線yx33x22x和yx2a都相切,求a的值【易錯分析】由于題目中沒有指明點O(0,0)的位置情況,容易忽略點O在曲線yx33x22x上這個隱含條件,進而不考慮O點為切點的情況 (2)當(dāng)O(0,0)不是切點時,設(shè)直線l與曲線yx33x22x相切于點P(x0,y0),

3、則y0x3x2x0,且ky|xx03x6x02,又kx3x02,聯(lián)立,得x0(x00舍去),所以k,故直線l的方程為yx.【點評】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率,應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點A(x0,f(x0)求斜率k,即求該點處的導(dǎo)數(shù)值：kf(x0)(2)已知斜率k,求切點A(x1,f(x1),即解方程f(x1)k.(3)若求過點P(x0,y0)的切線方程,可設(shè)切點為(x1,y1),由求解即可(4)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況,由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢【小試牛刀】【2018屆浙江省重點中學(xué)期末熱身聯(lián)考】已知點在曲

4、線上，且該曲線在點處的切線與直線垂直，則方程的實數(shù)根的個數(shù)為（ ）A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 不確定【答案】A (二) 誤用單調(diào)函數(shù)的充要條件 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,是近年來的高考熱點,學(xué)生解決此類問題往往根據(jù)：設(shè)定義在某區(qū)間上的函數(shù),如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.但誤解了這只是函數(shù)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減的一個充分條件,而并非必要條件.結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)定理知：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),則在內(nèi)嚴(yán)格遞增（或遞減）的充要條件是：一,對任何,有()；二,在內(nèi)的任何子區(qū)間上不恒等于0,而在高中階段,主要出現(xiàn)的是有一個或多個（有限個）使的點的情況,

5、像例2這種逆向設(shè)置問題,是今后高考命題的一種趨向,它充分體現(xiàn)了高考“能力立意”的思想,對此,在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起高度重視.【例2】若在區(qū)間上是增函數(shù),則的范圍是 .（用區(qū)間來表示）【錯解】因為在區(qū)間上是增函數(shù),故應(yīng)有,即,所以的范圍是.【分析】由已知條件在區(qū)間上是增函數(shù),結(jié)合函數(shù)的特征不難想到要利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進行求解,即可轉(zhuǎn)化為：,進而求出：,但到此題目并沒有完全結(jié)束,要對進行單獨考慮,即可發(fā)現(xiàn)（）為上的常數(shù)函數(shù),不滿足題意,方可求解.【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性.一般地,可導(dǎo)函數(shù)在上是增（減）函數(shù)的充要條件是：對任意的,都有或,且在的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零,特別要

6、注意：已知函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)取值范圍時,一定要特別考慮“等號”是否可以取到.【小試牛刀】【2018屆廣西貴港市高三上學(xué)期12月聯(lián)考】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因為，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，當(dāng)時， ，所以，故選D. (三) 忽視極值存在條件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值,已成為現(xiàn)在高考的熱點,此類問題解決正常分為三步：一,求導(dǎo)函數(shù)；二,求方程的根；三,檢驗在方程的根的左右兩邊的符號,如果左正右負,那么在這個根處取得極大值；如果左負右正,那么在這個根處取得極小值.學(xué)生在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中往往很容易忽視第三點,

7、從而造成錯解或多解.【例3】已知f(x)x33ax2bxa2在x1時有極值0,則ab_.【答案】7【錯解】由題意得f(x)3x26axb,則解得或所以ab2或7【解析】由題意得f(x)3x26axb,則解得或經(jīng)檢驗當(dāng)a1,b3時,函數(shù)f(x)在x1處無法取得極值,而a2,b9滿足題意,故ab7.【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,函數(shù)在某點取得極值的條件和函數(shù)的值的求法.對于可導(dǎo)函數(shù)而言,導(dǎo)數(shù)為零,不一定有極值；有極值處,導(dǎo)數(shù)一定為零,即“導(dǎo)數(shù)為零”不是“有極值”的充要條件,僅僅是必要條件.因此,此類問題在反求出字母后一定要檢驗該點左右兩邊導(dǎo)數(shù)的符號是否相異,這是學(xué)生極易發(fā)生錯誤的地方,當(dāng)

8、然這絕一日之功,需要通過長期的積累方可形成良好的習(xí)慣.【小試牛刀】【2018屆廣西玉林市高三期中考試】已知函數(shù)在處有極值，則（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】A三、遷移運用1.【2018屆安徽省淮南市高三第四次考試】已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】令， ，在上恒成立，設(shè)，則，再令，則，在上恒成立，在上為增函數(shù)，在上恒成立，在上減函數(shù)，,實數(shù)的取值范圍為，故選B.2. 【2018屆陜西省吳起高三上學(xué)期期中考試】已知函數(shù).若直線與曲線都相切，則直線的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】設(shè)公切線的斜率為k，由g

9、（x）=2x=k，解得：x=，故切點是：（， ），由f（x）=k，解得：x=，故切點是（，），故切線l的斜率k=，解得：k=4，故直線l和f（x）的切點是（2，4），故切線方程是：y4=4（x+2），故4x+y+4=0，故選：D3. 【2018屆江西省南昌市高三上學(xué)期第五次月考】已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】求導(dǎo)得: .易得在點P（1，0）處的切線為.當(dāng)時，直線與曲線交于不同兩點（如下圖），且，. .選D4【2018屆廣州市高三上學(xué)期第一次調(diào)研測試】已知直線與曲線相切，則實數(shù)的值為A. B. C. D. 【答案】D5【2018屆貴州省銅仁市高三

10、上學(xué)期第二次月考】設(shè)為實數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且是偶函數(shù),則曲線: 在點處的切線方程為A. B. C. D. 【答案】A【解析】是偶函數(shù),所以a=0,， .則,所以切線方程為9x-y-16=0.故選A.6.【2017屆河南息縣第一高級中學(xué)高三上段測】曲線在處的切線方程為（ ）A B C D【答案】C【解析】,所以切線為.7.【廣東省佛山市2017屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測】已知函數(shù),（是常數(shù)）,若在上單調(diào)遞減,則下列結(jié)論中：；有最小值.正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）A0 B1 C.2 D3【答案】C【解析】由題意,得,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即,所以,故正確；不妨設(shè),則,故錯；畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所

11、示,令,則,當(dāng),即時,拋物線與直線有公共點,聯(lián)立兩個方程消去得,所以；當(dāng),即時,拋物線與平面區(qū)域必有公共點,綜上所述,所以有最小值,故正確,故選C8.【河南省豫北名校聯(lián)盟2017屆高三年級精英對抗賽,10】設(shè)函數(shù),若函數(shù)在處取得極值,則下列圖象不可能為的圖象是（ ）A B C. D【答案】D9.【2017山西臨汾一中等五校高三第三聯(lián)考】已知函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時,則曲線在處的切線方程為（ ）A B C D【答案】B【解析】設(shè),則,為奇函數(shù),當(dāng)時,且,曲線在處的切線方程是故選B10.【2017江西撫州七校高三上學(xué)期聯(lián)考】已知函數(shù)的圖像上存在不同的兩點,使得曲線在這兩點處的切線重合,則實數(shù)的取值范圍是

12、（ ）A B C D【答案】C 【解析】時,；時,.設(shè)且,當(dāng)或時,故,當(dāng)時,函數(shù)在點處的切線方程為,即當(dāng)時,函數(shù)在點處的切線方程為,即,兩切線重合的充要條件是,且,消去得：,令,則,構(gòu)造函數(shù),所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,又所以,所以在單調(diào)遞減,所以,即,故選C.11.【2017湖北省荊州市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實數(shù)的取值范圍是( )A B C. D【答案】C12設(shè)函數(shù)下列結(jié)論正確的是（ ）A BC上遞減,無極值D上遞增,無極值【答案】D【解析】,在上遞增,無極值13若函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】由題意知,要使函數(shù)不是單調(diào)

13、函數(shù),則需方程在上有解,即,所以,故選C14若曲線與曲線存在公共切線,則a的取值范圍為（ ）A B C D【答案】D【解析】設(shè)公共切線與曲線切于點,與曲線切于點,則,將代入,可得,又由得,且,記,求導(dǎo)得,可得在上遞增,在上遞減,.15.若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k 的取值范圍是 （ ）A B C D【答案】B16.【2017河北卓越聯(lián)盟上學(xué)期月考】已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）直線為曲線的切線,且經(jīng)過原點,求直線的方程及切點坐標(biāo).【答案】（1）（2）,切點坐標(biāo)為.【解析】（1）. 所以在點處的切線的斜率,切線的方程為； （2）設(shè)切點為,則直線的斜率為,

14、所以直線的方程為：, 所以又直線過點,整理,得, ,的斜率, 直線的方程為,切點坐標(biāo)為. 17.【2017廣東省佛山市高三教學(xué)質(zhì)量檢測】設(shè)函數(shù),其中,是自然對數(shù)的底.（1）求證：函數(shù)有兩個極值點；（2）若,求證：函數(shù)有唯一零點.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）. 令,其中,求導(dǎo)得：. 令,得.當(dāng)上,遞減,當(dāng)上,遞增. 故當(dāng)時,取極小值,也是最小值.因為,所以,又,所以,因此在上有唯一零點. 注意到,所以,以下證明：.注意到上述不等式,令,則,所以在上遞減,所以,即,因此在上有唯一零點. 所以時,遞增；時,遞減；時,遞增；綜上所述,函數(shù)有兩個極值點,其中是極大值點,是極小值點.

15、（2）由（1）函數(shù)的極小值為.7分因為,所以,所以. 以下先證：的極小值.,因為,所以,所以,又,所以,于是,所以. 再證：存在,使.取,因為,所以.綜上可知,函數(shù)有唯一零點. 18.【2017山東省棗莊市高三上學(xué)期期末】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；（2）若對恒成立,求的取值范圍；（3）求證:.【答案】(1) 增區(qū)間為,減區(qū)間為,最大值為0,無最小值；(2) ；(3)見解析【解析】(1)的定義域為,所以函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,無最小值. (2) 令,則.當(dāng)時,顯然,所以在上是減函數(shù),所以當(dāng)時,所以,的取值范圍為.19.【2017湖北孝感高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】已知函數(shù).（）若函數(shù)在

16、處取得極值,求實數(shù)的值；（）在()的條件下,函數(shù) (其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù))的圖像關(guān)于直線對稱,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（）在()的條件下,若對任意的,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）；（）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減；() .【解析】（）由有因為在處取得極值,故經(jīng)檢驗：當(dāng)時,符合題意,故.（）由（）知：的圖像關(guān)于直線對稱,故函數(shù)為偶函數(shù)又,解得令有或令有或函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.()由()知,對任意的,都有恒成立可轉(zhuǎn)化為在上恒成立易知在上恒成立令,令,在上遞減,上遞增,即在上遞增.20. 【2017重慶八中高三上學(xué)期二調(diào)】已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若,對于任意,都有恒成立,求的取值范圍【答案】（1）若,則在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,若,則在上單調(diào)遞增,若,則在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）、若,則在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減；、若,則在上單調(diào)遞增；、若,則在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減；21. 【20