高等數學第七章第4節(jié)空間曲面與空間曲線.ppt

1、- 1 -,第四節(jié) 空間曲面與空間曲線,一 曲面方程的概念 二 曲線方程的概念 三 二次曲面的截痕法,- 2 -,水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面方程的定義：,曲面的實例：,1 曲面方程的定義,一 曲面方程的概念,- 3 -,解,根據題意有,所求方程為,例1 求與原點,及,的距離之比為,的點的全體所組成的曲面方程.,- 4 -,根據題意有,化簡得所求方程,解,例2 已知,求線段,面的方程.,的垂直平分,- 5 -,根據題意有,圖形上不封頂，下封底,解,例3 方程 的圖形是怎樣的？,- 6 -,以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題：,（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀,（討論旋轉曲面）,（

2、討論柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程,- 7 -,(1) 球面,根據題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點時方程為,2 幾種常見的曲面,(球面方程的標準式),- 8 -,將方程（1）展開得,由此可見球面方程的特點,(球面方程的一般式),球面方程又可表示為,- 9 -,定義,(2) 柱面,并沿定曲線,平行于定直線,- 10 -,下面建立母線平行于,軸，準線為,平面曲線,的柱面方程。,因此,- 11 -,從柱面方程看柱面的特征：,- 12 -,柱面舉例,- 13 -,軸的雙曲柱面,母線平行于,- 14 -,定義,一條平面曲線繞其所在平面上的一條定直線旋轉一周所成的曲面稱為

3、旋轉曲面.,(3) 旋轉曲面,旋轉軸,- 15 -,求由,平面曲線,繞,軸旋轉一周所得,的旋轉面方程。,設旋轉面上任意一點,則,- 16 -,同理：,- 17 -,例4 將下列各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程,旋轉雙曲面,- 18 -,旋轉橢球面,旋轉拋物面,2）,繞,軸；,面上橢圓,- 19 -,4）,面上直線,圓錐面,繞,軸；,- 20 -,(4) 錐面,通過定點,動直線,沿定曲線,- 21 -,例5 建立以橢圓,為準線，,坐標原點為頂點的錐面方程。,解,由,錐面方程為,橢圓錐面,- 22 -,空間曲線的一般方程,曲線上點的坐標都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上

4、點的坐標不能同時滿足兩個方程.,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,特點：,1 空間曲線的一般方程,二 曲線方程的概念,- 23 -,例1 方程組,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓.,表示怎樣的曲線？,- 24 -,空間曲線的參數方程,2 空間曲線的參數方程,隨著參數的變化可得到曲線上的全部點.,- 25 -,螺旋線的參數方程,取時間t為參數，,解,例2 如果空間一點,在圓柱面,出發(fā)，以角速度,繞,軸旋轉，,沿平行,軸的正方向上升（其中,都是常數），,構成的圖形叫做螺旋線試建立其參數方程,同時又以線速度,于,那么點,上從點,- 26 -,螺旋線的參數方程還可以寫為,解,參數式方程為,-

5、 27 -,以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.,投影柱面的特征：,3 空間曲線在坐標面上的投影,- 28 -,類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影,面上的投影曲線,面上的投影曲線,- 29 -,例4 求曲線,解,在坐標面上的投影.,- 30 -,（2）因為曲線在平面,上，,面上的投影為,在,- 31 -,截線方程為,解,例5 求拋物面,與平面,的截線在三個坐標面上的投影曲線方程.,- 32 -,例6,解,半球面和錐面的交線為,一個圓,- 33 -,三 二次曲面的截痕法,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱之二次曲面,相應地三元一次方程所表示的曲面（平面）被稱為一次曲面,討論二次曲面性狀的截痕法：,用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,- 34 -,1 橢球面,橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.,同理與平面 和 的交線也是橢圓.,- 35 -,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉而成,旋轉橢球面與橢球面的區(qū)別：,與平面 的交線為圓.,截面上圓的方程,球面,- 36 -,2 拋物面,（