最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)練習(xí)題

1、最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)練習(xí)題一. 填空題。 1. 都是自然數(shù)，如果，的最大公約數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。 2. 甲，乙，甲和乙的最大公約數(shù)是（ ）（ ）（ ），甲和乙的最小公倍數(shù)是（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）。 3. 所有自然數(shù)的公約數(shù)為（ ）。 4. 如果m和n是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。 5. 在4、9、10和16這四個數(shù)中，（ ）和（ ）是互質(zhì)數(shù)，（ ）和（ ）是互質(zhì)數(shù)，（ ）和（ ）是互質(zhì)數(shù)。 6. 用一個數(shù)去除15和30，正好都能整除，這個數(shù)最大是（ ）。 *7. 兩個連續(xù)自然數(shù)的和是21，這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。 *

2、8. 兩個相鄰奇數(shù)的和是16，它們的最大公約數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。 *9. 某數(shù)除以3、5、7時都余1，這個數(shù)最小是（ ）。 10. 根據(jù)下面的要求寫出互質(zhì)的兩個數(shù)。 （1）兩個質(zhì)數(shù)（ ）和（ ）。 （2）連續(xù)兩個自然數(shù)（ ）和（ ）。 （3）1和任何自然數(shù)（ ）和（ ）。 （4）兩個合數(shù)（ ）和（ ）。 （5）奇數(shù)和奇數(shù)（ ）和（ ）。 （6）奇數(shù)和偶數(shù)（ ）和（ ）。二. 判斷題。 1. 互質(zhì)的兩個數(shù)必定都是質(zhì)數(shù)。（ ） 2. 兩個不同的奇數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。（ ） 3. 最小的質(zhì)數(shù)是所有偶數(shù)的最大公約數(shù)。（ ） 4. 有公約數(shù)1的兩個數(shù)，一定是互質(zhì)數(shù)。（ ） 5. a是質(zhì)數(shù)，b也是

3、質(zhì)數(shù)，一定是質(zhì)數(shù)。（ ）三. 直接說出每組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。 26和13（ ）13和6（ ）4和6（ ） 5和9（ ）29和87（ ）30和15（ ） 13、26和52（ ）2、3和7（ ）四. 求下面每組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。（三個數(shù)的只求最小公倍數(shù)） 45和6036和60 27和7276和80 42、105和5624、36和48*五. 動腦筋，想一想： 學(xué)校買來40支圓珠筆和50本練習(xí)本，平均獎給四年級三好學(xué)生，結(jié)果圓珠筆多4支，練習(xí)本多2本，四年級有多少名三好學(xué)生，他們各得到什么獎品？試題答案一. 填空題。 1. 都是自然數(shù)，如果，的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。

4、2. 甲，乙，甲和乙的最大公約數(shù)是（2）（3）（6），甲和乙的最小公倍數(shù)是（2）（3）（5）（7）（210）。 3. 所有自然數(shù)的公約數(shù)為（1）。 4. 如果m和n是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是（1），最小公倍數(shù)是（mn）。 5. 在4、9、10和16這四個數(shù)中，（4）和（9）是互質(zhì)數(shù)，（9）和（10）是互質(zhì)數(shù)，（9）和（16）是互質(zhì)數(shù)。 6. 用一個數(shù)去除15和30，正好都能整除，這個數(shù)最大是（15）。 *7. 兩個連續(xù)自然數(shù)的和是21，這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是（1），最小公倍數(shù)是（110）。 *8. 兩個相鄰奇數(shù)的和是16，它們的最大公約數(shù)是（1），最小公倍數(shù)是（63）。 *9. 某數(shù)除以

5、3、5、7時都余1，這個數(shù)最小是（106）。 10. 根據(jù)下面的要求寫出互質(zhì)的兩個數(shù)。 （1）兩個質(zhì)數(shù)（2）和（3）。 （2）連續(xù)兩個自然數(shù)（4）和（5）。 （3）1和任何自然數(shù)（1）和（9）。 （4）兩個合數(shù)（9）和（16）。 （5）奇數(shù)和奇數(shù)（15）和（7）。 （6）奇數(shù)和偶數(shù)（7）和（4）。二. 判斷題。 1. 互質(zhì)的兩個數(shù)必定都是質(zhì)數(shù)。（） 2. 兩個不同的奇數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。（） 3. 最小的質(zhì)數(shù)是所有偶數(shù)的最大公約數(shù)。（） 4. 有公約數(shù)1的兩個數(shù)，一定是互質(zhì)數(shù)。（） 5. a是質(zhì)數(shù)，b也是質(zhì)數(shù)，一定是質(zhì)數(shù)。（）三. 直接說出每組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。 26和13（13、26）

6、13和6（1、78）4和6（2、12） 5和9（1、45）29和87（29、87）30和15（15、30） 13、26和52（13、52）2、3和7（1，42）四. 求下面每組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。（三個數(shù)的只求最小公倍數(shù)） 45和60最大公約數(shù)15，最小公倍數(shù)180。 36和60最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)180。 27和72最大公約數(shù)是9，最小公倍數(shù)216。 76和80最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)1520。 42、105和56最小公倍數(shù)是840。 24、36和48最小公倍數(shù)是144。*五. 動腦筋，想一想： 學(xué)校買來40支圓珠筆和50本練習(xí)本，平均獎給四年級三好學(xué)生，結(jié)果圓珠筆多4支，

7、練習(xí)本多2本，四年級有多少名三好學(xué)生，他們各得到什么獎品？ 你是這樣思考嗎？ （1）圓珠筆多4支，也就是圓珠筆用了（支） （2）練習(xí)本多2本，也就是練習(xí)本用了（本） （3）36和48的公約數(shù)是2，3，4，6，12。 因為，2不滿足條件 ，3不滿足條件 ，4不滿足條件 ，6滿足條件 ，12滿足條件 所以，四年級的三好學(xué)生人數(shù)是6人或12人。 （4）當(dāng)三好學(xué)生人數(shù)為6人時，他們每人6支圓珠筆，8本練習(xí)本； 當(dāng)三好學(xué)生人數(shù)為12人時，他們每人3支圓珠筆，4本練習(xí)本。快速求最小公倍數(shù)的四種方法江蘇省海門市通源小學(xué) 五（4）班 張羿 王春雷 郵編：我們在求最小公倍數(shù)時一般用短除法來求的，其實在很多情況下

8、，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)可以用口算直接求出。下面就給大家介紹四種。一、兩數(shù)相乘法。如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。那么它們的最小公倍數(shù)就是這兩個數(shù)的乘積。例如：4和7的最小公倍數(shù)就是47=28。二、找大數(shù)法。如果兩個數(shù)有倍數(shù)關(guān)系。那么較大的數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：3和15的最小公倍數(shù)就是較大數(shù)15。三、擴(kuò)大法如果兩數(shù)不是互質(zhì)，也沒有倍數(shù)關(guān)系時，可以把較大數(shù)依次擴(kuò)大2倍、3倍、看擴(kuò)大到哪個數(shù)時最先成為較小數(shù)的倍數(shù)時，這個數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：18和30的最小公倍數(shù)，就是把30擴(kuò)大2倍得60，60不是18的倍數(shù)；再把30擴(kuò)大3倍得90，90是18的倍數(shù)，那么90就是18和30的最小公倍數(shù)。

9、四、兩數(shù)的乘積再除以兩數(shù)的最大公約數(shù)法。這個方法雖然比較復(fù)雜，但是使用范圍很廣。因為兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。例如：4和6的最大公約數(shù)是2，最小公倍數(shù)是12，那么，46=212。為了便于口算，我們可以把兩個數(shù)中的任意一個數(shù)先除以它們的最大公約數(shù)，然后再和另一個數(shù)相乘。例如：18和30的最大公約數(shù)是6，要求18和30的最小公倍數(shù)時，可以先用18除以6得3，再用3和30相乘得90；或者先用30除以6得5，再用5和18相乘得90。這90就是18和30的最小公倍數(shù)。（指導(dǎo)老師：施 偉）第三講 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)一、基本概念和知識1.公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，

10、叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12；18的約數(shù)有：1，2，3，6，9，18。12和18的公約數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作（12，18）=6。2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84，18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，12和18的公倍數(shù)有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作12，18=36。3.互質(zhì)數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做

11、互質(zhì)數(shù)。二、例題例1 用一個數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個數(shù)最大是多少？分析 要求的數(shù)去除30、60、75都能整除，要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù)。又要求符合條件的最大的數(shù)，就是求30、60、75的最大公約數(shù)。解：（30，60，75）=53=15這個數(shù)最大是15。例2 一個數(shù)用3、4、5除都能整除，這個數(shù)最小是多少？分析 由題意可知，要求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)，且是最小的公倍數(shù)。解：3，4，5=345=60，用3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是60。例3 有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共

12、可以截成多少段？分析 要截成相等的小段，且無剩余，每段長度必是120、180和300的公約數(shù)。又每段要盡可能長，要求的每段長度就是120、180和300的最大公約數(shù).（120，180，300）=302=60每小段最長60厘米。12060+18060+30060=235=10（段）答：每段最長60厘米，一共可以截成10段。例4 加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？分析 要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應(yīng)是3、10和5的公倍數(shù).要求三

13、道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍數(shù)。3，10，5=532=30各道工序均應(yīng)加130個零件。303=10（人）3010=3（人）305=6（人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5 一次會餐供有三種飲料.餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了65瓶；平均每2個人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料.問參加會餐的人數(shù)是多少人？分析 由題意可知，參加會餐人數(shù)應(yīng)是2、3、4的公倍數(shù)。解：2，3，4=12參加會餐人數(shù)應(yīng)是12的倍數(shù)。又122+123+124=6+4+3=13（瓶），可見12個人要用6瓶A飲料，4瓶B飲料，3

14、瓶C飲料，共用13瓶飲料。又6513=5，參加會餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是12的5倍，125=60（人）。答：參加會餐的總?cè)藬?shù)是60人。例6 一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米.要把它截成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？分析 由題意可知，正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數(shù).在學(xué)校，我們已經(jīng)學(xué)過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但有時會遇到類似此題情況，兩個數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下不好找到.但又不能輕易斷定它們是互質(zhì)數(shù).怎么辦？在此，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。對于例6，可做如下圖解：從圖中可知：在長2703

15、厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（1113厘米）為邊長的正方形2個.在裁后剩下的長1113厘米，寬477厘米的長方形中，再裁去以寬（477厘米）為邊長的正方形2個.然后又在裁剩下的長方形（長477厘米，寬159厘米）中，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個，且無剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數(shù).所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應(yīng)是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公約數(shù)。讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計算過程，即：27031113，商2余477；1113477，商2余159；477159，商3余0?；蛘邔憺?/p>

16、2703=21113+477，1113=2477+159，477=3159。當(dāng)余數(shù)為0時，最后一個算式中的除數(shù)159就是原來兩個數(shù)2703和1113的最大公約數(shù).可見，477=1593，1113=15932+159=1597，2703=15972+477=15972+1593=15917。又7和17是互質(zhì)數(shù)，159是2703和1113的最大公約數(shù)。我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法.輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點在于它能在較短的時間內(nèi)求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。例7 用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù)。解：4811=21981+849，1981=2849+283，849=3283，（481

17、1，1981）=283。補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果.也可以直接觀察，依次試公有的質(zhì)因數(shù)。例8 求1008、1260、882和1134四個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？解：（1260，1008）=252，（882，1134）=126，又（252，126）=126，（1008，1260，882，1134）=126。求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例9.例9 兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？x=4y28=472

18、8x=4y47又4是x和28的最大公約數(shù)，（y，7）=1，4y7是x和28的最小公倍數(shù)。x28=4252x=425228=36要求的數(shù)是36。通過例9的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用a和b表示兩個自然數(shù)，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（a，b）a，b=ab。這樣，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再用最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例10 求21672和11352的最小公倍數(shù)。解：（21672，11352）=1032（1032可以用輾轉(zhuǎn)相除法求得）21672，11352=21672113521032=。答：21672和11352的最小公倍數(shù)是.習(xí)題三1.甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？2.一塊長方形地面，長120米，寬60米，要