非線性物理3-1(倍周期分岔到混沌、陣發(fā)性混沌).ppt

1、第3章 走向混沌的道路,一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的充分發(fā)展是進(jìn)入混沌狀態(tài)。進(jìn)入混沌狀態(tài)有哪些方式呢？這是非線性動(dòng)力學(xué)研究中的一個(gè)重要問題。,混沌現(xiàn)象是一種普遍存在的復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式。是確定論系統(tǒng)所表現(xiàn)的內(nèi)在隨機(jī)行為的總稱，其根源在于系統(tǒng)內(nèi)部的非線性交叉耦合作用，而不在于大量 “分子” 的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。,蝴蝶效應(yīng)的姊妹效應(yīng)很多，如“蟻穴效應(yīng)”、“蹄釘效應(yīng)”等等，這些效應(yīng)都是混沌現(xiàn)象的例子。 “千里之堤，潰于蟻穴” “蟻穴效應(yīng)”,控制論的創(chuàng)立者維納曾引用一首民搖對(duì)混沌現(xiàn)象作了生動(dòng)描述：丟失一個(gè)釘子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗；輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗

2、，亡了一個(gè)帝國(guó)。 “蹄釘效應(yīng)”,1平方映射的倍周期分岔道路 2費(fèi)根鮑姆常數(shù) 3杜芬方程的倍周期分岔,第一節(jié) 由倍周期分岔走向混沌,1. 倍周期分岔道路,對(duì)平方映射的計(jì)算表明，隨著參數(shù)的增長(zhǎng)，平方映射發(fā)生一系列的倍周期分岔。但倍周期分岔在一臨界點(diǎn)c =3.5699時(shí)終止。此后，每次迭代得到的值是隨機(jī)地出現(xiàn)的。,=3.7時(shí)，每次迭代計(jì)算得到的 xn 值既不趨向于零或穩(wěn)定值，也不是重復(fù)，而是隨機(jī)地出現(xiàn)。隨迭代計(jì)算將無限地延續(xù)下去，迭代值偶爾出現(xiàn)先前得到過某個(gè)迭代值點(diǎn)附近，但并沒有準(zhǔn)確相同，于是在繼續(xù)迭代計(jì)算中又很快地分離開來了，說明系統(tǒng)已從周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入到了非周期運(yùn)動(dòng)或稱混沌運(yùn)動(dòng)。,臨界點(diǎn)以上的迭代計(jì)

3、算,平方映射的分岔圖,平方映射的分岔序列： 分岔是在=1處開始的，從這里迭代由零值進(jìn)入到單周期運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)一次霍夫分岔；隨后在3處開始了倍周期分岔： 3.000 3.4495 ， 二周期循環(huán) ； 3.4496 3.5441 ， 四周期循環(huán) ； 3.5441 3.5644 ， 八周期循環(huán) ； 3.5644 3.5688 ， 十六周期循環(huán) . 如此一直分岔下去，每次分岔運(yùn)動(dòng)周期增加一倍，直到=c為止。此后迭代得到的值隨機(jī)地出現(xiàn)，進(jìn)入混沌。,1.倍周期分岔道路,對(duì)方程,進(jìn)行迭代，今分別取初始值為,迭代結(jié)果列表如下。,計(jì)算結(jié)果清楚地表明，初值的微小差異，經(jīng)過若干次迭代后就會(huì)“失之毫厘，謬以千里”了。其長(zhǎng)

4、期行為具有一種概率統(tǒng)計(jì)的特征。,1.倍周期分岔道路,倍周期分岔李氏指數(shù),當(dāng)=c以后，映射迭代的終態(tài)值已無周期，進(jìn)入了混沌狀態(tài)。進(jìn)入混沌后，從圖象的深淺程度上仍可區(qū)分出不同的區(qū)域，說明混沌不是混亂一片，而存在著一定層次； 倍周期分岔序列與李氏指數(shù)密切關(guān)聯(lián)。在=c后，指數(shù)便轉(zhuǎn)為正值，但在混沌區(qū)的各個(gè)窗口中指數(shù)值又轉(zhuǎn)為負(fù)值，即這里仍是規(guī)則運(yùn)動(dòng)。展現(xiàn)一幅規(guī)則隨機(jī)規(guī)則隨機(jī)交織起來的豐富多彩的圖象，說明混沌是一種特殊的、包含著無窮層次的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。,1.倍周期分岔道路,費(fèi)根鮑姆常數(shù),七十年代初,在梅（R. May）發(fā)現(xiàn)了平方映射的異常復(fù)雜的特性后，年輕的費(fèi)根鮑姆(M. Feigenbum)用一臺(tái)普通計(jì)算器進(jìn)

5、行計(jì)算。他發(fā)現(xiàn)每次分岔的值之間的間隔越來越小。他將各個(gè)前后間隔相除，發(fā)現(xiàn)平方映射是以恒定的速率接近臨界值c。,2費(fèi)根鮑姆常數(shù),此外，他發(fā)現(xiàn)2n周期分岔的超穩(wěn)定點(diǎn)之間的距離dn 之比也趨于一個(gè)常數(shù)，稱為費(fèi)根鮑姆第二常數(shù)。,費(fèi)根鮑姆常數(shù),2費(fèi)根鮑姆常數(shù),設(shè)n為第n 次分岔的值，則相繼兩次分岔的間隔之比趨于一個(gè)常數(shù)，被稱為費(fèi)根鮑姆第一常數(shù)。,研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于所有在0，1區(qū)間內(nèi)的單峰光滑映射，如正弦映射、圓與橢圓映射等，都可計(jì)算得同樣常數(shù)。而且許多包含耗散的非線性系統(tǒng)，只要發(fā)生倍周期分岔也會(huì)有同樣的常數(shù)。 兩個(gè)費(fèi)根鮑姆常數(shù) d 與 a 都反映了非線性系統(tǒng)沿倍周期分岔系列通向混沌過程所具有的某種普適特性。

6、可見費(fèi)根鮑姆常數(shù)具有普遍意義。,費(fèi)根鮑姆常數(shù)的意義,2費(fèi)根鮑姆常數(shù),大自然中存在一些普適常數(shù)，例如長(zhǎng)度與直徑之比的圓周率，反映物理量隨時(shí)間衰變的自然對(duì)數(shù)e，反映物質(zhì)微觀量度的普朗克常數(shù)h，真空中光速c等，但普適常數(shù)為數(shù)不多，它們代表了大自然運(yùn)動(dòng)所遵循的某些規(guī)律。 費(fèi)根鮑姆常數(shù)的發(fā)現(xiàn)說明在對(duì)自然規(guī)律的認(rèn)識(shí)上又前進(jìn)一步，它所包含的意義還有待進(jìn)一步去發(fā)掘。,杜芬方程的倍周期分岔,倍周期分岔不僅在平方映射中存在，利布沙伯的液氦證明，在真實(shí)的物理學(xué)系統(tǒng)中，如LCR振蕩、激光振蕩等許多系統(tǒng)中都存在，這里分析一下受驅(qū)杜芬方程中的分岔現(xiàn)象。一個(gè)軟彈簧系統(tǒng)杜芬方程可以寫成： 曾經(jīng)分析過受驅(qū)杜芬方程的幅頻特性是傾

7、倒的。并且在 nw 時(shí)有個(gè)多值共振區(qū)。它的倍周期分岔與混沌也發(fā)生在這里。,3杜芬方程的倍周期分岔,杜芬方程： 設(shè)=0.4,=1,=4, F=0.115，從小到大改變驅(qū)動(dòng)頻率n。 計(jì)算表明，在n 0.8時(shí)，杜芬方程的解是反對(duì)稱的極限環(huán)，極限環(huán)呈橢圓形狀； 當(dāng)n 0.8時(shí)，極限環(huán)的反對(duì)稱性雖然仍存在，但橢圓形狀已明顯變形。 當(dāng)?shù)竭_(dá)n 0.535處時(shí)出現(xiàn)對(duì)稱性破缺，極限環(huán)分裂為兩個(gè)周期 1 的不對(duì)稱極限環(huán)，這兩個(gè)不對(duì)稱的極限環(huán)互為反演。 在n 0.53杜芬方程的解開始倍周期分岔。由于兩個(gè)吸引子在n 0.53保持互為反演，可以在觀察n 0.53時(shí)的分岔特性可以只考慮其中一個(gè)極限環(huán)。,杜芬方程的倍周期分

8、岔,3杜芬方程的倍周期分岔,倍周期分岔,杜芬方程的倍周期分岔,兩個(gè)不對(duì)稱極限環(huán),奇怪吸引子,3杜芬方程的倍周期分岔,第二節(jié) 陣發(fā)性混沌,1. 陣發(fā)性混沌現(xiàn)象 2. 陣發(fā)性混沌機(jī)理,自然界、科學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)酥辽鐣?huì)經(jīng)濟(jì)生活中，經(jīng)常可以遇到突發(fā)性現(xiàn)象：太陽黑子、野生動(dòng)物數(shù)量漲落、電子或激光振蕩中的沖擊現(xiàn)象，社會(huì)經(jīng)濟(jì)中的例子是股市的漲落。在非線性科學(xué)中是否相應(yīng)的現(xiàn)象呢？ 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)經(jīng)過突發(fā)性沖擊現(xiàn)象進(jìn)入隨機(jī)的不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為陣發(fā)性混沌 (Intermittent chaos)。 1979年，法國(guó)數(shù)學(xué)家玻木(Pomeau)和曼維爾(Manneville)在計(jì)算洛論茲方程的y分量時(shí)發(fā)現(xiàn)： 當(dāng)瑞利參數(shù)r在到達(dá)

9、臨界值rc附近時(shí)y分量的周期性變化被一種隨機(jī)的、突發(fā)性的沖擊所打斷。當(dāng)rrc時(shí)，系統(tǒng)處于長(zhǎng)時(shí)間周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng) r 剛超過閾值 rc 時(shí)，開始偶爾出現(xiàn)一些突發(fā)性沖擊；隨著 r 數(shù)值的逐漸增長(zhǎng)，這種突發(fā)性沖擊越來越頻繁，最后周期運(yùn)動(dòng)幾乎完全消失，系統(tǒng)進(jìn)入完全隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,1. 陣發(fā)性混沌現(xiàn)象,玻木和曼維爾的發(fā)現(xiàn),x -對(duì)流的翻動(dòng)速率， y -比例于上流與下流液體之間的溫差 z-是垂直方向的溫度梯度， r -相對(duì)瑞利數(shù) r = R/RC。,1. 陣發(fā)性混沌現(xiàn)象,洛論茲方程 y 分量 rc 附近的四個(gè)參數(shù):一個(gè) rrc 計(jì)算結(jié)果 b8/3，s10 時(shí) 臨界值rc166.07,陣發(fā)現(xiàn)象(洛論茲方程

10、),陣發(fā)現(xiàn)象(平方映射),平方映射在=3.8285附近的 xnn 時(shí)間序列。,1. 陣發(fā)性混沌現(xiàn)象,平方映射的周期3窗口,在參數(shù)3.5699時(shí)，平方映射是規(guī)則運(yùn)動(dòng)，但隨發(fā)生一系列的倍周期分岔。 在3.56994基本上是混沌區(qū)，其中有大小不一的窗口，這里仍規(guī)則運(yùn)動(dòng)，=3.833.85間是一個(gè)較大的規(guī)則運(yùn)動(dòng)窗口。陣發(fā)性混沌發(fā)生在從混沌回到規(guī)則運(yùn)動(dòng)的邊界附近。,=3.83附近平方映射的周期3窗口,2. 陣發(fā)性混沌機(jī)理,陣發(fā)性發(fā)生在 周期3 出現(xiàn)地點(diǎn)，即在 =3.83附近。在=3.84附近出現(xiàn)倍周期分岔，產(chǎn)生出周期6 (32)，周期12(322)，周期軌道，在=3.85附近再次進(jìn)入混沌。,為解釋陣發(fā)性

11、混沌機(jī)理，需要分析平方映射在=3.83附近特性。類似于周期2，周期 3 可由三次平方映射 f 3(x)產(chǎn)生。 f 3(x)有四個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)由f (x)帶來的不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，另外三個(gè)與迭代線相切。切點(diǎn)處f 3(x)曲線的斜率為+1，是穩(wěn)定性條件的最大值。,周期 3 軌道,2. 陣發(fā)性混沌機(jī)理,稍許增大一點(diǎn)， , f 3(x)將越過切點(diǎn)與迭代線相交為兩個(gè)交點(diǎn)，產(chǎn)生出六個(gè)交點(diǎn)。相切點(diǎn)斜率為+1，每對(duì)相交的兩個(gè)交點(diǎn)處斜率一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1。,周期 3 軌道,2. 陣發(fā)性混沌機(jī)理,根據(jù)穩(wěn)定性條件，斜率大于1的軌道是不穩(wěn)定的，小于1的是穩(wěn)定的，即f 3(x)有三個(gè)穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)與三個(gè)不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)。它們

12、分別給出一條穩(wěn)定的周期3軌道，和一條不穩(wěn)定的周期3軌道。不穩(wěn)定的周期3軌道已經(jīng)退化。,不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性分析,2. 陣發(fā)性混沌機(jī)理,由每個(gè)切點(diǎn)產(chǎn)生出一對(duì)穩(wěn)定的與不穩(wěn)定的軌道是切分岔的特征。說明在=3.83附近，平方映射中周期3軌道與切分岔緊密地聯(lián)系著。,狹窄走廊中的迭代,將略為減小一些，在f 3(x)與對(duì)角線的三個(gè)切點(diǎn)處，形成一條狹窄走廊。f 3(x)進(jìn)行迭代成為在走廊中的行走。當(dāng)某一軌道點(diǎn)落入某一走廊的入口處時(shí)，在經(jīng)過若干次迭代以后走到了走廊出口處，并從這里離開走廊，迭代的次數(shù)的多少?zèng)Q定于走廊的狹窄程度，也即與切分岔起點(diǎn)t 之間的距離決定。,2. 陣發(fā)性混沌機(jī)理,狹窄走廊中的迭代,走廊中的迭代很象是在不動(dòng)點(diǎn)附近的迭代，因此它相應(yīng)于周期的運(yùn)動(dòng)。 走出了走廊后，迭代是無規(guī)則的大幅度跳躍。當(dāng)隨機(jī)地再進(jìn)入到某個(gè)走廊入口附近時(shí)，又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)以上走廊中的迭代