高中數(shù)學 2.2.2 向量的正交分解與向量的直角坐標運算學案 新人教B版必修

1、2.2.2向量的正交分解與向量的直角坐標運算1.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.2.會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘向量運算.3.會用坐標表示平面向量共線的條件，能用向量共線的條件來解決有關向量共線、直線平行及點共線等問題.(重點、難點)基礎初探教材整理1向量的正交分解及坐標表示閱讀教材P99P100“例1”以上內容，完成下列問題.一、向量的正交分解及坐標表示1.向量的正交分解：2.向量的直角坐標：(1)在直角坐標系內，分別取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量e1，e2，則對任一向量a，存在唯一的有序實數(shù)對(a1，a2)，使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下

2、的坐標，即a(a1，a2).(2)向量的坐標：設點A的坐標為(x，y)，則(x，y).符號(x，y)在直角坐標系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個向量的終點不同，則這兩個向量的坐標一定不同.()(2)當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標.()(3)兩向量差的坐標與兩向量的順序無關.()(4)點的坐標與向量的坐標相同.()【解析】(1)錯誤.對于同一個向量，無論位置在哪里，坐標都一樣.(2)正確.根據向量的坐標表示，當始點在原點時，終點與始點坐標之差等于終點坐標.(3)錯誤.根據兩向量差的運算，兩向量差的坐標

3、與兩向量的順序有關.(4)錯誤.當向量的始點在坐標原點時，向量的坐標等于(終)點的坐標.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2向量的直角坐標運算閱讀教材P100P102內容，完成下列問題.向量的加、減法設a(a1，a2)，b(b1，b2)，則ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，即兩個向量和與差的坐標等于兩個向量相應坐標的和與差實數(shù)與向量的積若a(a1，a2)，R，則a(a1，a2)，即數(shù)乘向量的積的坐標等于數(shù)乘以向量相應坐標的積向量的坐標已知向量的起點A(x1，y1)，終點B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，即一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標已知向

4、量a(x3，x23x4)與相等，其中A(1,2)，B(3,2)，則x_.【解析】易得(2,0)，由a(x3，x23x4)與相等得解得x1.【答案】1質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型平面向量的坐標表示(1)已知(1,3)，且點A(2,5)，則點B的坐標為()A.(1,8) B.(1,8)C.(3,2) D.(3,2)(2)如圖2214，在正方形ABCD中，O為中心，且(1，1)，則_；_；_.圖2214(3)如圖2215，已知在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30角，求點B和點D的坐標和

5、與的坐標.圖2215【精彩點撥】表示出各點的坐標用終點坐標減去起點坐標得相應向量的坐標【自主解答】(1)設B的坐標為(x，y)，(x，y)(2,5)(x2，y5)(1,3)，所以解得所以點B的坐標為(1,8).(2)如題干圖，(1，1)(1,1)，由正方形的對稱性可知，B(1，1)，所以(1，1)，同理(1,1).【答案】(1)B(2)(1，1)(1,1)(1,1)(3)由題意知B, D分別是30，120角的終邊與以點O為圓心的單位圓的交點.設B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函數(shù)的定義，得x1cos 30，y1sin 30，所以B.x2cos 120，y2sin 120，所以D.所以

6、，.求點、向量坐標的常用方法：(1)求一個點的坐標：可利用已知條件，先求出該點相對應坐標原點的位置向量的坐標，該坐標就等于相應點的坐標.(2)求一個向量的坐標：首先求出這個向量的始點、終點坐標，再運用終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標.再練一題1.已知邊長為2的正三角形ABC，頂點A在坐標原點，AB邊在x軸上，C在第一象限，D為AC的中點，分別求向量，的坐標.【導學號：】【解】如圖，正三角形ABC的邊長為2，則頂點A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60，2sin 60)，C(1，)，D，(2,0)，(1，)，(12，0)(1，)，.平面向量的坐標運算(1)設(2,3)，(m，n)，(

7、1,4)，則()A.(1m,7n)B.(1m，7n)C.(1m,7n)D.(1m ，7n)(2)已知向量(3，2)，(5，1)，則向量的坐標是()A. B.C. D.(8,1)(3)若A，B，C三點的坐標分別為(2，4)，(0,6)，(8,10)，求2，的坐標.【精彩點撥】(1)可利用向量加法的三角形法則將分解為來求解.(2)可借助來求坐標.(3)可利用(xBxA，yByA)來求解.【自主解答】(1)(1,4)(m，n)(2,3)(1m，7n).(2)A()(8,1)，.【答案】(1)B(2)A(3)(2,10)，(8,4)，(10,14)，2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(

8、18,18)，(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3，3).平面向量坐標的線性運算的方法：(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行.(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算.(3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行.再練一題2.已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.【解】(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7).(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1).(3)ab(1,2)(2,1).探究共研型向量坐標運算的綜合應用

9、探究1已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及t.當t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？【提示】t(1,2)t(3,3)(13t,23t).若點P在x軸上，則23t0，t.若點P在y軸上，則13t0，t.若點P在第二象限，則t.探究2對于探究1條件不變，四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由.【提示】(1,2)，(33t,33t).若四邊形OABP為平行四邊形，則，該方程組無解.故四邊形不能成為平行四邊形.探究3已知在非平行四邊形ABCD中，ABDC，且A，B，D三點的坐標分別為(0,0)，(2,0)，(1,1)，則頂點C的橫坐標的取

10、值范圍是什么？圖2216【提示】當ABCD為平行四邊形時，則(2,0)(1,1)(3,1)，故滿足條件的頂點C的橫坐標的取值范圍是(1,3)(3，).已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若AAA(R)，試求為何值時，(1)點P在一、三象限角平分線上；(2)點P在第三象限內.【精彩點撥】解答本題可先用表示點P的橫、縱坐標，再根據條件列方程或不等式求解.【自主解答】設點P的坐標為(x，y)，則A(x，y)(2,3)(x2，y3)，AA(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17).AAA，則(1)若P在一、三象限角平分線上，則5547，即時，點P在一、三

11、象限角平分線上.(2)若P在第三象限內，則1.即1時，點P在第三象限內.1.解答本題可用待定系數(shù)法，此法是最基本的數(shù)學方法之一，實質是先將未知量設出來，建立方程(組)求出未知數(shù)的值，此方法是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應用.2.坐標形式下向量相等的條件：相等向量的對應坐標相等；對應坐標相等的向量是相等向量.由此可建立相等關系求某些參數(shù)的值.再練一題3.向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖2217所示，若cab(，R)，則_.圖2217【解析】以向量a的終點為原點，以過該點的水平和豎直的網格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設一個小正方形網格的邊長為1，則a(1,1)，

12、b(6,2)，c(1，3).由ca b，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61，23，故2，則4.【答案】4構建體系1.已知點A(1，3)，的坐標為(3,7)，則點B的坐標為()A.(4,4)B.(2,4)C.(2,10) D.(2，10)【解析】設點B的坐標為(x，y)，由(3,7)(x，y)(1，3)(x1，y3)，得B(4,4).【答案】A2.若a(2,1)，b(1,0)，則3a2b的坐標是()A.(5,3) B.(4,3)C.(8,3) D.(0，1)【解析】3a2b3(2,1)2(1,0)(4,3).【答案】B3.若向量(1,2)，(3,4)，則()A.(4,6) B.(4，6)C

13、.(2，2) D.(2,2)【解析】(1,2)(3,4)(4,6).故選A.【答案】A4.已知點A(1,3)，B(4，1)，則與向量同方向的單位向量為_.【解析】(3，4)，則與同方向的單位向量為(3，4).【答案】5.已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，3，2，求的坐標.【導學號：】【解】因為A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，所以(23,44)(1,8)，(33，14)(6,3)，所以3(3,24)，2(12,6).設M(x，y)，則(x3，y4)，即解得所以M(0,20)，同理可得N(9,2)，所以(90,220)(9，18).我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升

14、方案：(1)_(2)_學業(yè)分層測評(十九)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1.已知A(3,1)，B(2，1)，則的坐標是()A.(2，1)B.(2,1)C.(1,2) D.(1，2)【解析】B(3,1)(2，1)(1,2).【答案】C2.(2016威海高一檢測)設向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a,3b2a，c的有向線段首尾相接能構成三角形，則向量c等于()A.(1，1) B.(1,1)C.(4,6) D.(4，6)【解析】因為4a,3b2a，c對應有向線段首尾相接，所以4a3b2ac0，故有c2a3b2(1，3)3(2,4)(4，6).【答案】D3.(2016孝感高級中學

15、期末)若a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c用a，b表示為()A.ab B.abC.ab D.ab【解析】設c1a2b(1、2R)，則(1,2)1(1,1)2(1，1)(12，12)，則cab.故選B.【答案】B4.已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，則向量ab()A.平行于y軸B.平行于第一、三角限的角平分線C.平行于x軸D.平行于第二、四象限的角平分線【解析】ab(0,1x2)，故平行于y軸.【答案】A5.(2016撫順市質檢)已知A(3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在AOB內，且AOC45，設(1)(R)，則的值為()A. B.C. D.【解析】如圖所示，AOC

16、45，設C(x，x)，則(x，x).又A(3,0)，B(0,2)，(1)(3，22)，.【答案】C二、填空題6.已知點A(2,3)，B(1,5)，且，則點C的坐標為_.【解析】因，即()，所以(2,3)(1,5).【答案】7.已知邊長為單位長度的正方形ABCD，若A點與坐標原點重合，邊AB，AD分別落在x軸，y軸的正方向上，則向量23的坐標為_.【導學號：】【解析】根據題意建立平面直角坐標系(如圖)，則各頂點的坐標分別為A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1).(1,0)，(0,1)，(1,1)，23(2,0)(0,3)(1,1)(3,4).【答案】(3,4)三、解答題8.若向量

17、|a|b|1，且ab(1,0)，求a與b的坐標.【解】設a(m，n)，b(p，q)，則有解得或故所求向量為a，b，或a，b.9.(1)已知平面上三個點A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，2.(2)已知a(1,2)，b(3,4)，求向量ab，ab,3a4b的坐標.【解】(1)因為A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以(7,5)(4,6)(3，1)，(1,8)(4,6)(3,2)，(3，1)(3,2)(0,1)，(3，1)(3,2)(6，3)，22(3，1)(3,2)(6，2).(2)ab(1,2)(3,4)(2,6)，ab(1,2)(3,4)(4，2)，3a4b3(1,2)4(3,4)(15，10).能力提升1.在四邊形ABCD中，(1,0)，則四邊形ABCD的面積是()A. B.C. D.【解析】為在方向上的單位向量，記為e1，類似地，設e2，e3，所以e1e2e3，可知四邊形BNGM為菱形，且|，所以MBN120，從而四邊形ABCD也為菱形