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文檔簡介
1、2.2.2向量的正交分解與向量的直角坐標運算1.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.2.會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘向量運算.3.會用坐標表示平面向量共線的條件,能用向量共線的條件來解決有關向量共線、直線平行及點共線等問題.(重點、難點)基礎初探教材整理1向量的正交分解及坐標表示閱讀教材P99P100“例1”以上內容,完成下列問題.一、向量的正交分解及坐標表示1.向量的正交分解:2.向量的直角坐標:(1)在直角坐標系內,分別取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量e1,e2,則對任一向量a,存在唯一的有序實數(shù)對(a1,a2),使得aa1e1a2e2,(a1,a2)就是向量a在基底e1,e2下
2、的坐標,即a(a1,a2).(2)向量的坐標:設點A的坐標為(x,y),則(x,y).符號(x,y)在直角坐標系中有雙重意義,它既可以表示一個固定的點,又可以表示一個向量.判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)兩個向量的終點不同,則這兩個向量的坐標一定不同.()(2)當向量的始點在坐標原點時,向量的坐標就是向量終點的坐標.()(3)兩向量差的坐標與兩向量的順序無關.()(4)點的坐標與向量的坐標相同.()【解析】(1)錯誤.對于同一個向量,無論位置在哪里,坐標都一樣.(2)正確.根據向量的坐標表示,當始點在原點時,終點與始點坐標之差等于終點坐標.(3)錯誤.根據兩向量差的運算,兩向量差的坐標
3、與兩向量的順序有關.(4)錯誤.當向量的始點在坐標原點時,向量的坐標等于(終)點的坐標.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2向量的直角坐標運算閱讀教材P100P102內容,完成下列問題.向量的加、減法設a(a1,a2),b(b1,b2),則ab(a1b1,a2b2),ab(a1b1,a2b2),即兩個向量和與差的坐標等于兩個向量相應坐標的和與差實數(shù)與向量的積若a(a1,a2),R,則a(a1,a2),即數(shù)乘向量的積的坐標等于數(shù)乘以向量相應坐標的積向量的坐標已知向量的起點A(x1,y1),終點B(x2,y2),則(x2x1,y2y1),即一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標已知向
4、量a(x3,x23x4)與相等,其中A(1,2),B(3,2),則x_.【解析】易得(2,0),由a(x3,x23x4)與相等得解得x1.【答案】1質疑手記預習完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:_解惑:_疑問2:_解惑:_疑問3:_解惑:_小組合作型平面向量的坐標表示(1)已知(1,3),且點A(2,5),則點B的坐標為()A.(1,8) B.(1,8)C.(3,2) D.(3,2)(2)如圖2214,在正方形ABCD中,O為中心,且(1,1),則_;_;_.圖2214(3)如圖2215,已知在邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30角,求點B和點D的坐標和
5、與的坐標.圖2215【精彩點撥】表示出各點的坐標用終點坐標減去起點坐標得相應向量的坐標【自主解答】(1)設B的坐標為(x,y),(x,y)(2,5)(x2,y5)(1,3),所以解得所以點B的坐標為(1,8).(2)如題干圖,(1,1)(1,1),由正方形的對稱性可知,B(1,1),所以(1,1),同理(1,1).【答案】(1)B(2)(1,1)(1,1)(1,1)(3)由題意知B, D分別是30,120角的終邊與以點O為圓心的單位圓的交點.設B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函數(shù)的定義,得x1cos 30,y1sin 30,所以B.x2cos 120,y2sin 120,所以D.所以
6、,.求點、向量坐標的常用方法:(1)求一個點的坐標:可利用已知條件,先求出該點相對應坐標原點的位置向量的坐標,該坐標就等于相應點的坐標.(2)求一個向量的坐標:首先求出這個向量的始點、終點坐標,再運用終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標.再練一題1.已知邊長為2的正三角形ABC,頂點A在坐標原點,AB邊在x軸上,C在第一象限,D為AC的中點,分別求向量,的坐標.【導學號:】【解】如圖,正三角形ABC的邊長為2,則頂點A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),C(1,),D,(2,0),(1,),(12,0)(1,),.平面向量的坐標運算(1)設(2,3),(m,n),(
7、1,4),則()A.(1m,7n)B.(1m,7n)C.(1m,7n)D.(1m ,7n)(2)已知向量(3,2),(5,1),則向量的坐標是()A. B.C. D.(8,1)(3)若A,B,C三點的坐標分別為(2,4),(0,6),(8,10),求2,的坐標.【精彩點撥】(1)可利用向量加法的三角形法則將分解為來求解.(2)可借助來求坐標.(3)可利用(xBxA,yByA)來求解.【自主解答】(1)(1,4)(m,n)(2,3)(1m,7n).(2)A()(8,1),.【答案】(1)B(2)A(3)(2,10),(8,4),(10,14),2(2,10)2(8,4)(2,10)(16,8)(
8、18,18),(8,4)(10,14)(8,4)(5,7)(3,3).平面向量坐標的線性運算的方法:(1)若已知向量的坐標,則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行.(2)若已知有向線段兩端點的坐標,則可先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算.(3)向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行.再練一題2.已知a(1,2),b(2,1),求:(1)2a3b;(2)a3b;(3)ab.【解】(1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7).(2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7,1).(3)ab(1,2)(2,1).探究共研型向量坐標運算的綜合應用
9、探究1已知點O(0,0),A(1,2),B(4,5),及t.當t為何值時,點P在x軸上?點P在y軸上?點P在第二象限?【提示】t(1,2)t(3,3)(13t,23t).若點P在x軸上,則23t0,t.若點P在y軸上,則13t0,t.若點P在第二象限,則t.探究2對于探究1條件不變,四邊形OABP能為平行四邊形嗎?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.【提示】(1,2),(33t,33t).若四邊形OABP為平行四邊形,則,該方程組無解.故四邊形不能成為平行四邊形.探究3已知在非平行四邊形ABCD中,ABDC,且A,B,D三點的坐標分別為(0,0),(2,0),(1,1),則頂點C的橫坐標的取
10、值范圍是什么?圖2216【提示】當ABCD為平行四邊形時,則(2,0)(1,1)(3,1),故滿足條件的頂點C的橫坐標的取值范圍是(1,3)(3,).已知點A(2,3),B(5,4),C(7,10).若AAA(R),試求為何值時,(1)點P在一、三象限角平分線上;(2)點P在第三象限內.【精彩點撥】解答本題可先用表示點P的橫、縱坐標,再根據條件列方程或不等式求解.【自主解答】設點P的坐標為(x,y),則A(x,y)(2,3)(x2,y3),AA(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35,17).AAA,則(1)若P在一、三象限角平分線上,則5547,即時,點P在一、三
11、象限角平分線上.(2)若P在第三象限內,則1.即1時,點P在第三象限內.1.解答本題可用待定系數(shù)法,此法是最基本的數(shù)學方法之一,實質是先將未知量設出來,建立方程(組)求出未知數(shù)的值,此方法是待定系數(shù)法的基本形式,也是方程思想的一種基本應用.2.坐標形式下向量相等的條件:相等向量的對應坐標相等;對應坐標相等的向量是相等向量.由此可建立相等關系求某些參數(shù)的值.再練一題3.向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖2217所示,若cab(,R),則_.圖2217【解析】以向量a的終點為原點,以過該點的水平和豎直的網格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系,設一個小正方形網格的邊長為1,則a(1,1),
12、b(6,2),c(1,3).由ca b,即(1,3)(1,1)(6,2),得61,23,故2,則4.【答案】4構建體系1.已知點A(1,3),的坐標為(3,7),則點B的坐標為()A.(4,4)B.(2,4)C.(2,10) D.(2,10)【解析】設點B的坐標為(x,y),由(3,7)(x,y)(1,3)(x1,y3),得B(4,4).【答案】A2.若a(2,1),b(1,0),則3a2b的坐標是()A.(5,3) B.(4,3)C.(8,3) D.(0,1)【解析】3a2b3(2,1)2(1,0)(4,3).【答案】B3.若向量(1,2),(3,4),則()A.(4,6) B.(4,6)C
13、.(2,2) D.(2,2)【解析】(1,2)(3,4)(4,6).故選A.【答案】A4.已知點A(1,3),B(4,1),則與向量同方向的單位向量為_.【解析】(3,4),則與同方向的單位向量為(3,4).【答案】5.已知A(2,4),B(3,1),C(3,4),3,2,求的坐標.【導學號:】【解】因為A(2,4),B(3,1),C(3,4),所以(23,44)(1,8),(33,14)(6,3),所以3(3,24),2(12,6).設M(x,y),則(x3,y4),即解得所以M(0,20),同理可得N(9,2),所以(90,220)(9,18).我還有這些不足:(1)_(2)_我的課下提升
14、方案:(1)_(2)_學業(yè)分層測評(十九)(建議用時:45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1.已知A(3,1),B(2,1),則的坐標是()A.(2,1)B.(2,1)C.(1,2) D.(1,2)【解析】B(3,1)(2,1)(1,2).【答案】C2.(2016威海高一檢測)設向量a(1,3),b(2,4),若表示向量4a,3b2a,c的有向線段首尾相接能構成三角形,則向量c等于()A.(1,1) B.(1,1)C.(4,6) D.(4,6)【解析】因為4a,3b2a,c對應有向線段首尾相接,所以4a3b2ac0,故有c2a3b2(1,3)3(2,4)(4,6).【答案】D3.(2016孝感高級中學
15、期末)若a(1,1),b(1,1),c(1,2),則c用a,b表示為()A.ab B.abC.ab D.ab【解析】設c1a2b(1、2R),則(1,2)1(1,1)2(1,1)(12,12),則cab.故選B.【答案】B4.已知平面向量a(x,1),b(x,x2),則向量ab()A.平行于y軸B.平行于第一、三角限的角平分線C.平行于x軸D.平行于第二、四象限的角平分線【解析】ab(0,1x2),故平行于y軸.【答案】A5.(2016撫順市質檢)已知A(3,0),B(0,2),O為坐標原點,點C在AOB內,且AOC45,設(1)(R),則的值為()A. B.C. D.【解析】如圖所示,AOC
16、45,設C(x,x),則(x,x).又A(3,0),B(0,2),(1)(3,22),.【答案】C二、填空題6.已知點A(2,3),B(1,5),且,則點C的坐標為_.【解析】因,即(),所以(2,3)(1,5).【答案】7.已知邊長為單位長度的正方形ABCD,若A點與坐標原點重合,邊AB,AD分別落在x軸,y軸的正方向上,則向量23的坐標為_.【導學號:】【解析】根據題意建立平面直角坐標系(如圖),則各頂點的坐標分別為A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).(1,0),(0,1),(1,1),23(2,0)(0,3)(1,1)(3,4).【答案】(3,4)三、解答題8.若向量
17、|a|b|1,且ab(1,0),求a與b的坐標.【解】設a(m,n),b(p,q),則有解得或故所求向量為a,b,或a,b.9.(1)已知平面上三個點A(4,6),B(7,5),C(1,8),求,2.(2)已知a(1,2),b(3,4),求向量ab,ab,3a4b的坐標.【解】(1)因為A(4,6),B(7,5),C(1,8),所以(7,5)(4,6)(3,1),(1,8)(4,6)(3,2),(3,1)(3,2)(0,1),(3,1)(3,2)(6,3),22(3,1)(3,2)(6,2).(2)ab(1,2)(3,4)(2,6),ab(1,2)(3,4)(4,2),3a4b3(1,2)4(3,4)(15,10).能力提升1.在四邊形ABCD中,(1,0),則四邊形ABCD的面積是()A. B.C. D.【解析】為在方向上的單位向量,記為e1,類似地,設e2,e3,所以e1e2e3,可知四邊形BNGM為菱形,且|,所以MBN120,從而四邊形ABCD也為菱形
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