高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1.3.1 三角函數(shù)的周期性教案 蘇教版必修

1、13.1三角函數(shù)的周期性教學(xué)分析三角函數(shù)的周期性是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念之后研究的，教材中，為學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)提供了問題背景，因此，教學(xué)時要充分運用這些問題背景以突出本章“建立刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”這一主題周期函數(shù)的定義是教學(xué)中的一個難點在教學(xué)中，可以從“周而復(fù)始的重復(fù)出現(xiàn)”出發(fā)，一步步地使語言精確化，通過“每隔一定時間出現(xiàn)”“自變量每增加或減少一個值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)”等，逐步抽象出函數(shù)周期性的定義教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生通過對三角函數(shù)實例的具體分析，幫助認識周期以及周期函數(shù)因為在本節(jié)中，我們討論的主題是三角函數(shù)的周期性，這一點更重要，在教學(xué)中不要對一般的周期函數(shù)作過多的討論三角函數(shù)的

2、最小正周期是指三角函數(shù)所有周期中的最小正數(shù)對于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期是2的結(jié)論，可以組織學(xué)生通過觀察三角函數(shù)線的變化進行驗證，進而通過本節(jié)“鏈接”中的內(nèi)容了解其證明過程不論是周期，還是最小正周期，都是對自變量x而言的，是自變量x的改變量這一點正是解決例2的根據(jù)教學(xué)時根據(jù)學(xué)生的實際，可以組織學(xué)生仿照例2推導(dǎo)出函數(shù)yAsin(x)的周期為這一結(jié)論三維目標1通過創(chuàng)設(shè)情境，如單擺運動、波浪、四季變化等，讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象；理解周期函數(shù)的概念；能熟練地求出簡單三角函數(shù)的周期，并能根據(jù)周期函數(shù)的定義進行簡單的拓展運用2通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對周期現(xiàn)象有一個初步的認識，感受生活中處處有數(shù)學(xué)，從而激

3、發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會運用聯(lián)系的觀點認識事物，并通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進一步了解從特殊到一般的認識世界的科學(xué)方法，提高認識世界的能力和思維層次，為今后認識世界和探索世界打下堅實的基礎(chǔ)重點難點教學(xué)重點：周期函數(shù)定義的理解，深化研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法教學(xué)難點：周期函數(shù)概念的理解，最小正周期的意義及簡單的應(yīng)用課時安排1課時導(dǎo)入新課思路1.人的情緒、體力、智力都有周期性的變化現(xiàn)象，在日常生活和工作中，人們常常有這樣的自我感覺，有的時候體力充沛，心情愉快，思維敏捷；有的時候卻疲倦乏力，心灰意冷，反應(yīng)遲鈍；也有的時候思緒不穩(wěn)，喜怒無常，煩躁不安，糊涂健忘，這些感覺呈周期性發(fā)生，貫

4、穿人的一生，這種有規(guī)律性的重復(fù)，我們稱之為周期性現(xiàn)象請同學(xué)們舉出生活中存在周期現(xiàn)象的例子，在學(xué)生熱烈的爭論中引入新課思路2.取出一個鐘表，實際操作，我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的時針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會重復(fù)，這是一種周期現(xiàn)象我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù)那么我們怎樣從數(shù)學(xué)的角度研究周期現(xiàn)象呢？在圖形上讓學(xué)生觀察正弦線“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，在代數(shù)式上讓學(xué)生思考誘導(dǎo)公式：sin(x2k)sinx又是怎樣反映函數(shù)值的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的要求學(xué)生用日常語言敘述這個公式，通過對圖象、函數(shù)解析式的特點的描述，使學(xué)生在理解周期性的基礎(chǔ)上，進而理解“周而復(fù)始”變化的代數(shù)刻畫，由此引出周期函數(shù)的

5、概念推進新課周期函數(shù)的定義由單位圓中的三角函數(shù)線可知，正弦、余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象每當角增加(或減少)2時，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正弦、余弦函數(shù)值也分別相同即有sin(2x)sinx，cos(2x)cosx.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的這種性質(zhì)稱為周期性若記f(x)sinx，則對于任意xR，都有f(x2)f(x)這又啟發(fā)我們思考：如何用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的周期性？教師在引入正式定義之前，可以引導(dǎo)學(xué)生先從不同角度進行描述例如：對于函數(shù)f(x)，自變量每增加或減少一個定值(這樣的定值可以有很多個)，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個函數(shù)就叫做周期函數(shù)教師可以引導(dǎo)點撥學(xué)生從誘導(dǎo)公式進行

6、描述例如：sin(2k)sin，cos(2k)cos，kZ.這表明，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)自變量每增加(k0時)或減少(k0時)一個定值2k，它的函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)還可以通過類比奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)的研究方法來加深理解周期性概念如果函數(shù)f(x)對于其定義域內(nèi)的每一個值，都有：f(x)f(x)，那么f(x)叫做奇函數(shù)；f(x)f(x)，那么f(x)叫做偶函數(shù)；f(xT)f(x)，其中T是非零常數(shù)，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)從上述定義可以看到，函數(shù)的性質(zhì)是對函數(shù)的一種整體考查結(jié)果，反映了同一類函數(shù)的共同特點，它們可以從代數(shù)角度得到統(tǒng)一刻畫定義：對于函數(shù)

7、f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.由誘導(dǎo)公式易知，2是正弦函數(shù)的一個周期，下面用反證法證明2是它的最小正周期假設(shè)0T2，且T是正弦函數(shù)的周期，則對任意實數(shù)x，都有sin(xT)sinx成立令x0，得sinT0，又0T0，xR)的周期為T.可以按照如下的方法求它的周期：yAsin(x2)Asin(x)Asin(x)于是有

8、f(x)f(x)，所以其周期為.例如在第(3)小題，y2sin()，xR中，所以其周期是4.由上述解法可以看到，思考的基本依據(jù)還是ysinx的周期為2.根據(jù)這個結(jié)論，我們可以由這類函數(shù)的解析式直接寫出函數(shù)的周期如第(3)小題：T4這是求簡單三角函數(shù)周期的最基本方法，即公式法2已知函數(shù)f(x)是周期為5的周期函數(shù)，且f(1)2 007，求f(11)解：因為5是函數(shù)f(x)在R上的周期，所以f(11)f(65)f(6)f(15)f(1)2 007.3已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(1)2，f(x3)f(x)，求f(8)解：由題意，知3是函數(shù)f(x)的周期，且f(x)f(x)，所以f(8

9、)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.例2判斷函數(shù)f(x)2sin2x|cosx|，xR的周期性如果是周期函數(shù)，最小正周期是多少？活動：本例的難度較大，教師可引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，結(jié)合誘導(dǎo)公式，尋求使f(xT)f(x)成立的T的值學(xué)生可能會很容易找出4、2，這的確是原函數(shù)的周期，但是不是最小正周期呢？教師引導(dǎo)學(xué)生選其他幾個值試試如果學(xué)生很快求出，教師給予表揚鼓勵；如果學(xué)生做不出，教師點撥學(xué)生的探究思路，充分讓學(xué)生自己討論解決解：因為f(x)2sin2(x)|cos(x)|2sin2x|cosx|f(x)，所以原函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是.點評：本題能很容易判斷是周期函數(shù)，但要求的

10、是“最小正周期”，那就要多加小心了雖然將4，2帶入公式后也符合要求，但還必須進一步變形，即f(x)中的x以x代替后看看函數(shù)值變不變?yōu)榇诵鑼?，等都代入試一試實際上，f(x)2sin2x|cosx|，xR中，學(xué)生應(yīng)看到平方與絕對值的作用是一樣的，與負號沒有關(guān)系因而肯定是原函數(shù)的一個周期變式訓(xùn)練1求函數(shù)y2sin(x)的周期解：因為y2sin(x)2sin()，所以周期T6.2設(shè)f(x)是定義在R上，以2為周期的函數(shù)，當x(1,1)時，f(x)x2.(1)求x(1,3)時，f(x)的表達式；(2)求f(3.5)及f(3.5)的值解：(1)1x3，1x21.f(x2)(x2)2.f(x)是以2為周期的

11、函數(shù)，f(x2)f(x22)f(x)x(1,3)時，f(x)(x2)2.(2)f(3.5)f(1.5)f(0.5)0.25，f(3.5)f(1.5)(1.52)20.25.課本本節(jié)練習(xí)14.1課本習(xí)題1.31.2預(yù)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象1本節(jié)課的設(shè)計思想是：在學(xué)生的探究活動中突破正弦、余弦函數(shù)的周期性這個教學(xué)難點如果學(xué)生一開始沒有很好的理解，那么以后有些題不管怎么做都難受通過探究讓學(xué)生找出周期這個規(guī)律性的東西，并明確知識依附于問題而存在，方法為解決問題的需要而產(chǎn)生將周期性概念的形成過程自然地貫徹到教學(xué)活動中去，由此把學(xué)生的思維推到更高的廣度2本節(jié)設(shè)計的特點是從形(單位圓)到數(shù)、由特殊到一般

12、、由易到難，這符合學(xué)生的認知規(guī)律；讓學(xué)生在探究中積累知識，發(fā)展能力，對形成科學(xué)的探究未知世界的嚴謹作風(fēng)有著良好的啟導(dǎo)但由于學(xué)生知識水平的限制，本節(jié)不能擴展太多，建議讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)探討函數(shù)的周期性的規(guī)律及一般三角函數(shù)的周期的求法3根據(jù)本節(jié)課的特點可考慮分層推進、照顧全體對優(yōu)等生，重在引導(dǎo)他們進行一題多解，多題合一，變式思考的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們求同思維、求異思維能力，以及思維的靈活性、深刻性與創(chuàng)造性，鼓勵他們獨立思考，勇于探索，敢于創(chuàng)新，對正確的要予以肯定，對暴露出來的問題要及時引導(dǎo)、剖析糾正，使課堂學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過程一、關(guān)于周期函數(shù)與函數(shù)的周期周期性是函數(shù)的一條特殊而有趣的性質(zhì)，在高中

13、數(shù)學(xué)中僅三角函數(shù)與周期數(shù)列的通項公式中涉及到周期函數(shù)，對一般的周期函數(shù)未作重點討論下面對周期函數(shù)的定義、性質(zhì)、周期函數(shù)和非周期函數(shù)的判定，進行一些簡單的擴展說明，以吸引有興趣的學(xué)生對周期函數(shù)作進一步的探討1性質(zhì)：(1)若T(T0)是函數(shù)f(x)的周期，則T也是f(x)的周期因fx(TT)fx(T)f(x)因而周期函數(shù)必定有正周期(2)若T(T0)是f(x)的周期，則nT(n為任意非零整數(shù))也是f(x)的周期(3)若T1與T2都是f(x)的周期，則T1T2也是f(x)的周期因fx(T1T2)f(xT1)f(x)(4)如果f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整數(shù)倍(5

14、)周期函數(shù)f(x)的定義域M必定是雙方無界的集合，但M并非必定是(，)2周期函數(shù)的判定(1)若f(x)是在數(shù)集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)，則kf(x)c(k0)和分別是數(shù)集M和數(shù)集x|f(x)0上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)(2)設(shè)f(u)是定義在數(shù)集M上的函數(shù)，ug(x)是數(shù)集M1上的周期函數(shù)，且當xM1時，g(x)M，則復(fù)合函數(shù)fg(x)是M1上的周期函數(shù)(3)設(shè)f1(x)、f2(x)都是集合M上的周期函數(shù)，T1、T2分別是它們的周期，若Q，則它們的和、差與積也是M上的周期函數(shù)，T1與T2的公倍數(shù)為它們的周期例如：f(x)sinx2cos2xsin4x是以2、的最小公倍數(shù)2為周期的

15、周期函數(shù)3非周期函數(shù)的判定(1)若f(x)的定義域有界，則f(x)不是周期函數(shù)例如：f(x)cosx(x10)不是周期函數(shù)(2)一般用反證法證明例如：可證f(x)sinx2是非周期函數(shù)；f(x)axb(a0)是非周期函數(shù)(3)根據(jù)定義討論函數(shù)的周期性可知非零實數(shù)T在關(guān)系式f(xT)f(x)中是與x無關(guān)的，故討論時可通過解關(guān)于T的方程f(xT)f(x)0，若能解出與x無關(guān)的非零常數(shù)T，便可斷定函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，若這樣的T不存在，則f(x)為非周期函數(shù)4求周期函數(shù)的周期關(guān)于求三角函數(shù)最小正周期的問題，是三角函數(shù)的重點和難點，教科書和各種教參中雖有講解，但其涉及到的題目類型及解決方法并不多，學(xué)生遇到較為復(fù)雜一點的問題時，往往不知從何入手本節(jié)涉及的求周期的方法可概括為定義法、公式法，其他還有轉(zhuǎn)化法、最小公倍數(shù)法、圖象法等二、備用習(xí)題1求下列函數(shù)的周期：ycos2x；ysinx；ysin(x)；y|sinx|.2已知函數(shù)y2cos(x)的周期是4，求.3已知函數(shù)f(x)3sin(3)(k0)的最小正周期不大于1，則最小正整數(shù)k的值為()A