（全國通用）2018年高考數(shù)學(xué) 考點一遍過 專題25 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（含解析）文

1、專題25 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（1）會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.（3）會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.一、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域1二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式表示直線某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實線2對于二元一次不等式的不同形式，其對應(yīng)的平面區(qū)域有如下結(jié)論：3確定二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的方法（1）對于直線同一側(cè)的所有點(x，y

2、)，使得的值符號相同，也就是位于同一半平面的點，如果其坐標(biāo)滿足，則位于另一個半平面內(nèi)的點，其坐標(biāo)滿足.（2）可在直線的同一側(cè)任取一點，一般取特殊點(x0，y0)，從的符號就可以判斷 (或)所表示的區(qū)域（3）由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.（4）點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線的兩側(cè)的充要條件是；位于直線同側(cè)的充要條件是.二、簡單的線性規(guī)劃問題1簡單線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念（1）約束條件：由變量x，y的不等式(或方程)組成的不等式組稱為x，y的約束條件關(guān)于變量x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組稱為x，y的線性約束條件（2）

3、目標(biāo)函數(shù)：我們把求最大值或最小值的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量x，y的一次解析式的稱為線性目標(biāo)函數(shù).（3）線性規(guī)劃問題：一般地，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域，其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解2簡單線性規(guī)劃問題的解法在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟可概括為“畫、移、求、答”，即：（1）畫：在平面直角坐標(biāo)系中，畫出可行域和直線 (目標(biāo)函數(shù)為)；（2）移：平行移動直線，確定使取得最大值或最小值的點；（3）求：求出使z取得

4、最大值或最小值的點的坐標(biāo)(解方程組)及z的最大值或最小值；（4）答：給出正確答案3線性規(guī)劃的實際問題的類型（1）給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；（2）給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小 常見問題有：物資調(diào)運(yùn)問題；產(chǎn)品安排問題；下料問題.4非線性目標(biāo)函數(shù)類型（1）對形如型的目標(biāo)函數(shù)均可化為可行域內(nèi)的點(x，y)與點(a，b)間距離的平方的最值問題（2）對形如型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x，y)與點連線的斜率的倍的取值范圍、最值等（3）對形如型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為的形式，將問題

5、化為求可行域內(nèi)的點(x，y)到直線的距離的倍的最值考向一 二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域1確定平面區(qū)域的方法如下：第一步，“直線定界”，即畫出邊界，要注意是虛線還是實線；第二步，“特殊點定域”，取某個特殊點作為測試點，由的符號就可以斷定表示的是直線哪一側(cè)的平面區(qū)域；第三步，用陰影表示出平面區(qū)域.2二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的應(yīng)用主要包括求平面區(qū)域的面積和已知平面區(qū)域求參數(shù)的取值或范圍.（1）對于面積問題，可先畫出平面區(qū)域，然后判斷其形狀（三角形區(qū)域是比較簡單的情況），求得相應(yīng)的交點坐標(biāo)、相關(guān)的線段長度等，若圖形為規(guī)則圖形，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，則運(yùn)用割補(bǔ)法計算平面

6、區(qū)域的面積，其中求解距離問題時常常用到點到直線的距離公式.（2）對于求參問題，則需根據(jù)區(qū)域的形狀判斷動直線的位置，從而確定參數(shù)的取值或范圍.典例1 不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 .【答案】16【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積為.典例2 設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M，則使函數(shù)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是A BC D【答案】C由函數(shù)的圖象特征知，當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點時，取得最大值，此時；當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點時，取得最小值，此時，即.綜上，.故選C.1若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為A B1C D3考向二 線性目標(biāo)函

7、數(shù)的最值問題1平移直線法：作出可行域,正確理解z的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移得到最優(yōu)解.對一個封閉圖形而言,最優(yōu)解一般在可行域的頂點處取得，在解題中也可由此快速找到最大值點或最小值點. 2頂點代入法：依約束條件畫出可行域;解方程組得出可行域各頂點的坐標(biāo);分別計算出各頂點處目標(biāo)函數(shù)的值，經(jīng)比較后得出z的最大(小)值. 求解時需要注意以下幾點：（）在可行解中，只有一組(x,y)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時，最優(yōu)解只有1個.如邊界為實線的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線不與邊界平行時，會在某個頂點處取得最值.（）同時有多個可行解取得一樣的最值時，最優(yōu)解有多個.如邊界為實線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線

8、與某一邊界線平行時，會有多個最優(yōu)解.（）可行域一邊開放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時也就不存在最優(yōu)解.典例3 已知點x,y滿足約束條件,則z=3x+y的最大值與最小值之差為A5 B6C7 D8【答案】C【解析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，2已知滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最小值是A4 B6C8 D10考向三 含參線性規(guī)劃問題1若目標(biāo)函數(shù)中有參數(shù)，要從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對圖形進(jìn)行動態(tài)分析，對變化過程中的相關(guān)量進(jìn)行準(zhǔn)確定位，這是求解這類問題的主要思維方法.2若約束條件中含有參數(shù)，則會影響平面區(qū)域的形狀，這時含有參數(shù)的不等式表示的區(qū)域的分界線是一條變動的直線

9、，注意根據(jù)參數(shù)的取值確定這條直線的變化趨勢，從而確定區(qū)域的可能形狀.典例4 若變量x,y滿足約束條件,且u=2x+y+2的最小值為-4,則k的值為A7 B C D2【答案】B典例5 設(shè)變量x,y滿足,z=a2x+y(0aN BM=NCM0,b0)的最大值為10,則a2+b2+2a的最小值為A B C D 7關(guān)于實數(shù)x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，不等式(x4)2+(y3)21所表示的區(qū)域記為N，若在M內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點取自N的概率為A BC D 8某顏料公司生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，其中生產(chǎn)每噸產(chǎn)品需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸；生產(chǎn)每噸產(chǎn)品需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸，且該公司一天之內(nèi)

10、甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過噸、噸、噸，如果產(chǎn)品的利潤為元/噸，產(chǎn)品的利潤為元/噸，則該顏料公司一天內(nèi)可獲得的最大利潤為A元 B元C元 D元9在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-1,0)，B(1,2)，C(3,-1)，點P(x，y)為邊界及內(nèi)部的任意一點，則x+y的最大值為_.10已知實數(shù)滿足則的最大值為_.11若函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域，則 的取值范圍是_.12已知x,y滿足約束條件(x-2)(x+2y-4)0,則x2+y2的最小值為_.13已知實數(shù)x,y滿足,則S=x+y2x-1的取值范圍是_.14已知點，若平面區(qū)域D由所有滿足的點組成，則D的面積為_.15設(shè)變量x,

11、y滿足約束條件,目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為m,則當(dāng)2a+b=m18(a0,b0)時,2a+1b 的最小值為_.16某公司計劃2017年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問：該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？1（2017新課標(biāo)全國文科）設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為A0 B1C2 D32（2017浙江）若，滿足約束條件，則的取值范圍是A

12、0，6 B0，4C6， D4，3（2017新課標(biāo)全國文科）設(shè)滿足約束條件則的最小值是A BC D 4（2016浙江文科）若平面區(qū)域 夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是A BC D 5（2016新課標(biāo)全國文科）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤

13、之和的最大值為 元.6（2016江蘇）已知實數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 7（2017天津文科）電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長（分鐘）廣告播放時長（分鐘）收視人次（萬）甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用，表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)（）用，列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；（）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各

14、多少次，才能使收視人次最多？變式拓展1【答案】B【解析】如圖，由于不等式組表示的平面區(qū)域為，且其面積等于，2【答案】B【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，平移直線，可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，為6.故選B3【答案】【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,易得A(3,2),B(1,4),C(95,45).4【解析】設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x噸、B種產(chǎn)品y噸,能夠產(chǎn)生利潤z元,目標(biāo)函數(shù)為z=10000x+5000y,由題意得滿足條件，作出該不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示：5【答案】10【解析】方法一：設(shè)z=3x-4y,作出約束條件表示的可行域,如圖中

15、陰影部分所示,通過平移直線l:3x-4y-z=0知,當(dāng)l過點A(1,0)時,zmax=3；當(dāng)l過點C(1,)時,zmin=,則10|3x-4y-13|,所以|3x-4y-13|的最小值為10.方法二：因為|3x-4y-13|=5,所以求|3x-4y-13|的最小值可以轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點P(x,y)到直線3x-4y-13=0的距離的最小值的5倍. 作出約束條件表示的可行域,如方法一的圖中陰影部分所示.由圖可知,當(dāng)點P位于A(1,0)位置時,P到直線3x-4y-13=0的距離最小,為d=2,所以|3x-4y-13|的最小值為10.考點沖關(guān)1【答案】B2【答案】D【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)

16、域，如圖中陰影部分所示,由z=x+2y,得y=x+,是直線y=x+在y軸上的截距,根據(jù)圖形知,當(dāng)直線y=x+過A點時,取得最小值.由得x=2,y=1,即A(2,1),此時z=4,z4,故選D.3【答案】B【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,該平面區(qū)域是兩個全等的等腰直角三角形,所以平面區(qū)域的面積為S=21224=8.4【答案】B【解析】由得,作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,5【答案】A【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,由此可知一定有MN,選A.6【答案】C【解析】方法一：由題意知,不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,因為a0

17、,b0,所以由可行域得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(4,6)時，z取得最大值,所以4a+6b=10.a2+b2+2a=(a+1)2+b2-1的幾何意義是直線4a+6b=10上任意一點(a,b)到點(-1,0)的距離的平方減去1,那么其最小值是點(-1,0)到直線4a+6b=10的距離的平方減去1,則a2+b2+2a的最小值是()2-1=3613.方法二：由題意知,不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,因為a0,b0,所以7【答案】A【解析】關(guān)于實數(shù)x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域記為M，面積為1244=8，不等式(x4)2+(y3)21所表示的區(qū)域記為N，且滿足不等式組，則面積為,故在M內(nèi)隨機(jī)取一點，

18、則該點取自N的概率為，故選A.8【答案】A【解析】依題意，將題中數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表所示：每噸產(chǎn)品每噸產(chǎn)品染料最高用量甲染料（單位：噸）乙染料（單位：噸）丙染料（單位：噸）設(shè)該公司一天內(nèi)安排生產(chǎn)產(chǎn)品噸、產(chǎn)品噸，所獲利潤為元.依據(jù)題意得目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為，欲求目標(biāo)函數(shù)的最大值，先畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示，9【答案】3【解析】依題意，作出可行域，設(shè)z=x+y，當(dāng)直線y=-x+z過點B時，z有最大值3，故填3.10【答案】4【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖陰影區(qū)域所示，要想取得最大值，只需取得最大值即可.觀察可知，當(dāng)直線過點時，有最大值16，故的最大值為4.11【答案】【

19、解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示：12【答案】13【答案】,4【解析】作出表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.易知目標(biāo)函數(shù)S=+12y+12x-12,它表示可行域內(nèi)的點與Q(12,-12)連線的斜率的一半再加上，易得A(1,3)、B(3,1),所以直線QA的斜率kQA=7,直線QB的斜率kQB=,數(shù)形結(jié)合可知,+kQBS+kQA,所以S=x+y2x-1的取值范圍是,4.14【答案】3可得，則，又直線與直線間的距離，故D的面積為.15【答案】9【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.成立).16【解析】設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分

20、鐘，總收益為z元，由題意得，目標(biāo)函數(shù)為二元一次不等式組等價于，作出該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示： 如圖，作直線，即收益為70萬元.直通高考1【答案】D【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時z取得最大值，故，故選D【名師點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最值取法或值域范圍2【答案】D【解析】如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點

21、時取最小值4，無最大值，選D【名師點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍3【答案】A【名師點睛】線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.4【答案】B【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，【名師點睛】先根據(jù)不等式組畫出可行域，再根據(jù)可行域的特點確定取得最值的最優(yōu)解，代入計算畫不等式組所表示的平面區(qū)域時要注意通過特殊點驗證，防止出現(xiàn)錯誤5【答案】【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B分別為、件，利潤之和為元，那么由題意得約束條件目標(biāo)函數(shù).約束條件等價于作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示.將變形，得，作直線：并平移，當(dāng)直線經(jīng)【名師點睛】線性規(guī)劃也是高考中?？嫉闹R點,一般以客觀題的形式出現(xiàn),基本題型是給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,常見