高中數(shù)學(xué) （2.1 幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型 第2課時(shí)）示范教案 新人教A版必修

1、第2課時(shí) 幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型導(dǎo)入新課思路1情景導(dǎo)入國(guó)際象棋起源于古代印度.相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問他要什么.發(fā)明者說：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第一個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子.請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求.”國(guó)王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g，據(jù)查，目前世界年度小麥產(chǎn)量為6億噸，但不能滿足發(fā)明者要求，這就是指數(shù)增長(zhǎng).本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長(zhǎng)差異.思路2直接導(dǎo)入我們知道，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a1),指數(shù)函數(shù)y=ax

2、(a1)與冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間(0，+)上都是增函數(shù).但這三類函數(shù)的增長(zhǎng)是有差異的.本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長(zhǎng)差異.推進(jìn)新課新知探究提出問題在區(qū)間(0，+)上判斷y=log2x,y=2x,y=x2的單調(diào)性.列表并在同一坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的圖象.結(jié)合函數(shù)的圖象找出其交點(diǎn)坐標(biāo).請(qǐng)?jiān)趫D象上分別標(biāo)出使不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自變量x的取值范圍.由以上問題你能得出怎樣結(jié)論？討論結(jié)果：在區(qū)間(0，+)上函數(shù)y=log2x,y=2x,y=x2均為單調(diào)增函數(shù).見下表與圖3-2-1-12.x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y=2x1.

3、1491.51622.6393.4824.9596.063810.556y=x20.040.3611.963.244.846.67911.56y=log2x-2.322-0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766圖3-2-1-12從圖象看出y=log2x的圖象與另外兩函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，且總在另外兩函數(shù)的圖象的下方，y=2x的圖象與y=x2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)(2，4)和(4，16).不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自變量x的取值范圍分別是(2，4)和(0，2)(4，+).我們?cè)诟蟮姆秶鷥?nèi)列表作函數(shù)圖象(圖3-2-1-13),x012345678y

4、=2x1248163264128256y=x201491625364964圖3-2-1-13容易看出：y=2x的圖象與y=x2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)(2，4)和(4，16)，這表明2x與x2在自變量不同的區(qū)間內(nèi)有不同的大小關(guān)系，有時(shí)2xx2，有時(shí)x21)和冪函數(shù)y=xn(n0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0，+)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會(huì)小于xn，但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，就會(huì)有axxn.同樣地，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a1)和冪函數(shù)y=xn(n0)，在區(qū)間(0，+)上，隨著x的增大，logax增長(zhǎng)得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x

5、軸平行一樣.盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于xn，但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax1),指數(shù)函數(shù)y=ax(a1)與冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間(0，+)上都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著x的增大，y=ax(a1)的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n0)的增長(zhǎng)速度，而y=logax(a1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢.因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogaxxn0)增長(zhǎng)快于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a1)增長(zhǎng)，但它們與指數(shù)增長(zhǎng)比起來相差甚遠(yuǎn)，因此指數(shù)增長(zhǎng)又稱“指數(shù)爆炸”.應(yīng)用示例思

6、路1例1某市的一家報(bào)刊攤點(diǎn)，從報(bào)社買進(jìn)晚報(bào)的價(jià)格是每份0.20元，賣出價(jià)是每份0.30元，賣不掉的報(bào)紙可以以每份0.05元的價(jià)格退回報(bào)社.在一個(gè)月(以30天計(jì))里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報(bào)社買進(jìn)的份數(shù)必須相同，這個(gè)攤主每天從報(bào)社買進(jìn)多少份，才能使每月所獲的利潤(rùn)最大？并計(jì)算他一個(gè)月最多可賺得多少元？活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：設(shè)攤主每天從報(bào)社買進(jìn)x份，顯然當(dāng)x250，400時(shí)，每月所獲利潤(rùn)才能最大.而每月所獲利潤(rùn)=賣報(bào)收入的總價(jià)付給報(bào)社的總價(jià).賣報(bào)收入的總價(jià)包含三部分：可賣出400份的20天里，收入為200.30x；可

7、賣出250份的10天里，收入為100.30250；10天里多進(jìn)的報(bào)刊退回給報(bào)社的收入為100.05(x-250).付給報(bào)社的總價(jià)為300.20x.解：設(shè)攤主每天從報(bào)社買進(jìn)x份，顯然當(dāng)x250，400時(shí)，每月所獲利潤(rùn)才能最大.于是每月所獲利潤(rùn)y為y=200.30x+100.30250+100.05(x-250)-300.20x=0.5x+625，x250，400.因函數(shù)y在250，400上為增函數(shù)，故當(dāng)x=400時(shí)，y有最大值825元.例2某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時(shí)間t之間近似滿足如圖所示的曲線.(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)

8、系式；(2)據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于4微克時(shí)治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥時(shí)間為上午7:00，問一天中怎樣安排服藥的時(shí)間(共4次)效果最佳？圖3-2-1-15解：(1)依題意,得y=(2)設(shè)第二次服藥時(shí)在第一次服藥后t1小時(shí)，則t1+=4,t1=4.因而第二次服藥應(yīng)在11:00；設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時(shí)，則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為兩次服藥量的和，即有t2+(t2-4)+=4,解得t2=9小時(shí)，故第三次服藥應(yīng)在16:00；設(shè)第四次服藥在第一次后t3小時(shí)(t310)，則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已吸收完，此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為第二、三次的和，(t2-4)+(t2-9)+=4,解得t3

9、=13.5小時(shí)，故第四次服藥應(yīng)在20:30.變式訓(xùn)練通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間：講座開始時(shí)，學(xué)生興趣激增；中間有一段不太長(zhǎng)的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f(x)表示學(xué)生接受概念的能力f(x)的值愈大，表示接受的能力愈強(qiáng)，x表示提出和講授概念的時(shí)間(單位：分)，可有以下的公式：f(x)=(1)開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多長(zhǎng)時(shí)間？(2)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)一些？解：(1)當(dāng)0x10時(shí)，f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1

10、(x-13)2+59.9，由f(x)的圖象,知當(dāng)x=10時(shí)，f(x)max=f(10)=59；當(dāng)10x16時(shí)，f(x)=59；當(dāng)16x30時(shí)，f(x)=-3x+107，由f(x)的圖象,知f(x)-316+107=59.因此，開講后10分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，并能持續(xù)6分鐘.(2)f(5)=-0.1(5-13)2+59.9=53.5，f(20)=-320+107=4753.5,開講后5分鐘時(shí)學(xué)生的接受能力比開講后20分鐘強(qiáng).點(diǎn)評(píng)：解析式與圖象的轉(zhuǎn)換是函數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)，關(guān)于分段函數(shù)問題更應(yīng)重點(diǎn)訓(xùn)練.思路2例3 2007山東濱州一模，文20一工廠生產(chǎn)某種零件,每個(gè)零件的成本為40元,出廠單價(jià)為60

11、元,該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu),決定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過100時(shí),每多訂購(gòu)1個(gè),訂購(gòu)的全部零件的單價(jià)就降低0.02元,但最低出廠單價(jià)不低于51元.(1)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí),零件的實(shí)際出廠價(jià)恰為51元?(2)設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè)時(shí),零件的實(shí)際出廠價(jià)為p元,寫出p=f(x).(3)當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)量分別為500、1 000個(gè)時(shí),該工廠的利潤(rùn)分別為多少?(一個(gè)零件的利潤(rùn)=實(shí)際出廠價(jià)-成本)解：(1)設(shè)一次訂購(gòu)量為a個(gè)時(shí),零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好為51元,則a=100+50個(gè).(2)p=f(x)=其中xN*.(3)當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)量為x個(gè)時(shí),該工廠的利潤(rùn)為y,則y=(p-40)x=其中xN*,故當(dāng)x=500時(shí),y=

12、6000;當(dāng)x=1000時(shí),y=11000.點(diǎn)評(píng)：方程中的未知數(shù)設(shè)出來后可以參與運(yùn)算，函數(shù)解析式為含x、y的等式.例4甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村鰻魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模(總產(chǎn)量)進(jìn)行調(diào)查,提供了兩個(gè)方面的信息,分別得到甲、乙兩圖：圖3-2-1-16甲調(diào)查表明：每個(gè)魚池平均產(chǎn)量從第1年1萬只鰻魚上升到第6年2萬只.乙調(diào)查表明：全縣魚池總個(gè)數(shù)由第1年30個(gè)減少到第6年10個(gè).請(qǐng)你根據(jù)提供的信息說明：(1)第2年全縣魚池的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)的鰻魚總數(shù).(2)到第6年這個(gè)縣的鰻魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模(即總產(chǎn)量)比第1年擴(kuò)大了還是縮小了？請(qǐng)說明理由.(3)哪一年的規(guī)模(即總產(chǎn)量)最大?請(qǐng)說明理由.活動(dòng)：觀察函數(shù)圖象，學(xué)生

13、先思考或討論后再回答，教師點(diǎn)撥、提示:先觀察圖象得出相關(guān)數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)找出函數(shù)模型.解：由題意可知,甲圖象經(jīng)過(1,1)和(6,2)兩點(diǎn),從而求得其解析式為y甲=0.2x+0.8,乙圖象經(jīng)過(1,30)和(6,10)兩點(diǎn),從而求得其解析式為y乙=-4x+34.(1)當(dāng)x=2時(shí)，y甲=0.22+0.8=1.2,y乙=-42+34=26，y甲y乙=1.226=31.2.所以第2年魚池有26個(gè),全縣出產(chǎn)的鰻魚總數(shù)為31.2萬只.(2)第1年出產(chǎn)鰻魚130=30(萬只),第6年出產(chǎn)鰻魚210=20(萬只),可見,第6年這個(gè)縣的鰻魚養(yǎng)殖業(yè)規(guī)劃比第1年縮小了.(3)設(shè)當(dāng)?shù)趍年時(shí)的規(guī)?？偖a(chǎn)量為n,那么n=y

14、甲y乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m2+3.6m+27.2=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,當(dāng)m=2時(shí),nmax=31.2,即當(dāng)?shù)?年時(shí),鰻魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模最大,最大產(chǎn)量為31.2萬只.知能訓(xùn)練2007山東高考樣題，文18某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖(1)的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖(2)的拋物線段表示.(1)寫出圖(1)表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系P=f(t)；寫出圖(2)表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t)；(2)認(rèn)定

15、市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？(1) (2)圖3-2-1-17(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/102kg，時(shí)間單位：天)活動(dòng)：學(xué)生在黑板上書寫解答.教師在學(xué)生中巡視其他學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正.解：(1)由圖(1)可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為f(t)=由圖(2)可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為g(t)=(t-150)2+100,0t300.(2)設(shè)t時(shí)刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t)=f(t)-g(t).即h(t)=當(dāng)0t200時(shí)，配方整理,得h(t)=(t-50)2+100,所以當(dāng)t=50時(shí)，h(t)取得區(qū)間0，200上的最大值100；當(dāng)2008

16、7.5可知，h(t)在區(qū)間0，300上可以取得最大值100，此時(shí)t=50，即從二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.拓展提升探究?jī)?nèi)容在函數(shù)應(yīng)用中如何利用圖象求解析式.分段函數(shù)解析式的求法.函數(shù)應(yīng)用中的最大值、最小值問題.舉例探究：(2007山東省青島高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，理21)某跨國(guó)公司是專門生產(chǎn)健身產(chǎn)品的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完，該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行調(diào)研，結(jié)果如圖3-2-1-18(1)、圖3-2-1-18(2)、圖3-2-1-18(3)

17、所示.其中圖3-2-1-18(1)的折線表示的是國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖3-2-1-18(2)的拋物線表示的是國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖3-2-1-18(3)的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系.圖3-2-1-18(1)分別寫出國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量f(t)、國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量g(t)與第一批產(chǎn)品A上市時(shí)間t的關(guān)系式；(2)第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的國(guó)內(nèi)和國(guó)外日銷售利潤(rùn)之和超過6 300萬元?分析：1.利用圖象求解析式,先要分清函數(shù)類型再利用待定系數(shù)法求解析式.2.在t0,40上，有幾個(gè)分界點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們思考應(yīng)分為幾段.3.回憶函數(shù)最值的求法.解：

18、(1)f(t)=g(t)=t2+6t(0t40).(2)每件A產(chǎn)品銷售利潤(rùn)h(t)=.該公司的日銷售利潤(rùn)F(t)=,當(dāng)0t20時(shí)，F(xiàn)(t)=3t(t2+8t),先判斷其單調(diào)性.設(shè)0t1t220,則F(t1)-F(t2)=3t1(t12+8t1)-3t2(t22+8t2)=(t1+t2)(t1-t2)2.F(t)在0,20上為增函數(shù).F(t)max=F(20)=6 0006 300.當(dāng)206 300，則t30;當(dāng)30t40時(shí)，F(xiàn)(t)=60(t2+240)60(302+240)=6 300,故在第24、25、26、27、28、29天日銷售利潤(rùn)超過6 300萬元.點(diǎn)評(píng)：1.利用圖象求解析式,先要分清函數(shù)類型再利用待定系數(shù)法求