多元函數(shù)的極值與最值

1、- 1 -,第六節(jié) 多元函數(shù)的極值與最值,多元函數(shù)的極值 多元函數(shù)的最值 條件極值,- 2 -,一、 多元函數(shù)的極值,定義: 若函數(shù),則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).,例如 :,在點 (0,0) 有極小值;,在點 (0,0) 有極大值;,在點 (0,0) 無極值.,極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,的某鄰域內(nèi)有,- 3 -,說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點稱為駐點 .,例如,定理1 (必要條件),函數(shù),偏導(dǎo)數(shù),證:,據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.,取得極值 ,取得極值,取得極值,但駐點不一定是極值點.,有駐點( 0, 0 ),但在該點不取極值.,且在該點

2、取得極值 ,則有,存在,故,- 4 -,時, 具有極值,定理2 (充分條件),的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且,令,則: 1) 當(dāng),A0 時取極大值;,A0 時取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時, 沒有極值.,時, 不能確定 , 需另行討論.,若函數(shù),- 5 -,例1.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點.,得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判別.,在點(1,0) 處,為極小值;,解方程組,的極值.,求二階偏導(dǎo)數(shù),- 6 -,在點(3,0) 處,不是極值;,在點(3,2) 處,為極大值.,在點(1,2) 處,不是極值;,- 7 -,例2

3、.討論函數(shù),及,是否取得極值.,解:,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值可能為, 因此 z(0,0) 不是極值.,因此,為極小值.,正,負(fù),0,在點(0,0),并且在 (0,0) 有,顯然(0,0)都是它們的駐點 ,- 8 -,二 多元函數(shù)的最值,函數(shù) f 在閉域上連續(xù),函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值,最值可疑點,區(qū)域內(nèi)的駐點,邊界上的最值點,特別, 在區(qū)域函數(shù)只有一個極值點P 時,為極小 值,為最小 值,(大),(大),依據(jù),當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有唯一的一個駐點P 時，,則駐點一定是最值點。,經(jīng)判別得,- 9 -,解,如圖,- 10 -,- 11 -,例4.,解:,則水箱所用材料的面積為,令,得

4、駐點,某廠要用鐵板做一個體積為2,根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,因此可,斷定此唯一駐點就是最小值點.,即當(dāng)長、寬均為,高為,時, 水箱所用材料最省.,箱,設(shè)水箱長,寬分別為x ,y m ,則高為,- 12 -,例5.有一寬為 24cm 的長方形鐵板 ,把它折起來做成,解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積,一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,積最大.,為,問怎樣折法才能使斷面面,- 13 -,令,解得:,由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有,一個駐點,故此點即為所求.,- 14 -,三、條件極值

5、,極值問題,無條件極值:,條 件 極 值 :,條件極值的求法:,方法1 代入法.,求一元函數(shù),的無條件極值問題,對自變量只有定義域限制,對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制,例如 ,- 15 -,方法2 拉格朗日乘數(shù)法.,如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù),可確定隱函數(shù),的極值問題,極值點必滿足,設(shè),記,例如,故,故有,- 16 -,引入輔助函數(shù),輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).,利用拉格,極值點必滿足,則極值點滿足:,朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.,因此,函數(shù),在條件,下的極值點,一定是函數(shù),的駐點。,- 17 -,推廣,拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自

6、變量和多個約束條件的情形.,設(shè),解方程組,可得到條件極值的可疑點 .,例如, 求函數(shù),下的極值.,在條件,- 18 -,例6.,要設(shè)計一個容量為,則問題為求x , y ,令,解方程組,解:,下水箱表面積,最小.,z 使在條件,水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？,的長方體開口水箱, 試問,設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,- 19 -,得唯一駐點,由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.,因此 , 當(dāng)高為,思考:,1) 當(dāng)水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?,提示: 利用對稱性可知,2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價,最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何?,提示:,長、寬、高尺寸相等 .,- 20 -,例7,求原點到曲面,的最短距離。,解,