函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1、.第6次課2學(xué)時(shí)上次課復(fù)習(xí)：limsin x1xx 01、兩個(gè)重要極限x1lim 1 1e,lim 1 x x exxx 02、無(wú)窮小的比較本次課題（或教材章節(jié)題目）：第九節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)教學(xué)要求： 掌握函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義，理解函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及判別其類(lèi)型。重點(diǎn)：連續(xù)的概念，求間斷點(diǎn)難點(diǎn)：求某些函數(shù)的間斷點(diǎn)及分類(lèi)教學(xué)手段及教具：講授講授內(nèi)容及時(shí)間分配 :函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義25 分鐘區(qū)間上連續(xù)的概念15 分鐘函數(shù)的間斷點(diǎn)及分類(lèi)15 分鐘例題35 分鐘課后作業(yè)P80-811.2. 3.參考資料.1.9函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一

2、，在實(shí)際問(wèn)題中普遍存在連續(xù)性問(wèn)題，如氣溫的變化，物體速度的變化，動(dòng)植物的生長(zhǎng)等。這些現(xiàn)象在函數(shù)上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題。1函數(shù)的增量一個(gè)變量 u由初值 u1變到終值 u2，終值與初值之差稱(chēng)為u 的增量 (或改變量 ) ，記作u,即u=u2u1對(duì)于函數(shù) yf (x) ，設(shè)它在 x0 及 x0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，在x0 處給自變量 x 一個(gè)增量x，則函數(shù)有相應(yīng)的增量，yy f ( x0 + x)- f ( x0 )（幾何解釋?zhuān)├O(shè)f ( x)2x21.分別求：1(1) x由變到 1.2 時(shí)，（ 2) x 由變到 0.8 時(shí)，的增量x和y .解：（略）2函數(shù)的連續(xù)性如果自變量 x 的增量x

3、很小時(shí)，函數(shù) y 的增量 y也很小，則說(shuō)明函數(shù)是隨著自變量的漸變而漸變的，這時(shí)稱(chēng)函數(shù)是連續(xù)的。定義 1 ：設(shè) yf (x) 在 x0的某鄰域內(nèi)有定義， 如果當(dāng)自變量x 在 x0 的增量 x0時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的增量yf ( x0x)f ( x0 ) 0 ，就稱(chēng)函數(shù) yf ( x) 在 x0 點(diǎn)處連續(xù)。注 ： f ( x) 在 x0 點(diǎn)連續(xù)limy 0。x0例 2 ：證明函數(shù) f (x) 2x21 在 x=1處連續(xù)。證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，在 x=1的鄰域內(nèi)有定義。x :11x，f(x): f(1)f(1+x)y=f(1+x)-f(1)=2 1+x 212*1 214 x2 x2limylim4 x2

4、x20x 0x 0故f (x)2x21在x處連續(xù) 1（類(lèi)似可證該函數(shù)在其定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都連續(xù)。）.xx0x，則當(dāng)x0時(shí)， xx0，這時(shí)yf ( x) f ( x0 )根據(jù)定義，limy=0可以寫(xiě)作limf ( x)f (x0 )0，即x 0xx0limf (x)f (x0 ).x x0定義 2：設(shè) yf ( x) 在 x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果xx0時(shí) f(x)的極限存在，且等于它在 x0 的函數(shù)值 , 即 lim f ( x)f (x0 ) ，則稱(chēng) f(x)在點(diǎn) x0連續(xù)。xx0左（右）連續(xù)：若xlimf ( x)f (x00)f (x) ，就稱(chēng) f ( x) 在 x0點(diǎn)左連續(xù)。x0若

5、 limf ( x)f ( x0 0)f (x) ，就稱(chēng) f ( x) 在 x0點(diǎn)右連續(xù)。xx0如果 f (x) 在區(qū)間 I上的每一點(diǎn)處都連續(xù)， 就稱(chēng) f ( x) 在 I上連續(xù)；并稱(chēng) f (x) 為 I上的連續(xù)函數(shù)；若I 包含端點(diǎn)，那么f (x) 在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條不斷開(kāi)的曲線(xiàn)。定義 1：設(shè) yf ( x) 在 x0 的某鄰域內(nèi)有定義， 若對(duì)0,0，當(dāng) xx0時(shí)，有fxf(x0)，就稱(chēng)f ( x)在x0 點(diǎn)連續(xù)。( )定理 ： f ( x) 在 x0 點(diǎn)連續(xù)f ( x) 在 x0 點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)?！纠?】多項(xiàng)式函數(shù)在 (,) 上是連續(xù)的

6、；所以limf ( x)f ( x0 ) ，有理函數(shù)在xx0分母不等于零的點(diǎn)處是連續(xù)的，即在定義域內(nèi)是連續(xù)的。以上由 1.6 【例 2】的推論1、推論 2 即得。【例 4】不難證明 ysin x, ycos x 在 (,) 上是連續(xù)的?！纠?5】證明 f (x)x 在 x0 點(diǎn)連續(xù)。證明： limxlim(x)0, lim xlimx0 ，又 f (0)0 ，所以由定理x0x 0 0x 0x00f (x)x 在 x0點(diǎn)連續(xù)；或由前 1.4 習(xí)題 5 知 lim x0f(0) ，所以f ( x)x 在 x0點(diǎn)連續(xù)。x0【例 6】討論函數(shù) yx2x0在 x0的連續(xù)性。x2x0解： limylim

7、( x2)022,limylim (x2)02 2 ，x 0 0x 0 0x 0 0x 0 0因?yàn)?2，所以該函數(shù)在x0點(diǎn)不連續(xù)，又因?yàn)閒 (0)2 ，所以為右連續(xù)函數(shù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)通俗地說(shuō)，若f ( x) 在 x0點(diǎn)不連續(xù)，就稱(chēng)x0 為 f (x) 的間斷點(diǎn)，或不連續(xù)點(diǎn)，為方.便起見(jiàn)，在此要求 x0 的任一鄰域均含有 f ( x) 的定義域中非 x0 的點(diǎn)。間斷點(diǎn)有下列三種情況：（ 1） f ( x) 在 xx0 沒(méi)有定義；（ 2） lim f (x) 不存在；x x0（ 3）雖然lim()存在，fx在點(diǎn)也有定義，但。xx0fxx0lim f ( x)f ( x0 )x 0幾種常見(jiàn)的間斷

8、點(diǎn)類(lèi)型：【例 7】設(shè) f ( x)10, f (x)，即極限不存在， 所以 x0為 f (x) 的2 ，當(dāng) x1x間斷點(diǎn)。因?yàn)?lim，所以 x0為無(wú)窮間斷點(diǎn)。x0x21【例 8】 ysin在 x0點(diǎn)無(wú)定義，且當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值在1與1之間無(wú)限x次地振蕩，而不超于某一定數(shù)，見(jiàn)書(shū)上圖，這種間斷點(diǎn)稱(chēng)為振蕩間斷點(diǎn)。1. f ( x)0xQx均為振蕩間斷點(diǎn)。1xQ1xp2、 f (x)qqxQ 不連續(xù)， xQ 連續(xù)。0x0,1或無(wú)理數(shù)【例 9】 ysin x在 x0sin xx點(diǎn)無(wú)定義， 所以 x 0 為其間斷點(diǎn)，又 limx1，所f (0)x0x 0以若補(bǔ)充定義1，那么函數(shù)在點(diǎn)就連續(xù)了。故這種間斷點(diǎn)稱(chēng)為可去間斷點(diǎn)?！纠?10】 例 6的函數(shù)在 x0點(diǎn)不連續(xù)，但左、右極限均存在，且有不等于f (0)的，這種間斷點(diǎn)稱(chēng)為跳躍間斷點(diǎn)。例如ysgn x 在 x0處即為跳躍間斷點(diǎn)。歸納： (1)limf ( x)， x0為無(wú)窮間斷點(diǎn)；xx0(2)lim()震蕩不存在，為震蕩間斷點(diǎn)；xx0fxx0limf()Af(