高中數(shù)學 第二章 解析幾何初步 2.1 直線與直線的方程 2.1.5 平面直角坐標系中的距離公式學案 北師大版必修

1、1.5平面直角坐標系中的距離公式1.掌握平面直角坐標系中兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，并能簡單應用.(重點)2.能準確求出兩平行直線間的距離.3.會用解析法證明幾何問題.(難點)基礎(chǔ)初探教材整理1兩點間的距離公式閱讀教材P74“練習”以下至P75“例15”以上部分，完成下列問題.一般地，若兩點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩點A，B間的距離公式，|AB|.已知A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，則的值為()A.B.C.3D.2【解析】由兩點間的距離公式，得|AC|4，|CB|2，故2.【答案】D教材整理2點到直線的距離公式閱讀教材P76“練習1”以下至

2、P77“例18”以上部分，完成下列問題.已知點P(x0，y0)，直線l的方程是AxByC0，則點P到直線l的距離公式是d.點(1，1)到直線xy10的距離是()A.B.C.D.【解析】d.【答案】A小組合作型兩點間的距離公式(1)求直線2xmy20(m0)與兩坐標軸的交點之間的距離；(2)已知點A(a，5)與B(0,10)間的距離是17，求a的值；(3)在直線l：3xy10上求一點P，使點P到兩點A(1，1)，B(2,0)的距離相等.【精彩點撥】利用條件確定點的坐標，再代入兩點間的距離公式.【自主解答】(1)直線2xmy20與x軸的交點為(1,0)，與y軸的交點為，兩交點之間的距離為d.(2)

3、由兩點間的距離公式可得d2a2152172，a8.(3)法一：設(shè)P點坐標為(x，y)，由P在l上和P到A，B距離相等建立方程組解得P點坐標為(0,1).法二：設(shè)P(x，y)，兩點A(1，1)，B(2,0)連線所得線段的中垂線方程為xy10.又3xy10，解由、組成的方程組得所以所求的點為P(0,1).兩點間的距離公式是利用代數(shù)法研究幾何問題的最基本的公式之一，利用代數(shù)法解決幾何中的距離問題往往最后都要轉(zhuǎn)化為此公式來解決.再練一題1.已知點A(1,2)，B(2，)，P為x軸上一點，若滿足|PA|PB|，則P的坐標為_.【導學號：】【解析】法一：設(shè)所求點為P(x,0)，于是有|PA|，|PB|，由

4、|PA|PB|，得x22x5x24x11，解得x1，故所求點P的坐標為(1,0).法二：線段AB的中垂線方程為3x(2)y30依題意，點P的坐標為方程組的解.解該方程組得故所求點P的坐標為(1,0).【答案】(1,0)點到直線的距離公式 求點P(1,2)到下列直線的距離：(1)l1：yx3；(2)l2：y1；(3)y軸.【精彩點撥】解答本題可先將直線方程化為一般式，然后直接用點到直線的距離公式求解.【自主解答】(1)將直線方程化為一般式為xy30.由點到直線的距離公式，得d2.(2)法一：直線方程化為一般式為y10，由點到直線的距離公式，得d3.法二：y1平行于x軸，由圖知，d|2(1)|3.

5、(3)法一：y軸的方程為x0，由點到直線的距離公式，得d1.法二：由圖可知，d|10|1.應用點到直線的距離公式應注意以下問題：(1)直線方程應為一般式，若給出其他形式，應化成一般式，再用公式；(2)當點P(x0，y0)在直線上時，d0；(3)點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|；點P(x0，y0)到直線yb的距離d|y0b|.再練一題2.若點(2，k)到直線5x12y60的距離是4，則k的值是_.【解析】4，|1612k|52，k3，或k.【答案】3或探究共研型兩平行線間的距離公式探究1能否將平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，如何轉(zhuǎn)化？【提示】能，由于一條直線上任意一點到另一條

6、直線的距離都是兩條平行直線間的距離，所以只要在一條直線上找到一個已知點，求這點到另一條直線的距離即可.探究2已知l1：AxByC10，l2：AxByC20，如何推導出l1與l2的距離公式呢？【提示】由l1與l2的方程可知直線l1l2，設(shè)P0(x0，y0)是直線AxByC20上任一點，則點P0到直線AxByC10的距離為d.又Ax0By0C20，即Ax0By0C2，d.(1)兩平行直線l1：3x4y10和l2：3x4y15間的距離為_.(2)求與直線l：5x12y60平行且到l的距離為2的直線方程.【精彩點撥】(1)方法一：在其中一條直線上取一點，利用點到直線的距離公式求解；方法二：利用平行線間

7、的距離公式求解.(2)設(shè)出平行直線系，利用兩平行線間的距離公式求參數(shù).【自主解答】(1)法一：若在直線l1上任取一點A(2,1)，則點A到直線l2的距離即是所求的平行線間的距離，d1.法二：利用公式d，得d1.【答案】1(2)設(shè)所求直線的方程為5x12yC0，在直線l上取點，由點到直線的距離公式得2，解得C32或C20.故所求直線的方程為5x12y320或5x12y200.針對此類型的題目一般有兩種思路：(1)利用“化歸”思想將兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.(2)利用兩條平行直線間距離公式d.當兩直線都與x軸(或y軸)垂直時，可利用數(shù)形結(jié)合來解決.(1)兩

8、直線都與x軸垂直時，l1：xx1，l2：xx2，則d|x2x1|；(2)兩直線都與y軸垂直時，l1：yy1，l2：yy2，則d|y2y1|.再練一題3.已知直線3x4y30與直線6xmy140平行，則它們之間的距離是()A.1B.2C.D.4【解析】，m8，直線6xmy140可化為3x4y70，兩平行線之間的距離d2.【答案】B1.已知點A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，則a的值為()A.1B.5C.1或5D.1或5【解析】由|AB|5a1或a5.【答案】C2.已知直線l1：xy10，l2：xy10，則l1，l2之間的距離為()A.1B.C.D.2【解析】在l1上取一點(1，2)，則點到直線l2的距離為.【答案】B3.分別過點A(2,1)和點B(3，5)的兩條直線均垂直于x軸，則這兩條直線間的距離是_.【解析】d|3(2)|5.【答案】54.P，Q分別為直線3x4y120與6x8y60上任意一點，則|PQ|的最小值為_.【解析】直線6x8y60可變?yōu)?x4y30，由此可知兩條直線平行，它們的距離d3，|PQ|最小值為d3.【答案】35.已知直線l過點(0，1)，且點(1，3)到l的距離為，求直線l的方程，并求出坐標原點到直線l的距離. 【導學號：】【解】若直線l的斜率不存在，則l的方程為x0，點