高二數(shù)學(xué) 32球培優(yōu)教案

1、江西樂(lè)安一中高二數(shù)學(xué) 32球培優(yōu)教案基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.關(guān)于球的截面的有關(guān)性質(zhì).用一個(gè)平面去截一個(gè)球,截面是圓面.若截面圓過(guò)球心，則稱為球大圓，同一個(gè)球的兩個(gè)球大圓互相平分；若截面圓不過(guò)球心，則稱為球小圓，與球心距離相等的球小圓相等，與球心距離不等的球小圓不等，距離近的球小圓較大.2.如何求球面距離？球面距離是球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，即經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度.要求球面上任意兩點(diǎn)的球面距離，一般步驟是：（1）計(jì)算線段AB的長(zhǎng)度；（2）計(jì)算對(duì)球心O的張角；（3）計(jì)算大圓弧AB (劣弧)的長(zhǎng).3.數(shù)學(xué)上的經(jīng)度和緯度是如何規(guī)定的?數(shù)學(xué)上的經(jīng)度:零度經(jīng)線所在平面與另一條經(jīng)線所

2、在平面所成的二面角的平面角度數(shù).經(jīng)度之差是兩條經(jīng)線所在平面所成的二面角的平面角的度數(shù).數(shù)學(xué)上的緯度:地球上某點(diǎn)與球心的連線與赤道所在平面所成角的度數(shù).所以數(shù)學(xué)上的經(jīng)度,緯度實(shí)質(zhì)上就是前面學(xué)習(xí)過(guò)的二面角和線面成角的應(yīng)用.如圖10-1.例題精析 例1. A, B兩地都在北緯的球面上,它們的經(jīng)度相差,求A, B兩地的球面距離.(地球半徑為R).分析要求球面距離,根據(jù)定義,要先求A,B兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng),再求的大小,最后利用弧長(zhǎng)公式,求所對(duì)的劣弧的長(zhǎng).如圖10-2,先將北緯的緯線圈的半徑求出.解 在. A, B的經(jīng)度相差, .則A, B兩點(diǎn)的球面距離為.解題后的點(diǎn)撥在求有關(guān)經(jīng)度,緯度以及球面距離的問(wèn)題時(shí),

3、同學(xué)們首先要弄清楚概念的含義,要會(huì)識(shí)圖,找到有關(guān)角度的位置,才能求對(duì).例2.有三個(gè)球,第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面,第二個(gè)球與這個(gè)正方體的各條棱都相切,第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn),求這三個(gè)球的表面積之比.分析要想求三個(gè)球的表面積之比,就要求出三個(gè)球的半徑之比,而三個(gè)球分別與正方體有不同的位置關(guān)系,可以找到球半徑與正方體棱長(zhǎng)之間的關(guān)系,從而得到三個(gè)球半徑之間的關(guān)系.解如圖10-3,正方體與球O不同的位置關(guān)系,得到截面的情形:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.球與正方體內(nèi)切,球的直徑為正方體棱長(zhǎng)，半徑,球與正方體的各條棱都相切,球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，半徑.球過(guò)正方體各個(gè)頂點(diǎn)時(shí),球的直徑為正方體的體對(duì)

4、角線長(zhǎng),半徑.表面積之比解題后的點(diǎn)撥解決球與多面體的切與接的問(wèn)題時(shí),特別應(yīng)注意截面的選取,尋找多面體與球的幾何元素之間的相互關(guān)系,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決.例3.一個(gè)倒圓錐形容器,它的軸截面是正三角形,在這容器內(nèi)注入水,并且放入一個(gè)半徑為r的鐵球,這時(shí)水面恰好和球面相切,如圖10-4,問(wèn)將球從圓錐內(nèi)取出后,圓錐內(nèi)水平面的高是多少?分析若求水平面的高,需先求出水的體積,由題意,不難發(fā)現(xiàn),有這樣一個(gè)等式成立,.解設(shè)球未取出水面高PC,即為圓錐高h(yuǎn),球取出后水面高PH=x. 圓錐軸截面為正三角形. . 球取出后,水面下降到EF,水的體積為:解得球取出后水面高為.解題后的點(diǎn)撥利用體積作橋梁,解決問(wèn)

5、題,是立體幾何中常用的方法.即對(duì)于一個(gè)幾何體,用不同的元素表示它的體積,建立起幾何體中某些元素的關(guān)系.鞏固提高一 .選擇題:1.過(guò)球面上兩點(diǎn)可能作球的大圓個(gè)數(shù)是( )(A)有且只有一個(gè) (B)一個(gè)或無(wú)數(shù)多個(gè)(C)無(wú)數(shù)多個(gè) (D)不存在這種大圓2.三個(gè)球半徑之比是1:2:3,那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的( )(A)倍 (B)倍 (C)2倍 (D)3倍3.將半徑為R的五個(gè)球中的四個(gè)球放在桌面上,使每相鄰的兩球相切,第五個(gè)球放在這四個(gè)球上,使它與此四個(gè)球都相切,則第五個(gè)球的球心到桌面的距離為( )(A) (B) (C) (D)4.如果一個(gè)球的外切圓錐的高是這個(gè)球的半徑的3倍,則圓錐的

6、側(cè)面面積和球的面積之比為( ) (A)4:3 (B)3:1 (C)3:2 (D)9:45.一個(gè)球的外切正方體的全面積等于,則此球的體積等于( )(A) (B) (C) (D) 三.選擇題:6. 在北緯的圓上,有甲, 乙兩地, 它們的緯圓上的弧長(zhǎng)等于, R為地球半徑, 則這兩個(gè)地點(diǎn)間的球面距離是( )(A) (B) (C) (D)四.填空題:7.兩球面積之差為,它們的大圓周長(zhǎng)之和為30cm,兩球的直徑之差為_(kāi). 8.設(shè)地球半徑為R,北緯的緯線夾在西經(jīng)與東經(jīng)之間的緯線長(zhǎng)為_(kāi),所夾兩點(diǎn)間的球面距離是_.9.(91全國(guó)高考試題)在球面上有四個(gè)點(diǎn)P, A, B,C,如果PA, PB, PC兩兩互相垂直,

7、且PA=PB=PC=a,那么這個(gè)球面的面積是_.10.如果一個(gè)圓柱,一個(gè)圓錐的底面直徑和高都等于一個(gè)球的直徑,則圓柱,球,圓錐的體積之比為_(kāi).11.一球與邊長(zhǎng)為a的正方體的各棱相切, 則球的體積為_(kāi).五.解答題:12.B地在東經(jīng)北緯,A地在東經(jīng)北緯,求A, B兩地間的球面距離（R=6370，精確到百分位）13.正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為,內(nèi)有一個(gè)球和四個(gè)面都相切,(1)求棱錐的全面積,(2)求球的半徑.14.已知一個(gè)半徑為R的球,內(nèi)接一四棱錐,各側(cè)棱與底面都成角,底面是兩條對(duì)角線夾角為的矩形,求四棱錐體積.15.用兩個(gè)平行平面去截半徑為R的球面上截面圓半徑為, 兩截面間的距離為求球的表面積.

8、16.在面積為的球內(nèi)有兩個(gè)平行截面, 其面積分別為和, 球面在這兩個(gè)平行截面間的部分叫球帶, 求這個(gè)球帶的面積S.自我反饋一 .選擇題:1. B.如果這兩點(diǎn)是球的直徑兩端點(diǎn)時(shí),與球心共線,可作大圓無(wú)數(shù)個(gè),如果這兩點(diǎn)不是球的直徑兩端點(diǎn)時(shí),與球心不共線,只可確定一個(gè)平面,作一個(gè)大圓.2. B.設(shè)三個(gè)球半徑分別為,則球面積分別為,最大球表面積為其余兩個(gè)球表面積的倍.3. A. 由五個(gè)球心構(gòu)成一個(gè)四棱錐,且每條棱長(zhǎng)都是.高為,距桌面距離再加上R.4. C. 如圖10-5,球的外切圓錐的軸截面是,設(shè)球的半徑為r,圓錐母線為l, 高為h,底面圓半徑為R.由已知.為正三角形. 5. C. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a

9、,則內(nèi)切于正方體的球的半徑為, 球的半徑為. 6. B.由題意, 甲, 乙兩地在緯線圈上相應(yīng)的圓心角, 由得, .甲, 乙兩地在緯線上的直徑端點(diǎn)上.甲, 乙兩地在相應(yīng)的大圓上的圓心角為.過(guò)甲, 乙兩地大圓的劣弧長(zhǎng)為二.填空題:7.2cm. 設(shè)兩球半球分別為,且(),由題意 得 ,直徑之差為2cm.8.如圖10-6.北緯的緯線圈的半徑,夾在西經(jīng)與東經(jīng)的緯線圈的圓心角的度數(shù)為,緯線圈長(zhǎng)度由弧長(zhǎng)公式可知為,AB的弦長(zhǎng)R,所對(duì)球心角.A,B兩點(diǎn)間球面距離為.9.可將PA,PB,PC看成球內(nèi)接正方體從一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱,正方體的對(duì)角線即為球的直徑,對(duì)角線長(zhǎng),10.3:2:1.設(shè)球的半徑為R,則圓柱與圓

10、錐底面直徑和高均為2R,則,.11.由已知得,正方體相對(duì)棱之間的距離為球直徑2R, 則有三.解答題:12.解:如圖10-7，設(shè)60緯度圈為O2，30緯度圈為O1，過(guò)B作BH面O1于H，在在中, 在中，由余弦定理得 在 l =13.解:如圖10-8,過(guò)A作底面BCD于H,連結(jié)BH延長(zhǎng)交CD于E,則,連結(jié)AE,由三垂線定理,連結(jié)球心O和球與正三棱錐的一個(gè)切點(diǎn)F.正三棱錐A-BCD,H為底面的中心. ,即 =, 設(shè)球半徑為R 14.解:如圖10-9,設(shè)O為球心,為底面圓心,是兩對(duì)角線交點(diǎn),三點(diǎn)共線,過(guò)O作于E.底面,.,E為VC中點(diǎn), ,在中, 15.設(shè)垂直于截面的大圓而交兩截面圓于,上述大圓的垂直

11、于的直徑交, 于設(shè)則解得16.(1)當(dāng)球心在兩截面之外時(shí)過(guò)球心O作垂直于兩個(gè)平行截面的直徑MN和兩個(gè)截面分別相交于是兩個(gè)平行截面的直徑, 則是兩截面的圓心,則由已知得:球半徑 截面半徑: (2)當(dāng)球心夾在兩截面之間. 走向高考1.(98全國(guó)高考試題)球面上有3個(gè)點(diǎn),其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的,經(jīng)過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為,那么這個(gè)球的半徑為( )(A) (B) (C)2 (D) 2.(91上海高考試題)圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑為5cm,兩個(gè)直徑為的玻璃小球都浸沒(méi)于容器的水中，若取出這兩個(gè)小球，則容器內(nèi)的水面將下降_.解答:1. B.設(shè)球半徑為R,小圓半徑為r,則.設(shè)三點(diǎn)為A,B,C, O為球心,為等邊三角形,邊長(zhǎng)為R.r為的外接圓半徑,. 2. .設(shè)取出小球后,容器水面將下降.兩小球體積