北航理論力學(xué)復(fù)習.ppt

1、1,理論力學(xué)總結(jié),2,矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù),：動系的角速度,對于標量函數(shù):,對于矢量函數(shù):,3,繞相交軸轉(zhuǎn)動的合成,剛體的角速度:,剛體的角加速度:,剛體的角加速度:,動系為一般運動時點的加速度合成,速度合成：,重合點的加速度,加速度合成：,剛體一般運動的運動微分方程,投影到定系：,投影到動系：,投影到動系：,其中 為動系的角速度。,剛體動力學(xué),動力學(xué)普遍定理,動靜法,平移剛體慣性力,平移剛體(等同質(zhì)點),剛體動力學(xué),動力學(xué)普遍定理,動靜法,平面運動剛體慣性力,平面運動剛體運動方程,條件：剛體有質(zhì)量對稱面，且其平行于運動平面,剛體動力學(xué),動力學(xué)普遍定理,動靜法,定軸轉(zhuǎn)動剛體慣性力,剛體定軸

2、轉(zhuǎn)動微分方程,剛體動力學(xué),一般運動剛體慣性力,剛體運動微分方程,10,第10章要求,定點運動剛體的任意有限位移，可以繞通過固定點的某一軸經(jīng)過一次轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)。 定點運動剛體有限位移的順序不可交換. 定點運動剛體無限小位移的順序可交換. 定點運動剛體的角位移不能用矢量表示，但無窮小角位移可以用矢量表示。 定點運動剛體的角速度角加速度可以用矢量表示。 了解歐拉運動學(xué)方程. 了解歐拉動力學(xué)方程. 自轉(zhuǎn)進動章動概念.,定性理論,11,定點運動剛體上點的速度和加速度公式應(yīng)用; 能計算定點運動剛體的動量矩; 能計算定點運動剛體的動能; 能計算陀螺力矩; 能求解與例10-1和例10-2相同題型的問題。 對高速

3、自轉(zhuǎn)的陀螺，其對定點的動量矩近似為,定量方面,第10章要求,12,陀螺近似理論,陀 螺： 滿足條件 的定點運動剛體。,一、陀螺規(guī)則進動的條件,問題性質(zhì)：已知運動, 求力 。,即: , 方向沿節(jié)線.,陀螺規(guī)則進動的基本公式: 已知運動 力,精確結(jié)果,13,即: , 方向沿節(jié)線.,陀螺規(guī)則進動的基本公式: 已知運動 力,二、萊沙爾(Henri Resal)定理,在定系中:,定理: 剛體對固定點 o 的動量矩 的端點的速度，等于作用于該剛體的所有外力對同一點的主矩.,精確結(jié)果,14,三、陀螺近似理論,如果:,則:,如果：,則也有：,15,四、陀螺近似理論的萊沙爾解釋,相對于定系:,則當剛體作規(guī)則進動

4、時， 的矢端劃出一圓。,16,當剛體作規(guī)則進動時， 的矢端劃出一圓。,由萊沙爾定理:,與精確解比較:,17,例：如圖所示，已知質(zhì)量為m的定點運動陀螺做規(guī)則進動( 0為常量)，其質(zhì)心C到球鉸鏈O的距離為L，該陀螺對質(zhì)量對稱軸z的轉(zhuǎn)動慣量為 J，且以 繞 z 軸高速旋轉(zhuǎn)，z 軸與 軸的夾角為 . 求：陀螺的進動角速度 、鉸鏈 O 的約束力在鉛垂方向的分量 和水平方向的分量 F 的大小。 要求：畫出受力圖、加速度圖；給出解題基本理論和基本步驟。,解: 1. 取陀螺研究;,2. 受力分析:,3. 由動量矩定理:,4. 由動量定理(質(zhì)心運動定理):,18,例：質(zhì)量為 m 半徑為 R 的均質(zhì)薄圓盤以勻角速

5、度 繞水平軸 AB 轉(zhuǎn)動，AB 軸通過光滑球鉸 A 與鉛垂軸 z 相連接，如圖示。若 AB 軸的長度為 d=3R 且不計其質(zhì)量，圓盤作規(guī)則進動，求水平軸 AB 繞鉛垂軸 z 的進動角速度大小 以及球鉸鏈 A 水平方向的約束力的大小 . =_； =_。,陀螺規(guī)則進動的基本公式: 已知運動 力,精確結(jié)果,當：,19,例：確定一個正方體在空間的位置需要_個獨立的參數(shù)。,A：3；,B：4；,C：5；,D：6 .,例：在光滑水平面上運動的剛性球的自由度是_。,A：3；,B：4；,C：5；,D：6 .,20,例：如圖所示，定點運動的圓錐在水平固定圓盤上純滾動。若圓錐底面中心點 D 作勻速圓周運動，則該圓錐

6、的角速度矢量 與角加速度矢量 的關(guān)系是_ 。,A：平行于；,B： 垂直于；,C：為零矢量；,D：為非零矢量。,A：平行于AC；,B： 垂直于AC且平行于AB；,C：垂直于ABC三點確定的平面；,D：不能確定。,例：如圖所示，定點運動的圓錐在水平固定圓盤上純滾動。若圓錐底面中心點 D 作勻速圓周運動，AC 為圓錐與圓盤接觸的母線。在圖示瞬時， C 點的加速度矢量 的方向_ 。,22,例：如圖所示，具有固定點 A 的圓錐在固定的圓盤上純滾動，圓錐的頂角為90，母線長為 L，已知圓錐底面中心點 D 作勻速圓周運動，其速度為 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圓錐的角速度 、角加速度 和圓錐底面上最高

7、點 B 的加速度 的大小。 =_ ， =_， =_。,：自轉(zhuǎn)角速度,：進動角速度,24,例：若定點運動剛體角速度矢量 的大小為非零常量，其方向始終變化，則該剛體的角加速度矢量 可能是_。,D： 為非零常矢量。,A：；,B： ；,C：；,例：圖示薄圓盤半徑為 R，求M點的速度 、轉(zhuǎn)動加速度 和向軸加速度 的大小。,例：圖示薄圓盤半徑為 R，求M點的速度 、轉(zhuǎn)動加速度 和向軸加速度 的大小。,27,例：正棱長為 L 的正方體形繞 O 點作定點運動，已知在圖示瞬時該剛體的角速度 與角加速度 ，求該瞬時正方體上頂點 A 的轉(zhuǎn)動加速度的大小 和向軸加速度的大小 . =_； =_,28,例：正方形剛體繞

8、O 點作定點運動，已知在圖示瞬時其上 A、B兩點的速度方向，如圖所示，則此時該剛體角速度矢量 平行于_。,A： A、B 兩點連線；,B： 平行于 Oz 軸；,C： 平行于 Oy 軸；,D： 平行于 Ox 軸。,29,A： 只能確定其角速度矢量所在平面；,B： 能求角速度的大小和方向；,C： 能求角加速度的大小和方向；,D： 能求剛體對定點的動量矩大小和方向。,例：已知質(zhì)量為 m 棱長為 L 的正方形剛體繞 O 點作定點運動，已知在圖示瞬時其頂點 A、B兩點速度矢量滿足關(guān)系式 (垂直于 OAB 平面)方向，且 . 根據(jù)已知條件，能求剛體的哪些物理量？,30,A： 一定能夠；,B： 一定不能夠；,

9、C： 不一定能夠。,例：若剛體繞 O 點作定點轉(zhuǎn)動，已知某瞬時其上 A、B 兩點的速度分別為 和 ，且大小均不為零。若 O、A、B 三點均不重合，則_該剛體的角速度。,原因：若 O、A、B 三點共線。,31,例：不論剛體作什么運動，剛體上任意兩點的速度在兩點連線上的投影_。,A：一定相等；,B：一定不相等；,C：不一定相等。,例：如圖所示，圓盤以勻角速度 繞 CD 軸轉(zhuǎn)動，框架以勻角速度 繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動。則該定點運動圓盤 角速度的大小 =_(方向畫在圖上)， 角加速度的大小 =_(方向畫在圖上)。,32,33,例：如圖所示，半徑為 R 的圓盤以勻角速度 繞框架上的CD 軸轉(zhuǎn)動，框架以勻角速度 繞

10、鉛垂軸 AB 轉(zhuǎn)動。求： 圓盤在圖示位置的最高點速度的大小 v，該點的向軸加速度的大小 和轉(zhuǎn)動加速度的大小 。 v =_; =_； =_。,34,例：如圖所示，圓盤相對正方形框架 ABCD 以勻角速度 繞 BC 軸轉(zhuǎn)動，正方形框架以勻角速度 繞 AB 軸轉(zhuǎn)動。求該圓盤的絕對角速度 的大小和絕對角加速度 的大小。 =_； =_。,35,例：如圖所示，圓盤相對正方形框架 ABCD 以勻角速度每分鐘繞 BC 軸轉(zhuǎn)動 2 周，正方形框架以勻角速度每分鐘繞 AB 軸轉(zhuǎn)動 2 周。求該圓盤的動能及對 B 點的動量矩。,36,例：勻角速度定軸轉(zhuǎn)動剛體在運動過程中，其_等物理量一定為常量。,A： 相對質(zhì)心的動

11、量矩；,B： 動能；,C： 動量；,D： 對轉(zhuǎn)軸的動量矩。,原因：動量和動量矩是矢量。,37,例：如圖所示，定點運動陀螺做規(guī)則進動(即該陀螺的自轉(zhuǎn)角速度 和進動角速度 的大小不變，且對稱軸 z 與鉛垂軸 的夾角 不變)，則該陀螺在運動過程中，其_保持不變。,A： 相對 O 點的動量矩；,B： 動能；,C： 動量；,D： 相對 軸的動量矩。,38,例：質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上的定軸轉(zhuǎn)動剛體，當其角速度不為零時，該剛體對質(zhì)心的動量矩矢量_。,A： 一定平行于轉(zhuǎn)軸；,B： 一定不平行于轉(zhuǎn)軸；,C： 不一定平行于轉(zhuǎn)軸。,39,例：如圖所示，圓柱固連在水平軸 上，并以勻角速度 繞該軸轉(zhuǎn)動，同時框架以勻角速度 繞鉛垂

12、軸 CO 轉(zhuǎn)動。其中：x,y,z 是圓柱上關(guān)于 點的三個相互垂直的慣量主軸，且圓柱對這三根軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為 . 則該瞬時圓柱對 點的動量矩：,40,例：如圖所示，正方形框架以勻角速度 繞水平軸 AB 轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為 m 半徑為 R 的均質(zhì)圓盤 M 以勻角速度 繞正方形框架上的CD 軸轉(zhuǎn)動。且 ，CD 軸到軸承 A、B 的距離皆為 l . 若正方形框架和軸 AB 的質(zhì)量不計，求框架運動到鉛垂平面內(nèi)時，圓盤產(chǎn)生的陀螺力矩的大小 ；以及作用在軸承上的約束力的大小 =_； =_。,題10-14：,題10-17：,與例10-2類似。,題10-18：求維持圖示運動所需的 x = ?,動量矩：,由動量矩定理

13、：,43,第9、11章要求,能夠利用拉格朗日方程(含第一類)列寫系統(tǒng)的動力學(xué)方程； 能計算廣義力； 能給出拉格朗日方程的首次積分，并能利用初始條件計算積分常數(shù)； 能計算單自由度系統(tǒng)微振動的固有頻率，了解共振概念； 能根據(jù)初條件計算振動的振幅與初相位； 了解兩類拉格朗日方程的應(yīng)用場合。,6.質(zhì)量為 m 的質(zhì)點可在半徑為 R 的圓環(huán)內(nèi)運動，圓環(huán)以常角速度 繞 AB 軸作定軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。 為質(zhì)點的廣義坐標，此時質(zhì)點的動能可表示成 ，其中 (i=0,1,2) 為廣義速度的 i 次齊函數(shù)。求：,例：質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓盤在水平地面上純滾動，長為L質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與圓盤連接，系統(tǒng)在鉛

14、垂平面內(nèi)運動，系統(tǒng)的廣義坐標如圖所示。不計空氣阻力和摩擦。求：,用系統(tǒng)的廣義坐標和廣義速度給出系統(tǒng)的動能 T 和勢能 V (桿在鉛垂位置時為勢能零點)； 若初始時，桿位于鉛垂位置。=0，圓盤中心A點的速度為u，桿的角速度為零。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。,要求：給出解題的基本理論和基本步驟。,例：滑塊與均質(zhì)圓盤用桿 AB 鉸接在鉛垂平面內(nèi)運動，系統(tǒng)的廣義坐標如圖所示，其中 AB 桿長為 l，圓盤半徑為 R，各物件質(zhì)量均為 m . 不計所有摩擦。求：,用系統(tǒng)的廣義坐標和廣義速度給出系統(tǒng)的動能 T 和勢能 V ( 桿在鉛垂位置時為勢能零點)； 若初始時，桿位于鉛垂位置 ，滑塊的

15、速度為u，方向水平向右；圓盤的角速度為 ，轉(zhuǎn)向逆時針。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。,例：AB 桿長 l，圓盤半徑 R，各物件質(zhì)量均為m. 不計所有摩擦。,給出系統(tǒng)的動能 T 和勢能 V (桿鉛垂時勢能取零)；,若初始時，桿位于鉛垂位置。=0，滑塊的速度為u，方向水平向右；圓盤的角速度為。，轉(zhuǎn)向逆時針。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。,有首次積分:,確定積分常數(shù):,初始 , 滑塊速度 u 向右；圓盤角速度 逆時針。,例：系統(tǒng)在鉛垂平面內(nèi)運動。系統(tǒng)的廣義坐標如圖所示，其中AB桿長 l，圓盤半徑 R，各物件質(zhì)量均為 m . 不計所有摩擦。求：,用系統(tǒng)的廣義坐標和廣

16、義速度給出系統(tǒng)的動能 T 和勢能 V (桿在鉛垂位置時為勢能零點)； 若初始時，桿位于鉛垂位置 ，滑塊的速度為u，方向水平向右；兩圓盤的角速度均為 ，轉(zhuǎn)向逆時針。試給出系統(tǒng)拉格朗日方程的首次積分并確定積分常數(shù)。,53,解: (1) 以整體為研究對象；,(2) 受力分析和運動分析,(3) 利用動力學(xué)普遍方程:,例: 系質(zhì)量為 m 長為 L 的均質(zhì)桿 OA 和質(zhì)量為 m 長為 2L 的均質(zhì)桿 AB 用光滑柱鉸連接并懸掛于 O 點，AB 桿的 B 端放在光滑水平面上。若系統(tǒng)初始靜止， OA 桿鉛垂，在鉸鏈 A 上作用一水平推力 P ，求初始時 AB 桿和 OA 桿的角加速度的大小 和 。,54,加慣

17、性力,取虛位移,(3) 利用動力學(xué)普遍方程:,例：在同一鉛垂面內(nèi)運動的兩個相同的均質(zhì)桿OA和AB用鉸鏈O和A連接，如圖所示。各桿長為l，由水平位置無初速釋放，求釋放的初瞬時兩桿的角加速度。,解：(1) 對初始位置時的系統(tǒng)做受力分析，并加上慣性力，設(shè)初始瞬時兩桿的角加速度均為順鐘向。,(2) 取兩桿的轉(zhuǎn)角 和 為廣義坐標。,(3) 取虛位移,(3) 取虛位移,例：初始靜止, 求兩桿的角加速度。,例：拉格朗日方程的循環(huán)積分反映的是質(zhì)點系的_。,A：某個廣義動量守恒；,B：廣義能量守恒。,例：二自由度線性振動系統(tǒng)的固有頻率與系統(tǒng)的_ 有關(guān)。,A：廣義質(zhì)量；,B：廣義剛度；,C：初始位置；,D：初始速

18、度。,例：單自由度線性振動系統(tǒng)的振動周期與_有關(guān)。,A：廣義質(zhì)量；,B：廣義剛度；,C：初始位置；,D：初始速度。,例：圖示系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)k*=_。,例：圖示系統(tǒng)的固有頻率 =_。,例：長為 l 質(zhì)量為 m 的均質(zhì)桿 OA 用光滑柱鉸鏈懸掛在 o 點，下端與剛度系數(shù)為 k 的水平彈簧連接，桿鉛垂時彈簧為原長。求系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅擺動的動力學(xué)方程_。,例：長為 l 質(zhì)量為 m 的均質(zhì)桿 OA 用光滑柱鉸鏈懸掛在 o 點，下端與剛度系數(shù)為 k 的水平彈簧連接，桿鉛垂時彈簧為原長。求系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅擺動的固有頻率 =_。,例：質(zhì)量為 m 半徑為 R 的均質(zhì)圓盤可繞其中心水平軸 O 作定軸轉(zhuǎn)動, 質(zhì)量為 m 的滑塊 A 與圓盤通過鉸鏈用長為 R 的無質(zhì)量桿 AB 連接，不計所有摩擦，系