高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科課件第八章第5講直線平面垂直的判定與性質(zhì)

1、第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì),1直線與平面垂直,(續(xù)表),2.平面與平面垂直,l,3.直線與平面所成的角,(1)如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，那么直線與平面所,成的角等于 0.,(2)如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角等 于,90.,(3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條 斜線與平面所成的角，其范圍是(0，90)斜線與平面所成的 線面角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最 小的角,4二面角,從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖象叫做二面角從 二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的 兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角平面角 是直

2、角的二面角叫做直二面角,1垂直于同一條直線的兩條直線一定(,),D,A平行 C異面,B相交 D以上都有可能,2給定空間中的直線 l 及平面，條件“直線 l 與平面內(nèi),無數(shù)條直線都垂直”是“直線 l 與平面垂直”的(,),C,A充要條件 C必要非充分條件,B充分非必要條件 D既非充分又非必要條件,3如圖 8-5-1，在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，下列結(jié)論中,正確的個數(shù)是(,),D,圖 8-5-1 BD1AC；BD1A1C1；BD1B1C.,A0 個,B1 個,C2 個,D3 個,4(2013年新課標(biāo))已知 m，n 為異面直線，m平面，,n平面.直線l滿足lm，ln，l,，l,，則(,

3、),D,A，且 l B，且 l,圖 D53,C與相交，且交線垂直于 l D與相交，且交線平行于 l 解析：根據(jù)所給的已知條件作圖，如圖D53.由圖可知與 相交，且交線平行于 l.故選 D.,考點(diǎn)1,直線與平面垂直的判定與性質(zhì),例1：(2014 年山東)如圖 8-5-2，在四棱錐 P-ABCD 中，AP 1 2 PC 的中點(diǎn)求證： (1)AP平面 BEF； (2)BE平面 PAC.,平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F(xiàn)分別為線段AD，,圖 8-5-2,證明：(1)如圖 D54， 設(shè) ACBEO，連接 OF，EC. 由于 E 為 AD 的中點(diǎn)， 1 2,ABBC AD，ADBC.,圖 D54

4、,AE,BC.四邊形 ABCE 為平行四邊形,又 AEAB，則ABCE 為菱形 O 為 AC 的中點(diǎn) 又 F 是 PC 的中點(diǎn)， 在PAC 中，PA OF. OF平面 BEF，且PA 平面 BEF，AP平面 BEF.,(2)由題意知，EDBC，EDBC， 四邊形 BCDE 為平行四邊形 因此 BECD.,又 AP平面 PCD，,APCD.因此 APBE. 四邊形 ABCE 為菱形， BEAC.,又 APACA，AP，AC平面 PAC ， BE平面 PAC .,【規(guī)律方法】直線與直線垂直直線與平面垂直平面與 平面垂直直線與平面垂直直線與直線垂直，通過直線與平 面位置關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化來處理有關(guān)垂直的

5、問題出現(xiàn)中點(diǎn)時， 平行要聯(lián)想到三角形中位線，垂直要聯(lián)想到三角形的高；出現(xiàn) 圓周上的點(diǎn)時，聯(lián)想到直徑所對的圓周角為直角,【互動探究】 1如圖 8-5-3，PA O 所在的平面，AB 是O 的直徑， C 是O 上的一點(diǎn)，E，F(xiàn) 分別是 A 在 PB，PC 上的射影，則下,),圖 8-5-3,列結(jié)論中正確命題的個數(shù)是( AFPB； EFPB； AFBC； AE平面 PBC.,A1 個,B2 個,C3 個,D4 個,解析：正確，又AF平面PBC，假設(shè)AE平面PBC，,AFAE，顯然不成立，故錯誤,C,考點(diǎn)2,平面與平面垂直的判定與性質(zhì),例2：(2016年江蘇)如圖 8-5-4，在直三棱柱 ABC-A1

6、B1C1 中，D，E 分別為 AB，BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在側(cè)棱 B1B 上，且 B1D A1F，A1C1A1B1.求證：(導(dǎo)學(xué)號 58940143) 圖 8-5-4 (1)直線 DE平面 A1C1F； (2)平面 B1DE平面 A1C1F.,思路點(diǎn)撥：(1)利用線面平行判定定理證明線面平行，而線 線平行的尋找往往結(jié)合平面幾何知識，如中位線性質(zhì)(2)利用 面面垂直判定定理證明，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面 垂直的證明，往往需要多次利用線面垂直性質(zhì)與判定定理，如 將線線垂直A1C1A1B1 先轉(zhuǎn)化到線面垂直A1C1平面ABB1A1， 從而得到線線垂直：A1C1B1D，再結(jié)合B1DA1F，轉(zhuǎn)化

7、到線 面垂直：B1D平面A1C1F.,證明：(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACA1C1， 在三角形 ABC 中，因?yàn)?D，E 分別為 AB，BC 的中點(diǎn) 所以 DEAC，于是 DEA1C1，,又因?yàn)?DE 平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F， 所以直線 DE平面 A1C1F.,(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1平面 A1B1C1， 因?yàn)?A1C1平面 A1B1C1，所以 AA1A1C1.,又因?yàn)?A1C1 A1B1 ， AA1 平面 ABB1A1 ， A1B1 平面,ABB1A1，A1B1AA1A1， 所以 A1C1平面 ABB1A1.,因?yàn)?B1D平面

8、ABB1A1，所以 A1C1B1D，,又因?yàn)?B1DA1F，A1C1平面 A1C1F，A1F平面 A1C1F，,A1C1A1FA1，,所以 B1D平面 A1C1F.,因?yàn)橹本€ B1D平面 B1DE， 所以平面 B1DE平面 A1C1F.,【規(guī)律方法】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,的常見類型,證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行 證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直 證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證,明線線垂直,【互動探究】 2如圖 8-5-5，在立體圖形 D-ABC 中，若 ABCB，AD,) 圖 8-5-5,CD，E 是 AC

9、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( A平面 ABC平面 ABD B平面 ABD平面 BDC C平面 ABC平面 BDE， 且平面 ADC平面 BDE D平面 ABC平面 ADC， 且平面 ADC平面 BDE,解析：要判斷兩個平面的垂直關(guān)系，就需找一個平面內(nèi)的 一條直線與另一個平面垂直因?yàn)锳BCB，且 E 是AC 的中點(diǎn)， 所以 BEAC，同理有 DEAC，于是 AC平面 BDE.因?yàn)锳C 在平面 ABC 內(nèi)，所以平面 ABC平面 BDE.又由于 AC平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故選 C.,答案：C,考點(diǎn)3,線面所成的角,例3：(2016 年天津)如圖 8-5-6，四邊形 ABCD 是

10、平行四邊 形，平面 AED平面 ABCD，EFAB，AB2，BCEF1， AE ，DE3，BAD60，G 為 BC 的中點(diǎn) (1)求證 FG平面 BED； (2)求證平面 BED平面 AED； (3)求直線 EF 與平面 BED 所成 角的正弦值 圖 8-5-6,所以O(shè)GDC，且OGDC1.,解：(1)證明：取 BD 的中點(diǎn)為 O，連接 OE，OG. 在BCD 中，因?yàn)?G 是 BC 的中點(diǎn)，,1 2,又因?yàn)?EFAB，ABDC， 所以 EFOG，且 EFOG， 即四邊形 OGFE 是平行四邊形 所以 FGOE，,又FG 平面 BED，OE平面 BED， 所以 FG平面 BED.,(2)證明：

11、在ABD 中，AD1，AB2，BAD60，,由余弦定理可得 BD .,進(jìn)而可得ADB90，即 BDAD.,又因?yàn)槠矫?AED平面 ABCD，BD平面 ABCD， 平面 AED平面 ABCDAD， 所以 BD平面 AED.,又因?yàn)?BD平面 BED， 所以平面 BED平面 AED.,【規(guī)律方法】(1)證明線面平行，一般利用線面平行判定定 理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行尋找與論證，往 往結(jié)合平面幾何知識，如本題構(gòu)造一個平行四邊形：取BD 的 中點(diǎn)為O，可證四邊形OGFE 是平行四邊形，從而得出FG,OE.,(2)面面垂直的證明，一般轉(zhuǎn)化為證線面垂直，而線面垂直 的證明，往往需多次利用線面

12、垂直判定與性質(zhì)定理，而線線垂 直的證明有時需要利用平面幾何條件，如本題可由余弦定理解 出ADB90，即BDAD.,(3)求線面角，關(guān)鍵作出射影，即面的垂線，可利用面面垂 直的性質(zhì)定理得到線面垂直，即面的垂線：過點(diǎn)A 作AHDE 于點(diǎn)H，則AH平面BED，從而直線AB 與平面BED 所成角 即為ABH.再結(jié)合三角形可求得正弦值,【互動探究】 3(2013 年大綱)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1,)(導(dǎo)學(xué)號,2AB，則 CD 與平面 BDC1 所成角的正弦值等于( 58940144),解析：如圖D55，連接AC交 BD于點(diǎn) O，連接 C1O，過點(diǎn),圖 D55,C 作 CHC1

13、O 于點(diǎn) H. BDAC， BDAA1， ACAA1A,BD平面 ACC1A1， CH平面 ACC1A1 CHBD，, CHC1O，,CH平面 C1BD.,BDC1OO HDC 為 CD 與平面 BDC1 所成的角,答案：A,難點(diǎn)突破,立體幾何中的探究性問題二,例題：已知四棱錐 P-ABCD 的直觀圖及三視圖如圖 8-5-7. (1)求四棱錐 P-ABCD 的體積；,(2)若點(diǎn) E 是側(cè)棱 PC 的中點(diǎn)，求證 PA 平面 BDE；,(3)若點(diǎn) E 是側(cè)棱 PC 上的動點(diǎn)，是否無論點(diǎn) E 在什么位置，,都有 BDAE？并證明你的結(jié)論,圖8-5-7,思維點(diǎn)撥：(1)由直觀圖：三視圖確定棱錐的底面和

14、高，再,求體積,(2)欲證PA 平面BDE，需找一個經(jīng)過PA與平面BDE 相 交的平面，結(jié)合E 為PC 的中點(diǎn)，AC與BD 的交點(diǎn)為AC 的中 點(diǎn)，故取平面PAC .,(3)“無論點(diǎn)E 在PC 上的什么位置，都有BDAE”的含,義是BD平面PAC .,(1)解：由四棱錐 P-ABCD 的直觀圖和三視圖知，該四棱錐 的底面是邊長為 1 的正方形，側(cè)棱PC底面ABCD，且 PC2， (2)證明：如圖 8-5-8，連接 AC，交BD于點(diǎn) F，則 F 為AC,的中點(diǎn),圖 8-5-8,又E 為 PC 的中點(diǎn)， PA EF. 又PA 平面 BDE，EF平面 BDE， PA 平面 BDE.,(3)解：無論點(diǎn)

15、 E 在什么位置，都有 BDAE.證明如下： 四邊形 ABCD 是正方形，BDAC. PC底面 ABCD，且 BD平面 ABCD， BDPC.,又 ACPCC，BD平面 PAC .,無論點(diǎn) E 在 PC 上什么位置，都有 AE平面 PAC ， 無論點(diǎn) E 在 PC 上什么位置，都有 BDAE.,1證明線面垂直的方法,用線面垂直的定義：若一直線垂直于平面內(nèi)任一直線，,這條直線垂直于該平面；,用線面垂直的判定定理：若一直線垂直于平面內(nèi)兩條相,交直線，這條直線垂直于該平面；,用線面垂直的性質(zhì)定理：若兩平行直線之一垂直于平面，,則另一條直線也垂直于該平面；,用面面垂直的性質(zhì)定理：若兩個平面垂直，在一個平面,內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面；,如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么也垂,直于另一個平面；,如果兩個相交平面都和第三個平面垂直，那么相交平面,的交線也垂直于第三個平面,2判定面面垂直的方法,定義法首先找二面角的平面角，然后證明其為直角； 利用面面垂直的判定定理：一個平面經(jīng)過另一個平面的,一條垂線,3垂直于同一個平面的兩條直線平行，是判定兩條直線平 行的又一重要方