第七章 機器人運動學(xué)

1、第七章 機器人運動學(xué),機器人運動學(xué)主要是把機器人相對于固定參考系的運動作為時間的函數(shù)進行分析研究，而不考慮引起這些運動的力和力矩 將機器人的空間位移解析地表示為時間的函數(shù)，特別是研究機器人關(guān)節(jié)變量空間和機器人末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)之間的關(guān)系 本章將討論機器人運動學(xué)幾個具有實際意義的基本問題。,機器人技術(shù)及空間應(yīng)用,7.1 機器人運動學(xué)所討論的問題,7.1.1 研究的對象 機器人從機構(gòu)形式上分為兩種，一種是關(guān)節(jié)式串聯(lián)機器人，另外一種是并聯(lián)機器人。,PUMA560,Hexapod,Fanuc manipulator,這兩種機器人有所不同： 串聯(lián)機器人：工作空間大，靈活，剛度差，負載小，誤差累積并放大

2、。 并聯(lián)機器人：剛性好，負載大，誤差不積累，工作空間小，姿態(tài)范圍不大。 本章講解以串聯(lián)機器人為主。,7.1.2 運動學(xué)研究的問題,Where is my hand?,Direct Kinematics HERE!,How do I put my hand here?,Inverse Kinematics: Choose these angles!,運動學(xué)正問題,運動學(xué)逆問題,研究的兩類問題: 運動學(xué)正問題-已知桿件幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)角矢量，求操作機末端執(zhí)行器相對于固定參考作標(biāo)的位置和姿態(tài)（齊次變換問題）。 運動學(xué)逆問題-已知操作機桿件的幾何參數(shù)，給定操作機末端執(zhí)行器相對于參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài)

3、（位置），操作機能否使其末端執(zhí)行器達到這個預(yù)期的位姿？如能達到，那么操作機有幾種不同形態(tài)可以滿足同樣的條件？,7.2 機器人桿件，關(guān)節(jié)和它們的參數(shù),7.2.1 桿件與關(guān)節(jié) 操作機由一串用轉(zhuǎn)動或平移（棱柱形）關(guān)節(jié)連接的剛體（桿件）組成 每一對關(guān)節(jié)桿件構(gòu)成一個自由度，因此N個自由度的操作機就有N對關(guān)節(jié)桿件。 0號桿件（一般不把它當(dāng)作機器人的一部分）固聯(lián)在機座上，通常在這里建立一個固定參考坐標(biāo)系，最后一個桿件與工具相連 關(guān)節(jié)和桿件均由底座向外順序排列，每個桿件最多和另外兩個桿件相聯(lián)，不構(gòu)成閉環(huán)。,關(guān)節(jié),桿件,末端操作手,機座,兩自由度關(guān)節(jié),關(guān)節(jié)： 一般說來，兩個桿件間是用低副相聯(lián)的 只可能有6種低副

4、關(guān)節(jié)：旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)動）、棱柱（移動）、圓柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋轉(zhuǎn)和棱柱形關(guān)節(jié)是串聯(lián)機器人操作機常見的，各種低副形狀如下圖所示：,旋轉(zhuǎn),棱柱形,柱形,球形,螺旋形,平面,7.2.2 桿件參數(shù)的設(shè)定,條件 關(guān)節(jié)串聯(lián) 每個桿件最多與2個桿件相連，如Ai與Ai-1和 Ai+1相連。第 i 關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)軸 Ai 位于2個桿件相連接處，如圖所示， i -1關(guān)節(jié)和 i +1關(guān)節(jié)也各有一個關(guān)節(jié)軸 Ai-1 和 Ai+1。,桿件參數(shù)的定義 、 、 和, li 和 li-1 在 Ai 軸 線上的交點之間 的距離。, li 和 li-1 之間的夾 角，按右手定則 由li-1 轉(zhuǎn)向 li。,由運動學(xué)的觀點來看，

5、桿件保持其兩端關(guān)節(jié)間的形態(tài)不變，這種形態(tài)由兩個參數(shù)決定：桿件長度 li 和桿件扭轉(zhuǎn)角 。桿件的相對位置關(guān)系，由另外兩個參數(shù)決定：桿件的距離 di 和桿件的回轉(zhuǎn)角 。,li 關(guān)節(jié) Ai 軸和 Ai+1 軸線公法線的長度。,關(guān)節(jié)i 軸線與i+1軸線在垂直于li 平面內(nèi)的夾角。,上述4個參數(shù)，就確定了桿件的結(jié)構(gòu)形態(tài)和相鄰桿件相對位置關(guān)系。在轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)中，li, i, di是固定值，i是變量。在移動關(guān)節(jié)中，li, i , i是固定值， d i 是變量。,7.3 機器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立,對于每個桿件都可以在關(guān)節(jié)軸處建立一個正規(guī)的笛卡兒坐標(biāo)系（xi, yi, zi），（i=1, 2, , n），n是自由度數(shù)

6、，再加上基座坐標(biāo)系，一共有（n+1）個坐標(biāo)系。 基座坐標(biāo)系 O0定義為0號坐標(biāo)系（x0, y0, z0）,它也是機器人的慣性坐標(biāo)系，0號坐標(biāo)系在基座上的位置和方向可任選，但z0軸線必須與關(guān)節(jié)1的軸線重合，位置和方向可任選； 最后一個坐標(biāo)系（n關(guān)節(jié)），可以設(shè)在手的任意部位，但必須保證 zn與zn-1 垂直。,7.3.1 D-H關(guān)節(jié)坐標(biāo)系建立原則,機器人關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立主要是為了描述機器人各桿件和終端之間的相對運動，對建立運動方程和動力學(xué)研究是基礎(chǔ)性的工作。 為了描述機器人各桿件和終端之間轉(zhuǎn)動或移動關(guān)系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一種為運動鏈中每個桿件建立附體坐標(biāo)系的矩

7、陣方法（D-H方法） ，建立原則如下：,右手坐標(biāo)系 原點Oi：設(shè)在li與Ai+1軸線的交點上 Zi軸： 與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意 Xi軸： 與公法線Li重合，指向沿Li由Ai軸線指向Ai+1軸線 Yi軸： 按右手定則,7.3.2 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的建立方法,原點Oi：設(shè)在li與Ai+1軸線的交點上 zi軸：與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意 xi軸：與公法線li重合，指向沿li由Ai軸線指向Ai+1軸線 yi軸：按右手定則,Ai,Ai+1,Ai-1,桿件長度li 沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點到 0i 的距離 桿件扭轉(zhuǎn)角i 繞 xi 軸，由 zi-1 轉(zhuǎn)向zi 桿件偏移量 di 沿

8、zi-1 軸，zi-1 軸和 xi 交點至0i 1 坐標(biāo)系原點的距離 桿件回轉(zhuǎn)角i 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉(zhuǎn)向 xi,兩種特殊情況,兩軸相交，怎么建立坐標(biāo)系？ Oi Ai與Ai+1關(guān)節(jié)軸線的 交點； zi Ai+1軸線； xi zi和zi-1構(gòu)成的平面的 法線 ； yi 右手定則；,Ai,Ai+1,zi-1,zi,xi,yi,Oi,兩軸平行，怎么建立坐標(biāo)系(Ai與Ai+1平行)？ 先建立 Oi-1 然后建立Oi+1 最后建立 Oi,注意： 由于Ai和Ai+1平行，所以公法線 任意點在A點位置； 按照先前的定義，di為Oi-1點和A點之間的距離，di+1為B點和C點間的距離，這樣設(shè)定可以

9、的，但我們可以變更一下，將0i點放在C點，定義Oi在li+1和Ai+1軸的交點上，這樣使di+1=0使計算簡便，此時di=,7.4 相鄰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系間的齊次變換過程 機器人運動學(xué)正解,將xi-1軸繞 zi-1 軸轉(zhuǎn) i 角度，將其與xi軸平行； 沿 zi-1軸平移距離 di ，使 xi-1 軸與 xi 軸重合； 沿 xi 軸平移距離 li，使兩坐標(biāo)系原點及x軸重合； 繞 xi 軸轉(zhuǎn) i 角度，兩坐標(biāo)系完全重合,機器人的運動學(xué)正解方程,D-H變換矩陣,=,=,例題,試求立方體中心在機座坐標(biāo)系0中的位置 該手爪從上方把物體抓起，同時手爪的開合方向與物體的Y軸同向，那么，求手爪相對于0的姿態(tài)是什么？,

10、在機器人工作臺上加裝一電視攝像機，攝像機可見到固聯(lián)著6DOF關(guān)節(jié)機器人的機座坐標(biāo)系原點，它也可以見到被操作物體（立方體）的中心，如果在物體中心建一局部坐標(biāo)系，則攝像機所見到的這個物體可由齊次變換矩陣T1來表示，如果攝像機所見到的機座坐標(biāo)系為矩陣T2表示。,解1：,因此物體位于機座坐標(biāo)系的（11，10，1）T處，它的X，Y，Z軸分別與機座坐標(biāo)系的 -Y，X，Z軸平行。,解2：,X機,例：Stanford機器人運動學(xué)方程,A1,A2,A3,A4,A5,A6,z1,x1,y1,O1,z2,x2,y2,O2,z3,y3,x3,O3,y4,z4,x4,O4,z5,y5,x5,O5,z6,x6,y6,O6

11、,z0,y0,x0,O0,為右手坐標(biāo)系 原點Oi： Ai與Ai+1關(guān)節(jié)軸線的交點 zi軸：與Ai+1關(guān)節(jié)軸重合，指向任意 xi軸： Zi和Zi-1構(gòu)成的面的法線 yi軸：按右手定則,li 沿 xi 軸， zi-1 軸與 xi 軸交點到Oi 的距離 i 繞 xi 軸，由 zi-1 轉(zhuǎn)向zi di 沿 zi-1 軸，zi-1 軸和 xi 交點至Oi 1 坐標(biāo) 系原點的距離 i 繞 zi-1 軸，由 xi-1轉(zhuǎn)向 xi,解：,7.5 工作空間,工作空間: 末端操作手可以到達的空間位置集合。 如何獲得工作空間: 利用正運動學(xué)模型,改變關(guān)節(jié)變量值。 靈活空間: 末端操作手可以以任何姿態(tài)到達的空間位置集合

12、。 可達空間: 末端操作手可以至少以一個姿態(tài)到達的空間位置 集合。,空洞：在 zi軸周圍，參考點Pn沿z的全長均不能達到的空間。 空腔：參考點不能達到的被完全封閉在工作空間之內(nèi)的空間。,空洞,空腔,如何確定可達空間?首先，令 3變化,示例: 平面 3連桿機器人,l2,l3,l1,然后 2變化,7.6 機器人末端操作器位姿的其它描述方法,用矩陣表示剛性體的轉(zhuǎn)動簡化了許多運算，但它需要9個元素來完全描述旋轉(zhuǎn)剛體的姿態(tài)，因此矩陣并不直接得出一組完備的廣義坐標(biāo)。 一組廣義坐標(biāo)應(yīng)能描述轉(zhuǎn)動剛體相對于參考坐標(biāo)的方向，被稱為歐拉角的三個角度，、就是這種廣義坐標(biāo)。 有幾種不同的歐拉角表示方法，它們均可描述剛體

13、相對于固定參考系的姿態(tài)。三種最常見的歐拉角類型列在表中,3種最常見的歐拉角類型,類型1：表示法通常用于陀螺運動,類型2：所得的轉(zhuǎn)動矩陣為右乘,類型3：一般稱此轉(zhuǎn)動的歐拉角為橫滾、俯仰和偏航角，這種形 式主要用于航空工程中分析飛行器的運動，其旋轉(zhuǎn)矩陣為（這種方法也叫做橫滾、俯仰和偏航角表示方法）,7.7 運動學(xué)逆問題,正運動學(xué)問題: 已知關(guān)節(jié)角度或位移，計算末端操作手的對應(yīng)位姿. 逆運動學(xué)問題: 已知末端操作手的位姿，求解對應(yīng)的關(guān)節(jié)變量. 為什么逆運動學(xué)問題更困難? 可能存在多解或無解 通常需多次求解非線性超越方程,解的存在性,目標(biāo)點應(yīng)位于工作空間內(nèi) 工作空間的計算通常較困難，通過機器人結(jié)構(gòu)設(shè)計

14、時的考慮可以簡化 可能存在多解，如何選擇最合適的解？,存在雙解!,求解方法,如果各關(guān)節(jié)可用某算法獲得，一個機械手是有解的. 算法應(yīng)包含所有可能解.,封閉形式解 數(shù)值解,方法,我們對封閉形式的解法更感興趣 代數(shù)方法 幾何方法,可解性的重要結(jié)論是： 所有具有轉(zhuǎn)動和移動關(guān)節(jié)的系統(tǒng)，在一個單一串聯(lián)中總共有6個（或小于6個）自由度時，是可解的，其通解一般是數(shù)值解，它不是解析表達式，而是利用數(shù)值迭代原理求解，它的計算量要比解析解大。 但在某些特殊情況下，如若干個關(guān)節(jié)軸線相交和或多個關(guān)節(jié)軸線等于 0 或 90的情況下，具有6個自由度的機器人可得到解析解。 為使機器人有解析解，一般設(shè)計時，使工業(yè)機器人足夠簡單

15、，盡量滿足這些特殊條件。,對于給定的機器人，能否求得它的運動學(xué)逆解的解析式（也叫封閉解）。,運動學(xué)逆問題的可解性,運動學(xué)逆問題的多解性,機器人運動問題為解三角方程，解反三角函數(shù)方程時會產(chǎn)生多解.顯然對于真實的機器人，只有一組解與實際情況相對應(yīng)，因此必須作出判斷，以選擇合適的解。,通常采用如下方法剔除多余解：,若該關(guān)節(jié)運動空間為 ，則應(yīng)選 。,1根據(jù)關(guān)節(jié)運動空間合適的解。例如求得機器人某關(guān)節(jié)角的兩個解為,2選擇一個與前一采樣時間最接近的解，例如：,若該關(guān)節(jié)運動空間為 ，且 ，則應(yīng)選,3根據(jù)避障要求得選擇合適的解,4逐級剔除多余解,對于具有n個關(guān)節(jié)的機器人，其全部解將構(gòu)成樹形結(jié)構(gòu)。為簡化起見，應(yīng)逐

16、級剔除多余解。這樣可以避免在樹形解中選擇合適的解。,逆運動學(xué)的定義 逆運動學(xué)的存在性 逆運動學(xué)的可解性 逆運動學(xué)的多解性（剔除辦法） 逆運動學(xué)解法（數(shù)值解、解析解）,運動學(xué)逆問題,How do I put my hand here?,Inverse Kinematics: Choose these angles!,運動學(xué)逆問題,運動學(xué)逆問題解法,用未知的逆變換逐次左乘，由乘得的矩陣方程的元素決定未知數(shù)，即用逆變換把一個未知數(shù)由矩陣方程的右邊移到左邊 考察方程式左、右端兩端對應(yīng)元素相等，以產(chǎn)生一個有效方程式。 然后求這個三角函數(shù)方程式，以求解未知數(shù) 把下一個未知數(shù)移到左邊 重復(fù)上述過程，直到解出

17、所有解 無法有數(shù)種可能解中直接得出合適的解，需要通過人為的選擇,Paul 等人提出的方法(1981年，解析解):,Paul 等人提出的方法,因此，通常用反正切函數(shù) 來確定 值，它可把 校正到適當(dāng)?shù)南笙蓿涠x為：,不能用反余弦 來求解關(guān)節(jié)角，因為這樣求解不僅關(guān)節(jié)角的符號不確定（ ），而且角的精度也難以保證（ ）。,例：歐拉角第一種類型，求逆,類型1：表示法通常用于陀螺運動,解：,由式中矩陣（1，3）元素相等，有,斯坦福機器人運動學(xué)逆問題解,式中：,由兩端矩陣對應(yīng)元素相等可得：,作三角變換：,式中：,得到：,即有：,（ ）,由1, 4和2, 4元素對應(yīng)相等，得：,式中第四列：,式中第三列：,高腕,低腕,7.8 雅克比矩陣,雅可比矩陣定義,上式,雅可比矩陣性質(zhì),1、建立起機器人末端笛卡爾速度與關(guān)節(jié)速度的映射關(guān)系； 2、雅可比矩陣是時變的線性變換； 3、矩陣的行數(shù)對應(yīng)機器人在笛卡爾空間的操作自由度數(shù)， 列數(shù)對應(yīng)機器人的關(guān)節(jié)數(shù)； 4、當(dāng)雅可比矩陣的行列式值 時，機器人 處于奇異狀態(tài)，此時機器人將失去一個或幾個自由度。,雅可比矩陣構(gòu)造方法,zi-1軸上的單位矢量。,操作器