子空間的直和ppt課件

1、2 線性空間的定義 與簡單性質(zhì),3 維數(shù)基與坐標(biāo),4 基變換與坐標(biāo)變換,1 集合映射,5 線性子空間,7 子空間的直和,8 線性空間的同構(gòu),6 子空間的交與和,第六章 線性空間,1,6.7 子空間的直和,一、直和的定義,二、直和的判定,三、多個子空間的直和,2,引入,有兩種情形：,此時,即，必含非零向量.,3,情形2）是子空間的和的一種特殊情況,此時,不含非零向量，即,4,一、直和的定義,設(shè) 為線性空間V的兩個子空間，若和,是唯一的，和就稱為直和（direct sum），,注意,若有,則,1.分解式 唯一的，意即,中每個向量的分解式,記作,5,2.分解式唯一的不是在任意兩個子空間的和中都成立.

2、,例如，R3的子空間,這里，,在和中，向量的分解式不唯一.,所以和 不是直和，,而在和中，向量 的分解式是唯一的，,是直和.,6,二、直和的判定,分解式唯一，,1、(定理8)和是直和的充要條件是零向量,，則必有,證：必要性.,是直和,而0有分解式,即若,7,充分性.,故 是直和.,有,其中,于是,由零向量分解成唯一，,即,的分解式唯一.,8,2、和是直和,則有,證：“”,若,9,“”,由于是直和，零向量分解式唯一，,故,任取,10,證：由維數(shù)公式,3、和是直和,有，,11,總之，設(shè)為線性空間V的子空間，,則下面四個條件等價:,（2）零向量分解式唯一,（1）是直和,（3）,（4）,12,4、(定

3、理10) 設(shè)U是線性空間V的一個子空間，,為U的一個余子空間（complementary subspace）.,則必存在一個子空間W，使 稱這樣的W,證：取U的一組基,把它擴(kuò)充為V的一組基,則,13,余子空間 一般不是唯一的(除非U是平凡子空間).,注意,如，在R3中，設(shè),14,5、設(shè) 分別是線性子空間,的一組基，則,證：,由題設(shè)，,15,若線性無關(guān)，,則它是 的一組基.,從而有,“”,是直和.,16,若 直和，則,從而的秩為rs .,所以線性無關(guān).,“”,17,1、定義,中每個向量的分解式,都是線性空間V的子空間，若和,是唯一的，則和就稱為直和，記作,18,四個條件等價:,（2）零向量分解式唯一，即,（3）,（4）,2、判定,設(shè)都是線性空間V的子空間，則下面,（1）是直和,19,例1 每一個n維線性空間都可以表示成n個一維,子空間的直和.,證：設(shè)是n維線性空間V的一組基,則,而,20,例2,已知，設(shè),（2）當(dāng) 時，,證明：,（1）,的子空間.,是,21,證：（1）,是 的子空間.,22,從而有