隨機(jī)變量(向量)及其概率分布.ppt

1、勤學(xué)好問(wèn)必有所獲,第二章 隨機(jī)變量（向量）及其概率分布,隨機(jī)變量與隨機(jī)變量分布函數(shù),隨機(jī)變量的概率函數(shù)與隨機(jī)變量的概率密度函數(shù),幾個(gè)常用的概率分布,隨機(jī)向量與隨機(jī)向量的分布函數(shù),隨機(jī)向量的概率函數(shù)與隨機(jī)向量的概率密度函數(shù),邊際分布與條件分布,隨機(jī)變量的獨(dú)立性,隨機(jī)變量函數(shù)的分布,概率論,隨機(jī)變量與隨機(jī)變量分布函數(shù) 一、隨機(jī)變量 為了更有效地研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，需要引入微積分作為工具，這就需要用變量的形式來(lái)表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象。先考察下列兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的例子 例2.1 某人拋擲一枚色子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式： 出現(xiàn)1點(diǎn)；出現(xiàn)2點(diǎn)；出現(xiàn)3點(diǎn)； 出現(xiàn)4點(diǎn)；出現(xiàn)5點(diǎn)；出現(xiàn)6點(diǎn)。 如果令 表示

2、出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則 的可能取值為 于是，試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為： “出現(xiàn)1點(diǎn)” ； “出現(xiàn)2點(diǎn)” “出現(xiàn)3點(diǎn)” ； “出現(xiàn)4點(diǎn)” “出現(xiàn)5點(diǎn)” ； “出現(xiàn)6點(diǎn)” 例2.2 某人擲硬幣試驗(yàn)，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。 試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：,Random Variable,國(guó)徽面在上面；有字面在上面 如果 表示國(guó)徽面在上面， 表示有字面在上面。 則試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為： “國(guó)徽面在上面” ；“有字面在上面” 特點(diǎn)：試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化了，試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系。 1. Def 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) 的樣本空間為 ，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn) ，均有唯一的實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，稱 為樣本空間 上的隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量的三個(gè)

3、特征: 1）它是一個(gè)變量； 2）它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而改變； 3）隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個(gè)隨機(jī)事件。 設(shè) 為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，則集合 是隨機(jī)事件，隨著 變化，事件 也會(huì)變化。 這說(shuō)明該事件是實(shí)變量 的“函數(shù)”。,2. 隨機(jī)變量舉例與分類 隨機(jī)變量實(shí)例： 例2.3 某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 。 的可能取值為 。 例2.4 某個(gè)燈泡的使用壽命 。 的可能取值為 。 例2.5 一部電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù) 。 的可能取值為 。 例2.6 在 區(qū)間上隨機(jī)移動(dòng)的點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo) 。 的可能取值為 。,有限或無(wú)窮可列取值,無(wú)窮且不可列取值,二、分布函數(shù) 1. 隨機(jī)變量的概

4、率分布 Def 能反映隨機(jī)變量取值規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為隨機(jī)變量的概率分布律，簡(jiǎn)稱概率分布。 概率分布的常用表達(dá)方式有： 分布函數(shù)（“通用型”）； 概率函數(shù)或概率密度函數(shù)（“針對(duì)型”）。 2. 分布函數(shù)概念 Def 設(shè) 為隨機(jī)變量， 為任意實(shí)數(shù)，則 稱為隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，其定義域?yàn)?。 顯然，分布函數(shù)是一個(gè)特殊的隨機(jī)事件的概率。 3. 分布函數(shù)的性質(zhì) （1）對(duì)于任意 有 （非負(fù)有界性）； （2） （規(guī)范性）； （3）對(duì)于任意 有 （單調(diào)性）； （4） 在每一點(diǎn)至少是右連續(xù)的（連續(xù)性）。,是一個(gè)實(shí)函數(shù)！,Distribution Function,若已知隨機(jī)變量 的分布函數(shù) ，則對(duì)于任意 有

5、例2.7 已知隨機(jī)變量 的所有可能取值為 ，取各值的概率分別為 ，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù)并作其圖像。 解：由題設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為 由分布函數(shù)的定義有 當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， ； 當(dāng) 時(shí)， 。 分布函數(shù)圖像如圖2.1所示,圖2.1,概率函數(shù)與概率密度函數(shù) 一、隨機(jī)變量的概率函數(shù) 1. 離散型隨機(jī)變量 Def 如果隨機(jī)變量所有可能取值為有限或無(wú)窮可列，則該隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的所有可能取值是 ，而取值 的概率為 ，即有 則稱該式為隨機(jī)變量 的概率函數(shù)。其也可以用下列表達(dá)： 并稱其為隨機(jī)變量 的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列。 注意：離散型隨機(jī)變量的概率分布除用

6、分布函數(shù)可以表示以外，還可以利用概率函數(shù)或分布列表示，概率函數(shù)與分布列是等效的，概率函數(shù)比分布列表示更直觀、簡(jiǎn)便。,2. 概率函數(shù)或分布列的性質(zhì) （1） ；（2） （歸一性）。 3. 概率函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系 已知概率函數(shù)求分布函數(shù) 已知分布函數(shù)求概率函數(shù) 例2.8 設(shè) 的分布列為 試求 。 解：由隨機(jī)變量 的分布列有,例2.9 設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，用 表示抽取出2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求隨機(jī)變量的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。 解： 的可能取值為 。 于是，由古典概率有 所以， 的分布列為,例2.10 一名士兵向一目標(biāo)連續(xù)射擊，直至其擊中目標(biāo)為止。假定該士

7、兵命中率為 ，而且任意兩次射擊之間互不影響，用 表示該名士兵射擊次數(shù)。求 的概率分布。 解： 的可能取值為 ； 設(shè) 表示該名士兵第 次擊中目標(biāo)， 。 于是有 相互獨(dú)立； 。 所以 即 的概率函數(shù)為 注意：這種類型的隨機(jī)變量取值愈大，概率值愈小，是典型的不等概分布。當(dāng) 時(shí)， 取1的概率最大。,例2.11 設(shè)隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為 試求（1）常數(shù) 的值；（2）概率最大的 取值。 解: (1) 由概率函數(shù)的性質(zhì)有 又有函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開知 ，從而有 解得 (2) 由(1)知隨機(jī)變量的分布列為 顯然，隨機(jī)變量 取1和2的概率最大。,二、隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) 1. 連續(xù)型隨機(jī)變量 Def 設(shè) 為隨機(jī)變量

8、，其分布函數(shù)記為 ，如果存在非負(fù)函數(shù) ，使得 則稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量，非負(fù)函數(shù) 為概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)。 2. 概率密度的性質(zhì) （1）對(duì)于任意 有 ； （2） ； （3）對(duì)于任意 有 ； （4）在函數(shù) 連續(xù)點(diǎn)有 。,3. 連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量區(qū)別 定理：設(shè) 為連續(xù)型隨機(jī)變量， 為任意實(shí)數(shù)，則有 證明：設(shè) 的分布函數(shù)為 ，易知 處處連續(xù)。 于是，對(duì)于任意的 ，一定成立下列結(jié)論： 即有 不等式關(guān)于 求極限，便得 所以有 該定理表明連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布不能用逐點(diǎn)取值的概率表達(dá)，而只能用概率密度來(lái)表達(dá)。,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量總成立下式： 例2.12 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為

9、 試求 。 解: 由概率密度的性質(zhì)知 解得 ，所以,例2.13 設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 試求(1)常數(shù) 的值；(2) ；(3) 概率密度。 解: (1)由于連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)處處連續(xù)，所以有 從而有 ，于是分布函數(shù)為 (2) (3),幾個(gè)常用的概率分布 引入隨機(jī)變量的概念以后，客觀世界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象，如果拋開其所涉及的具體內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上可以用同一個(gè)概率模型（概率分布）來(lái)表達(dá)。 一、幾個(gè)常用的離散型概率分布 1. 二點(diǎn)分布（0-1分布） Def 若隨機(jī)變量 的分布表為 其中 ，則稱 服從參數(shù)為 的二點(diǎn)分布。 二點(diǎn)分布所能刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象： 凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，都可以二點(diǎn)分布作為其

10、概率模型。例如：擲硬幣觀察正反面，產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計(jì)，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超負(fù)荷等等。,2. 二項(xiàng)分布 Def 若隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為 則稱 服從參數(shù)為 的二項(xiàng)分布，記為 。 二項(xiàng)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象： 凡是 重貝努里概型中隨機(jī)事件 發(fā)生次數(shù)的概率分布規(guī)律都可用二項(xiàng)分布來(lái)刻畫。 當(dāng) 時(shí) ，二項(xiàng)分布就是二點(diǎn)分布。 例2.14 設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門課程要考，已知該學(xué)生每門課程及格的概率為0.8。試求該學(xué)生恰好有3門課及格的概率和至少有3門課及格的概率。 解: 設(shè) 表示該學(xué)生恰好有3門課及格； 表示該學(xué)生至少有3門課及格。 顯然，這是一個(gè)5重貝努里概型，從而有,例2.15

11、某保險(xiǎn)公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因?yàn)楸槐I而提出來(lái)的。現(xiàn)已知該公司某個(gè)月共收到10個(gè)索賠要求，試求其中包含4個(gè)以上被盜索賠要求的概率。 解: 設(shè) 表示10個(gè)索賠要求中被盜索賠要求的個(gè)數(shù)，則 于是，所求概率為 即10各索賠要求中有4個(gè)以上被盜索賠要求的概率為0.00059 通過(guò)該例題的求解，可以看出： 二項(xiàng)分布當(dāng)參數(shù) 很大，而 很小時(shí)，有關(guān)概率的計(jì)算是相當(dāng)麻煩的。甚至有時(shí)借助于計(jì)算工具也難實(shí)現(xiàn)。為了解決這種情況下的二項(xiàng)分布有關(guān)概率計(jì)算問(wèn)題，1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家S. D. Poisson 提出了以下定理。,Poisson定理 設(shè)隨機(jī)變量 ， 若 時(shí)，有 ，則有 證明：令 ，于是有 對(duì)于固定

12、的 有 所以,有百分之一的希望 就要做百分之百的努力,實(shí)際應(yīng)用中：當(dāng) 較大, 較小， 適中時(shí)，即可用泊松定理的結(jié)果對(duì)二項(xiàng)概率進(jìn)行近似計(jì)算。 例2.16 某人騎摩托車上街，出事故的概率為0.02，獨(dú)立重復(fù)上街400次，求至少出兩次事故的概率。 解: 400次上街400重Bernoulli概型； 記 為出事故的次數(shù)，則 。 由于 ，所以 由Poisson定理有 若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，則該人成功的概率為 。這表明隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，小概率事件是會(huì)發(fā)生的！,3.泊松（Poisson）分布 Def 若隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為 則稱 服從參數(shù)為 的泊松分布，記為 。 泊松分布所能刻

13、畫隨機(jī)現(xiàn)象： 服務(wù)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)； 交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)； 礦井在某段時(shí)間發(fā)生事故的次數(shù)； 顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目； 單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目； 單位時(shí)間內(nèi)市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)； 一本書中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)。 特別注意: 體積相對(duì)較小的物質(zhì)，在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù) 可以由觀測(cè)值的平均值求出。,二、幾個(gè)常用的連續(xù)型概率分布 1. 均勻分布（Uniform Distribution） Def 若隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 則稱隨機(jī)變量 服從區(qū)間 上的均勻分布，記為 均勻分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象： “等可能”地取區(qū)間 中的值。這

14、里的“等可能”理解為： 落在區(qū)間 中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的；或者說(shuō)它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。這正是幾何概型的情形。 例2.17 設(shè) 在 上服從均勻分布，求方程 有實(shí)根的概率。 解: 方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于 ，即 ； 所求概率為 。,2. 指數(shù)分布（Exponential Distribution） Def 若隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記為 指數(shù)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象： 隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間； 電話的通話時(shí)間； 無(wú)線電元件的壽命；動(dòng)植物的壽命。 例2.18 設(shè) 服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，試寫出它的密度函數(shù)并求

15、。 解: 的概率密度為,3. 正態(tài)分布（Normal Distribution） Def 若隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 其中參數(shù) 滿足 ，則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記為 。 特別當(dāng)參數(shù) 時(shí)，也即 ，稱其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度記為 正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像特點(diǎn)： 圖像呈單峰狀； 圖像關(guān)于直線 對(duì)稱； 圖像在點(diǎn) 處有拐點(diǎn)； 圖像以 軸為水平漸近線。,Gauss,參數(shù) 對(duì)密度曲線的影響,相同 不同 密度曲線情況,相同 不同 密度曲線情況,位置參數(shù)變化,形狀參數(shù)變化,正態(tài)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象： 若隨機(jī)變量 受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，每一個(gè)別因素的影響都是微小的，而且這些影響具

16、有加性特征，則 服從正態(tài)分布。例如： 各種測(cè)量的誤差；人的生理特征指標(biāo)； 工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量； 海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度； 熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績(jī)等等。 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，體現(xiàn)在以下方面： 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的。事實(shí)上如果一個(gè)隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個(gè)因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布。 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。 正態(tài)分布有許多其它分布所不具備的良好的性質(zhì)。,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 分布函數(shù) 利用查表法可計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)

17、值，從而解決概率計(jì)算問(wèn)題。 例2.18 設(shè)隨機(jī)變量 ，試求 解: 查表知 所以有,一般正態(tài)分布的概率計(jì)算 分布函數(shù) 在求解一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題時(shí)，先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題，然后利用查表法可計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而解決概率計(jì)算問(wèn)題。 例2.19 設(shè)隨機(jī)變量 ，試求 。 解: 已知 ，所以有,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù) 雙側(cè)分位數(shù) Def 設(shè)隨機(jī)變量 ，對(duì)于給定的 ，如果實(shí)數(shù) 滿足 ，則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于 的雙側(cè)分位數(shù)。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù) 的意義如圖2.1所示 。 雙側(cè)分位數(shù)的計(jì)算方法： 由定義知 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表便可得 ；,也可直接查依據(jù)上式編制的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分

18、位數(shù)表。 例如：,上側(cè)分位數(shù) Def 設(shè)隨機(jī)變量 ，對(duì)于給定的 ，如果實(shí)數(shù) 滿足 ，則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于 的上側(cè)分位數(shù)。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)分位數(shù) 的意義如圖2.2所示 。 上側(cè)分位數(shù)的計(jì)算方法： 由定義知 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表便可得 ； 也可由定義利用上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)之間的關(guān)系，借助于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)表直接查得，即直接查 的雙側(cè)分位數(shù)。 例如：,圖2.2,4. 伽瑪分布（Gamma Distribution） Def 若隨機(jī)變量 的概率密度函數(shù)為 則稱隨機(jī)變量 服從參數(shù) 的伽瑪分布，記為 。 當(dāng) 時(shí)，伽瑪分布就是指數(shù)分布； 當(dāng) 時(shí)，伽瑪分布就是統(tǒng)計(jì)三大分布卡方分布。 伽瑪分布

19、所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象： 具有非負(fù)取值的連續(xù)型 隨機(jī)變量的概率分布都可以 用不同參數(shù)的伽瑪分布來(lái)表 達(dá)。例如：人的生理特征指 標(biāo)；金屬線的抗拉強(qiáng)度等。,圖2.3,隨機(jī)向量與隨機(jī)向量的分布函數(shù) 對(duì)于有些隨機(jī)試驗(yàn)，要定量化表達(dá)其結(jié)果用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述還不夠，往往需要兩個(gè)或兩個(gè)以上變量作為整體來(lái)描述。 例如：在打靶時(shí)，命中 點(diǎn)的位置是由一對(duì)隨機(jī)變量 (兩個(gè)坐標(biāo))來(lái)確定的。 飛機(jī)的重心在空中的位 置是由三個(gè)隨機(jī)變量來(lái)確定 的等等。 這就需要研究隨機(jī)向量的概率規(guī)律。 一、隨機(jī)向量的概念 1. 隨機(jī)向量的定義 Def 設(shè) 為 個(gè)隨機(jī)變量，如果 能表達(dá)隨機(jī)試驗(yàn) 的結(jié)果，則稱 為 維隨機(jī)向量；有時(shí)也稱為 維隨機(jī)變

20、量， 稱為第 個(gè)分量。,表達(dá)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量個(gè)數(shù)從一個(gè)增加到兩個(gè)形成二維隨機(jī)向量，概率分布律的描述有了實(shí)質(zhì)的變化，而二維推廣到多維只有形式上的變化并無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難，我們主要討論二維隨機(jī)向量。 2. 二維隨機(jī)向量的分布函數(shù) Def 設(shè) 為二維隨機(jī)向量， 為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則 稱為二維隨機(jī)向量 的分布函數(shù)，也稱為 與 的聯(lián)合分布函數(shù)。 分布函數(shù)的概率意義如 圖2.3所示，即就是隨機(jī)點(diǎn)游 蕩到陰影區(qū)域的概率。 3. 二維隨機(jī)向量的分布函 數(shù)的性質(zhì) (1) 即非負(fù)有界性； (2) ；,圖2.3,(3) 關(guān)于 或 為非減函數(shù)； (4) 關(guān)于 或 至少是右連續(xù)的； (5) 對(duì)于任意的數(shù) 有 性質(zhì)(5)的

21、概率意義如圖2.4， 即就是隨機(jī)點(diǎn)游蕩到紅色區(qū)域 的概率。 例2.20 設(shè)某人同時(shí)拋擲一枚5分 和一枚1分均勻硬幣，用 分 別表示5分硬幣出現(xiàn)國(guó)徽面與有字 面；用 分別表示1分硬幣出 現(xiàn)國(guó)徽面與有字面。試將該試驗(yàn)結(jié)果用變量形式表示，并求其分布函數(shù)。 解: 由題設(shè)條件知試驗(yàn)結(jié)果需用隨機(jī)向量 表示，且其概率分布如下表所示：,圖2.4,從而由分布函數(shù)的定義有 4. 二維隨機(jī)向量的邊際分布與邊際分布函數(shù) Def 設(shè) 為二維隨機(jī)向量，則稱隨機(jī)變量 與 的概率分布分別為隨機(jī)向量 關(guān)于分量 和 的邊際概率分布；隨機(jī)變量 與 的分布函數(shù)分別稱為隨機(jī)向量 關(guān)于分量 和 的邊際分布函數(shù)。,隨機(jī)向量 的分布函數(shù)與邊

22、際分布函數(shù)的關(guān)系 證明:（只證明第一式，第二式同理可證） 由隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義 所以有 隨機(jī)向量 的分布函數(shù)與邊際分布函數(shù)的關(guān)系式表明，邊際分布函數(shù)由隨機(jī)向量 的分布函數(shù)唯一確定，但反之未必成立。,例2.21設(shè)隨機(jī)向量 的分布函數(shù)為 試求(1)隨機(jī)向量 關(guān)于分量 的邊際分布函數(shù)； (2) ； (3) 。 解: (1)由邊際分布函數(shù)的定義 (2) (3),二維離散型隨機(jī)向量與二維連續(xù)型隨機(jī)向量 一、二維離散型隨機(jī)向量與其概率分布的表達(dá) 1. 二維離散型隨機(jī)向量 Def 設(shè) 為二維隨機(jī)向量，如果 的所有可能取值點(diǎn)是平面上的有限個(gè)或無(wú)窮可列個(gè)點(diǎn)，則稱 為二維離散型隨機(jī)向量。 2. 二維離散型隨機(jī)

23、向量概率函數(shù) Def 設(shè) 為二維離散型隨機(jī)向量，其所有可能取值點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)概率如下表所示，稱其為 的概率分布表。,而稱 為隨機(jī)向量 的概率函數(shù)或隨機(jī)變量 與 的聯(lián)合概率函數(shù)。 3. 隨機(jī)向量概率函數(shù)的性質(zhì) (1) （非負(fù)性） (2) （歸一性） 4. 隨機(jī)向量概率函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系 如已知隨機(jī)向量 概率函數(shù) ， 則有 如已知隨機(jī)向量 分布函數(shù) ，則有,例2.22 一個(gè)口袋中有三個(gè)球， 依次標(biāo)有數(shù)字1, 2, 2， 從中任取一個(gè)，不放回袋中，再任取一個(gè)，設(shè)每次取球時(shí)，各球被取到的可能性相等。以 分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字， 求 的概率分布。 解: 由題目條件隨機(jī)向量 所有可能取值點(diǎn)

24、為 從而 的概率函數(shù)為 同理可得,隨機(jī)向量分布表,一般求概率函數(shù) 采用以下公式： 例2.23 整數(shù) 等可能的取值1,2,3,4，整數(shù) 等可能的取值1 ，求隨機(jī)向量 的概率分布列。 解: 由題目條件隨機(jī)向量 所有可能取值點(diǎn)為 顯然，當(dāng) 時(shí)， 。 當(dāng) 時(shí)，分別有 同理可計(jì)算的其它值，從而得隨機(jī)向量 的分布表。,隨機(jī)向量 的分布表 二、二維連續(xù)型隨機(jī)向量與其概率分布的表達(dá) 1. 二維連續(xù)型隨機(jī)向量,2. 二維連續(xù)型隨機(jī)向量的概率密度,內(nèi)的概率計(jì)算式,這就是說(shuō)在已知概率密度情況下,圖2.5,；,(1) 求常數(shù),解: (1)由概率密度的性質(zhì),于是，概率密度函數(shù)為,圖2.6,(3),(4),圖2.7,3.

25、 連續(xù)型隨機(jī)向量與離散型隨機(jī)向量區(qū)別,定理證明與隨機(jī)變量的情況類似，請(qǐng)大家自己證明。,該定理表明連續(xù)型隨機(jī)向量的概率分布不能用逐點(diǎn)取值的概率表達(dá)，而只能用概率密度來(lái)表達(dá)。,所以，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)向量總成立：,這就是說(shuō)在計(jì)算二維隨機(jī)向量有關(guān)概率值時(shí)，可以 忽略區(qū)域邊界線的影響。,等等。,兩個(gè)常用二維連續(xù)型隨機(jī)向量分布,一、二維均勻分布,1. Def 設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維,2. 二維均勻分布所反映的背景,向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的位置無(wú)關(guān). 則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)(X,Y)在G上服從均勻分布。,圖2.9,二、二維正態(tài)分布,

26、記作,2.二維正態(tài)分布所反映的背景,圖2.10,兩方向各種測(cè)量的誤差； 人的兩個(gè)生理特征指標(biāo)； 農(nóng)作物的收獲量與降雨量等。 二維正態(tài)分布勢(shì)二維分布中重要分布之一。,Marginal distribution,隨機(jī)向量的邊際概率函數(shù)與概率密度,一、邊際概率函數(shù)與邊際概率密度,函數(shù)。,密度。,二、邊際概率函數(shù)與邊際概率密度的求法,1.邊際概率函數(shù)的求法,如果用分布表表示，即有：,解：邊際概率函數(shù)計(jì)算如表所示，從而得：,關(guān)于X的邊緣分布為,關(guān)于Y的邊緣分布,2.邊際概率密度的求法,證明（只證明第一式）由條件知隨機(jī)向量的分布函數(shù)為,由分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系有,注意：由例2.26，例2.27不難看出邊

27、際概率密度為一維正態(tài)分布的二維隨機(jī)向量不一定是二維正態(tài)分布。這說(shuō)明由隨機(jī)向量的分布可以確定邊緣分布；但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布。,圖2.11,其中區(qū)域,解：由題意有,所以,因?yàn)?所以,則有,二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊際分布都是一維正態(tài)分布 ,并且 不依賴于參數(shù) 。,例2.30 設(shè)(X,Y)的概率密度是,求( X,Y )關(guān)于 X 和 Y 的邊緣概率密度。,暫時(shí)固定,當(dāng) 時(shí),；,當(dāng) 時(shí),圖2.12,所以,同理( X,Y )關(guān)于Y 的邊緣概率密度為,隨機(jī)變量的條件分布,一、條件分布的概念,或某些值的條件下求另外一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布，這種,概率分布成為條件概率分布。,例如：,變量，它們都有一定的概率

28、分布。,考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機(jī)抽取一個(gè),學(xué)生，分別以X和Y 表示其體重和身高 . 則X和Y都是隨機(jī),體重X 的分布,身高Y 的分布,圖2.14,圖2.13,Conditional distribution,現(xiàn)在若限制Y=1.7(米), 在這個(gè)條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高為1.7米的那些人都挑出來(lái)，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布。容易想象，這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)Y分布會(huì)很不一樣。在這個(gè)分布中體重取大值的概率會(huì)顯著增加。,2.離散型隨機(jī)變量的條件分布,3.連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布,二、 隨機(jī)變量的條件分布與隨機(jī)向量分布的區(qū)別與聯(lián)系,以連續(xù)型為例說(shuō)明,一般總

29、有下式成立,例2.31 設(shè)(X,Y)的分布表為,解：,關(guān)于,的邊際概率密度為,由于有,，,所以條件分布存在，于是有,同理可得,的聯(lián)合分布及條件分布。,擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止. 以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行,的射擊次數(shù)，以Y 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù) . 試求X 和 Y,解：,依題意，Y=n 表示在第n次射擊時(shí)擊中目標(biāo), 且,在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo)；設(shè)首次擊中目標(biāo)時(shí)射,擊了m次。,每次擊中目標(biāo)的概率為 p,于是有,X的邊緣分布律是：,同理Y的邊緣分布律是：,于是可求得,對(duì)于固定n=2,3, 時(shí)有,聯(lián)合分布,邊緣分布,對(duì)于固定m=1,2, ,n-1時(shí)有,聯(lián)合分布,邊緣分布,例2.33 設(shè)(

30、X,Y)服從單位圓上的均勻分布，即概率密度為,解：X的邊緣密度為,圖2.15,由于,時(shí)，,，所以有,例2.34 設(shè)(X,Y)的概率密度為,解：由于Y的邊緣密度滿足,圖2.16,于是對(duì) y0,故對(duì)y 0,圖2.8,解:,兩個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立與判定,2.兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的等價(jià)描述,定理1設(shè)二維隨機(jī)向量,的分布表及其對(duì)應(yīng)分量,與,的邊際分布列如下表所示，則隨機(jī)變量,與,獨(dú)立的充要條,件為,定理2設(shè)二維隨機(jī)向量,的概率密度為,，對(duì)應(yīng),分量,與,的邊際分布密度分別為,，則隨機(jī)變量,與,獨(dú)立的充要條件為,例2.38 設(shè)(X,Y)的概率分布表為,問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？,解：關(guān)于各分量的邊際分布列計(jì)算如表所

31、示。,例2.38 設(shè)(X,Y)的概率分布表為,解：關(guān)于各分量的邊際,分布列計(jì)算如表所示。,顯然有,例2.39 設(shè)(X,Y)的概率密度為,問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？,解：關(guān)于各分量的邊際概率密度分別為,例2.40設(shè)(X,Y)的概率密度為,問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？,解：關(guān)于各分量的邊際概率密度分別為,3.隨機(jī)變量相互獨(dú)立概念的推廣,在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到判定兩個(gè)以上隨機(jī)變量獨(dú)立性及其應(yīng)用問(wèn)題，下面作以簡(jiǎn)單介紹：,離散型情況,連續(xù)型情況,2.7 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,一、一元隨機(jī)變量函數(shù)的分布,1.一元隨機(jī)變量函數(shù),Def,注意：,已知圓軸截面直徑 D的分布,求所需鋼材截面積。,2.一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求法,一般地，若X是離散型 R.V ，X 的分布律為,則 Y=g(X)的分布律為,如果,中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可。,證明 因?yàn)?所以有,上述結(jié)果得以證明。,例2.41 設(shè)X的分布表為,解：,從而有,的概率分布列為,的概率分布列為,3.一元連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求法,分布函數(shù)法的一般步驟,例2.40設(shè)X的概率密度為,求Y=2X+8的概率密度。,解：隨機(jī)變量Y=2X+8的分布函數(shù)為,于是，Y 的概率密度函數(shù)為,例2.42 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求 Y =sinX 的概率密度。,解