微專題6三個(gè)二次間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用

1、微專題6三個(gè)“二次”間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用2021新亮劍高考總復(fù)習(xí)第七章微專題 6 三個(gè)“二次”間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用三個(gè)二次是指一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù).這三個(gè)二次都是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,它們之間相互聯(lián)系,相互滲透,其中二次函數(shù)最重要,其圖象是“三個(gè)二次”之間的紐帶,它將等與不等,數(shù)與形緊密結(jié)合在一起,它既包含了一元二次方程的根, 又包括了一元二次不等式的解集.利用數(shù)形結(jié)合可以使一些數(shù)學(xué)問(wèn)題得到很好的解決.1.二次函數(shù)與二次不等式的轉(zhuǎn)化在解不等式、證明不等式、或研究不等式恒(能)成立問(wèn)題時(shí),往往需要構(gòu)造二次函數(shù),運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決不等式問(wèn)題.5例 1若對(duì)于 x1,3,mx2-mx+m-60

2、(m0)恒成立,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍.6是|0 或 0 7解析mx2-mx+m-60, 即 m - 1223 + m-60 時(shí),因?yàn)?g(x)在1,3上是增函數(shù),所以 g(x)max=g(3)=7m-60,所以 m6,則 0m6.77當(dāng) m0 時(shí),因?yàn)?g(x)在1,3上是減函數(shù),答案解析所以 g(x)max=g(1)=m-60,所以 m6,所以 m0.綜上所述,m 的取值范圍是 |0 6 或 0 .7微點(diǎn)評(píng)：在二次不等式恒成立問(wèn)題中,恒大于 0 就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在 x 軸的上方,恒小于 0 就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在 x 軸的下方.注意:在將含參

3、二次不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題時(shí),若原問(wèn)題中限制自變量 x 在某個(gè)指定范圍內(nèi)取值,最好先分離變量,然后構(gòu)造二次函數(shù),這樣解決問(wèn)題比較方便. 1. 已知對(duì)任意的 a-1,1,函數(shù) f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值總大于 0,則 x 的取值范圍是(D).A.x3B.1x3C.1x2D.x3解析f(x)=a(x-2)+x2-4x+4,構(gòu)造函數(shù) g(a)=a(x-2)+(x-2)2.6由題意可知(-1) 0,2-5 + 6 0, (1) 0,即解得 x3,故選 D.2-3 + 2 0,答案解析2. 設(shè)函數(shù) f(x)=mx2-mx-1.(1) 若對(duì)于一切實(shí)數(shù) x,f(x)0 恒成立,求實(shí)數(shù)

4、m 的取值范圍.(2) 若對(duì)于 x1,3,f(x)0 恒成立,求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.解析(1)要使 mx2-mx-10 恒成立,若 m=0,顯然-10;若 m0,則有 0,-4m0. = 2 + 4 0,-4m0.解析(2)當(dāng) m=0 時(shí),f(x)=-10 時(shí),f(x)在1,3上單調(diào)遞增,要使 f(x)0 在 x1,3上恒成立,只要 f(3)0 即可,即 9m-3m-10,得 m1,即 0m1.66當(dāng) m0 時(shí),f(x)在1,3上單調(diào)遞減,由于 f(x)0 在 x1,3上恒成立,只要 f(1)0 即可, 此時(shí) f(1)=-10,顯然成立.綜上可知,m1.6202.二次不等式與二次方程的轉(zhuǎn)化二

5、次不等式與二次方程的轉(zhuǎn)化,特別是在解有關(guān)不等式的選擇題、填空題試題時(shí),考生往往直接求解,犯“小題大做”的錯(cuò)誤.其實(shí)弄懂不等式與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系,利用“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解題,能快速得到答案.解析例 2已知函數(shù) f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域?yàn)?,+),若關(guān)于 x 的不等式 f(x)c 的解集為(m,m+6),則實(shí)數(shù) c 的值為 9.解析由題意知 f(x)=x2+ax+b= +2 2+b-2 .4f(x)的值域?yàn)?,+), 2即 2f(x)=.b-=0,4b=,4 +22又f(x)c,2c,即-x0 的解集為x|-1x2,則不等式 2x2+bx+a0的解集為(B).A. | 12

6、B. |-1 12C.x|-2x1D.x|x1答案解析解析不等式 ax2+bx+20 的解集為x|-1x2,-1,2 是關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2+bx+2=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且 a0,-1 + 2 = - , -1 2 = 2 ,解得 a=-1,b=1. 0,故不等式 2x2+bx+a0 可化為 2x2+x-10,解得-1x0.(2) 若不等式 f(x)b 的解集為(0,3),求實(shí)數(shù) a,b 的值.解析(1)f(x)=-3x2+9x+120,解得-1x4.不等式的解集為x|-1xb 的解集為(0,3),關(guān)于 x 的方程-3x2+a(6-a)x+12-b=0 的兩根為 0,3,3 = (

7、6-) , = 3,解析3解 得 = 12,0 = 12-,a,b 的值分別為 3,12.3.二二次函數(shù)的零點(diǎn)就是數(shù)與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).遇到涉及二次函數(shù)結(jié)合在一起來(lái)思考問(wèn)題.例 3已知函數(shù) f(x)=|x2-2x-3|,若函數(shù) g(x)=f(x)-x+a 恰有 4 個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(B).A.(-2,-1)B. - 13 ,-1C. 1, 13D.(1,2)44答案解析解析由題意,函數(shù) g(x)=f(x)-x+a 恰有 4 個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù) f(x)=|x2-2x-3|與y=x-a 的圖象有 4 個(gè)不同的交點(diǎn),如圖所示,結(jié)合圖象可知,當(dāng)直線 y=x-a 過(guò)點(diǎn)(-1,0)

8、時(shí),解得 a=-1;當(dāng)直線 y=x-a 與 y=-x2+2x+3 的圖象相切時(shí),聯(lián)立方程組 = -2 + 2 + 3,整理得 x2 = -,-x-3-a=0,令 =(-1)2+4(3+a)=0,解得 a=-13.4所以要使函數(shù) f(x)=|x2-2x-3|與 y=x-a 的圖象有 4 個(gè)不同的交點(diǎn),可得-13a1 或 a-1B.-1a-1D.a1222解析設(shè) f(x)=x2-2x-lg(2a2-a),其圖象如圖所示.由圖可知(0) 1,12即2解得 a1 或 a 0,2- 0,答案解析2. 當(dāng) m 為何值時(shí),函數(shù) f(x)=x2+2mx+3m+4(1)在(-1,3)上有兩個(gè)零點(diǎn)? (2)有兩個(gè)零點(diǎn)且均比-1 大?-1 - 0,(3) 0, 0解得 m 的取值范圍為 - 13 ,-1 .9-3