第四章第3節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一).ppt

1、1,本課件主要使用工具為office2003，Mathtype5.0, 幾何畫板4.0, flashplayer10.0,湖南學(xué)海文化傳播有限責(zé)任公司,2,3,4,1.下列命題中為真命題的是（ ） A.函數(shù)的最大值一定是這個函數(shù)的極大值 B.函數(shù)的極大值可能小于這個函數(shù)的極小值 C.函數(shù)的極大值一定是這個函數(shù)的最大值 D.函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)一定不存在最大值 函數(shù)的極值是區(qū)間內(nèi)局部的最值，極大值可能小于極小值，選B.,B,5,2.函數(shù)f（x）=2x3-3x2-12x+5在0，3上的最大值與最小值分別為（ ） A.5，-15B.5，4 C.-4，-15 D.5，-16 令f （x）=6x2-6x-12

2、=0，解得x1=2,x2=-1（舍去）.分別求得f（2）=-15，f（0）=5，f（3）=-4，則ymax=5，ymin=-15.選A.,A,6,3.函數(shù)f（x）=x+2log2x，x,2的最小值為（ ） A.-B.4 C.-2 D.1 函數(shù)f（x）在區(qū)間，2上是增函數(shù)，最小值在x=處取得，且f（）=-，選A. 易錯點：不會用單調(diào)性求函數(shù)的最值，無所適從.,A,7,4.函數(shù)y=sinx-x-1，x0，的最大值為. 當x（0，）時，y=cosx-10，所以函數(shù)y=-x+sinx-1在0，上是減函數(shù)，當x=0，取得最大值ymax=-1，填-1.,-1,8,5.對任意x(-1，1)，x3+x2+c-

3、20恒成立，則實數(shù)c的最小值為. 令f(x)=x3+x2+c-2，x(-1，1). 由f(x)=3x2+2x=0，解得x=0，或x=-， 可求得當x=0時，f(x)取得最小值f(x)min =f(0)=c-20， 所以c2，實數(shù)c的最小值為2，填2.,2,9,1.“最值”與“極值”的區(qū)別 （1）“最值”是整體的概念，是整個定義域上的最大值和最小值，具有絕對性；而“極值”是局部的概念，是局部的最小值和最大值，具有相對性； （2）從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最大值，最小值是唯一的，而極值不一定唯一；,10,（3）極值點只能在定義域內(nèi)部，而最值點可以在區(qū)間的端點，有極值的函數(shù)未必有最值，有最值

4、的函數(shù)未必有極值；函數(shù)的極值有可能成為最值，函數(shù)的最值只要不在端點取得，必定是在極值點處取得.,11,求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟 求函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 將函數(shù)y=f(x)在各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在a,b上的最大值不一定是f(x) 的極大值；最小值不一定是f(x)的極小值.,12,重點突破：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 已知aR，函數(shù)f（x）=x2-alnx. （）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性； （）當a0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2上的最小值. 關(guān)注導(dǎo)數(shù)的正負來討論函數(shù)f（

5、x）的單調(diào)性，通過單調(diào)性判斷函數(shù)在閉區(qū)間（0，2上的極值與端點函數(shù)值的大小，求出函數(shù)的最小值，注意含參問題要分類討論.,13,()f (x)= ，x(0，+). 當a0時，f (x)0恒成立，函數(shù)在(0，+)上單調(diào)遞增； 當a0時，解f (x)=0得x= 或x=- (舍去). 當x變化時，f (x)與f(x)變化情況如下表： 所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(a，+)，遞減區(qū)間為(0，a).,14,()由()單調(diào)性研究可知： 當2，即02，即a4時，f (x)在(0，2上是減函數(shù)，最小值為f(2)=2-aln2. 對含參函數(shù)的最值研究，一般需要針對參數(shù)的不同影響，進行分類討論.,15,已知aR，函

6、數(shù)f(x)=x(x-a). ()求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； ()當a0時，設(shè)g(a)為函數(shù)f(x)在區(qū)間0，2上的最小值，寫出g(a)的表達式. ()由已知f(x) ，x0. .,16,當a0時，f (x)0，f(x)在0，+)上單調(diào)遞增； 當a0時，令f (x)=0，得x=. 當x變化時，f (x)與f(x)變化情況如下表： f(x)在0，上單調(diào)遞減，在(，+)上單調(diào)遞增.,17,()由()單調(diào)性研究可知： 當2，即02，即a6時，函數(shù)f(x)在0，2上單調(diào)遞減， 最小值g(a)=f(2)=-. 06.,綜上所述，g(a)=,18,重點突破：用導(dǎo)數(shù)研究實際應(yīng)用問題 （2007重慶卷）用長為1

7、8 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為21，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？ 建立目標函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的最值，解決實際應(yīng)用問題. 設(shè)長方體的寬為x(m)，則長為2x(m)，高為h= ，0 x .,19,故長方體的體積為V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3)，0 x. 從而V(x)=18x(1-x). 令V(x)=0，解得x=0(舍去)或x=1，因此x=1. 當0 x1時，V(x)0；當1x 時，V(x)0， 故在x=1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值.,20,從而最大體積V=V（1）=91

8、2-613=3（m3），此時長方體的長為2 m，高為1.5 m. 答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3. 解實際應(yīng)用問題關(guān)鍵是建立目標函數(shù)，在確定的定義域下求目標函數(shù)的最值，再回到實際問題進行解釋，從而實現(xiàn)建模、解模、檢模的完整過程.,21,某造船公司年最高造船量是20艘，已知造x艘船的產(chǎn)值為R（x）=3700 x+45x2-10 x3（單位：萬元），成本為C（x）=460 x+5000（單位：萬元），可使公司造船的年利潤最大的年造船量為.,12艘,22,年利潤P（x）=R（x）-C（x）=-10 x3+45x2+3240 x-5000，0 x

9、20，xN. P（x）=-30 x2+90 x+3240=-30（x+9）（x-12），x（0，20），xN， 當10，P（x）單調(diào)遞增， 當12x20時，P（x）0，P（x）單調(diào)遞減. 所以x=12時，P（x）取最大值，即年建造12艘船時，公司造船的年利潤最大.填12艘.,23,重點突破：用導(dǎo)數(shù)研究任意性或存在性問題 已知函數(shù)f（x）=. （）對任意實數(shù)x，均有2a-3f（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍； （）若存在實數(shù)x，使得2a-3f（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍. 求出函數(shù)的最值，依據(jù)題意實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.,24,由已知f (x)=. 令f (x)=0，解得x=-1或x=1. 當x變化時，f (

10、x)與f(x)的變化情況如下表： 函數(shù)f(x)在 (-，-1)上單調(diào)遞減，在(-1，1)上單調(diào)遞增，在(1，+)上單調(diào)遞減， 且當x0時，f(x)0，當x0時，f(x)0， 所以f(x)max=f(1)=1，f(x)min=f(-1)=-1.,25,()對任意實數(shù)x，均有2a-3f(x)成立，等價于2a-3f(x)max=1， 解得a2，所以a的取值范圍是(2，+). ()若存在實數(shù)x，使得2a-3f(x)成立，等價于2a-3f(x)min=-1， 解得a1，所以a的取值范圍是(1，+). 解決任意性或存在性問題，往往先考慮函數(shù)的最值，然后轉(zhuǎn)化為不等式求解.,26,設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2ln

11、x. （）對任意x01,2，不等式f（x0）-m0恒成立，求實數(shù)m的最小值； （）若存在x01,2，使不等式f（x0）-m0成立，求實數(shù)m的取值范圍.,27,因為f (x)=， 當x(1,2)時，f (x)0，故f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增， 所以f(x)max=f(2)=4-2ln2，f(x)min=f(1)=1. ()對任意x01,2，不等式f(x0)-m0恒成立，等價于mf(x)max=4-2ln2，所以m最小值為4-2ln2. ()若存在x01,2，使不等式f(x0)-m0成立，等價于mf(x)min=1，所以m的取值范圍為1,+).,28,已知函數(shù)f（x）=x+1+alnx,其中a

12、為常數(shù). （）求函數(shù)f（x）的極值； （）令a=1，證明：當x1時，有f（x）2x. （）用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的極值，關(guān)鍵是看駐點附近導(dǎo)數(shù)符號的變化情況；（）不等式的證明可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為最值來研究.,29,()f(x)的定義域為 ， . 當a0時，f (x)0，f(x)單調(diào)遞增，無極值. 當a0時，令f (x)=0，得x=-a.當x變化時，f (x)與f(x)的變化情況如下表： 所以當a0時，f(x)在x=-a處取得極小值f(-a)=1-a+aln(-a)，無極大值.,30,（）令a=1，則f（x）=x+1+lnx. 當x1時，令g（x）=f（x）-2x=lnx-x+1. 因為g（

13、x）=-1=0，x（1,+）， 所以g（x）在1,+）上單調(diào)遞減； 又因為g（1）=0，所以當x1時，g（x）g（1）=0， 即f（x）2x.,31,函數(shù)類問題的解題方法要感悟、歸納、整理，使之成為一個系統(tǒng)，在具體運用時自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹防盲目套用.此類問題對轉(zhuǎn)化能力要求很高，不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因，要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式，從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性.,32,1.求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的一般步驟 (1)求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極值； (2)求區(qū)間端點的函數(shù)值； (3)比較極值與區(qū)間端點的函數(shù)值的大小，最大者為最大值，最小者為最小值.,33,2.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中

14、的優(yōu)化問題的一般步驟 (1)分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x)； (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f (x)，解方程f (x)=0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f (x)=0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.,34,3.解決任意性與存在性問題的一般思路 (1)按以下方式進行轉(zhuǎn)化 對任意x，mf(x)恒成立mf(x)的最大值； 對任意x，mf(x)成立mf(x)的最小值；,35,若存在x，使得mf(x)成立mf(x)的最大值. (2)用以下步驟實現(xiàn)轉(zhuǎn)化 分離變量； 構(gòu)造函數(shù)； 求出最值； 得到結(jié)論.,36,1.（2007江蘇卷）已

15、知函數(shù)f(x)=x3-12x+8在區(qū)間-3，3上的最大值與最小值分別為M，m，則M-m=. f (x)=3x2-12，令f (x)=0，解得x=2，分別計算f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，f(3)=-1，所以最大值M=24，最小值m=-8，M-m=32，填32. 試題以導(dǎo)數(shù)為工具，直接考查函數(shù)的最大值與最小值，考查運算求解能力，屬中易題.,32,37,2.（2009寧夏/海南卷）已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2-9a2x+a3. （）設(shè)a=1,求函數(shù)f（x）的極值； （）若a,且當x1,4a時，|f （x）|12a恒成立，試確定a的取值范圍.,38,()當a=1時，對函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得f (x)=3x2-6x-9. 令f (x)=0，解得x1=-1,x2=3. 列表討論f(x),f (x)的變化情況： 所以,f(x)的極大值是f(-1)=6,極小值是f(3)=-26.,39,()f (x)=3x2-6ax-9a2的圖象是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對稱. 若 a1，則f (x)在1,4a上是增函數(shù)， 從而f (x)在1,4a上的最小值是f (1)=3-6a-9a2,最大值是f (4a)=15a2. 由|f (x)|12a，得-12a3x2-6ax-9a212a， 于是有f (1)=