2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講1.3.2相似三角形的性質(zhì)課件.pptx

1、1.3.2 相似三角形的性質(zhì),1.相似三角形的性質(zhì)定理 (1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比. (2)相似三角形周長的比等于相似比. (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方. 名師點(diǎn)撥相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用: (1)證明線段成比例、角相等、線段相等、線段的垂直、平分等; (2)計(jì)算邊長、周長、角度、面積、圖形的面積比等.,【做一做1】 已知ABCABC,AD和AD分別是ABC和ABC的角平分線,且ADAD=53.下面給出四個(gè)結(jié)論:BCBC=53;ABC的周長ABC的周長=53;ABC與ABC的對(duì)應(yīng)高之比為53;ABC與ABC的對(duì)應(yīng)中線之比為53.其中正確的結(jié)論

2、有() A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 解析:因?yàn)锳D,AD是相似三角形ABC和ABC對(duì)應(yīng)的角平分線,且ADAD=53,所以ABC和ABC的相似比為53.故對(duì)應(yīng)邊BC與BC的比為53,結(jié)論正確;由相似三角形的性質(zhì)定理知也正確,故選D. 答案:D,2.相似三角形的外接圓的性質(zhì) 相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比,外接圓的面積比等于相似比的平方.,答案:C,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)兩個(gè)相似三角形的面積之比等于其周長之比的平方. () (2)相似三角形對(duì)應(yīng)角的外角平分線與對(duì)邊相交所得線段的比等于相似比. () (3)相似三角形外接圓

3、的周長之比等于相似比的平方. () (4)相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比,內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方. () 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),利用相似三角形的性質(zhì)解決計(jì)算問題,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),解析:(1)四邊形ABCD是平行四邊形,ABCD, DCF=FAE,CDF=FEA,答案:(1)3(2)21,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟利用相似三角形的性質(zhì)解決計(jì)算問題的基本方法 1.若相似比未知,應(yīng)先求相似比. 2.若已知一個(gè)三角形的周長或面積,可以利用周長比等于相似比、面積比等于相似比的

4、平方,計(jì)算得出另一個(gè)三角形的周長或面積. 3.若兩個(gè)三角形的周長或面積都未知,則可以設(shè)出其中之一,并用這個(gè)未知數(shù)表示另外一個(gè),利用相似三角形的性質(zhì)定理建立方程,求解可得.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練1兩個(gè)相似三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)邊長分別是24 cm和12 cm. (1)若它們的周長和是120 cm,則這兩個(gè)三角形的周長分別為 和; (2)若它們的面積差是420 cm2,則這兩個(gè)三角形的面積分別為 和. 解析:由于兩個(gè)三角形相似,且一對(duì)對(duì)應(yīng)邊長分別是24 cm和12 cm,因此其相似比為2. (1)由于周長比等于相似比,若設(shè)其中一個(gè)三角形周長為x cm,則另一個(gè)三角形周長為

5、2x cm,于是x+2x=120,解得x=40,故其中一個(gè)三角形的周長為80 cm,另一個(gè)三角形的周長為40 cm. (2)由于面積比等于相似比的平方,若設(shè)其中一個(gè)三角形面積為x cm2,則另一個(gè)三角形面積為4x cm2,于是4x-x=420,解得x=140,故其中一個(gè)三角形的面積為140 cm2,另一個(gè)三角形的面積為560 cm2. 答案:(1)80 cm40 cm(2)560 cm2140 cm2,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),利用相似三角形的性質(zhì)解決證明問題 【例2】如圖,AD是ABC的角平分線,BHAD于點(diǎn)H,CKAD于點(diǎn)K.求證:ABDK=ACDH. 分析:只需證明BD

6、H和CDK相似,ABH和ACK相似即可. 證明:BHAD,CKAD, AHB=AKC=90. 又AD平分BAC,BAD=CAD,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明的方法 要證明線段相等、角相等或比例式、等積式成立等結(jié)論,需化歸到相似三角形中加以證明.若不存在相似三角形,則可添加輔助線(如平行線等),構(gòu)造元素所在的三角形相似,利用相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練2如圖,在梯形ABCD中,ADBC,AC與BD相交于點(diǎn)E, BFCD交CA的延長線于點(diǎn)F.求證:EFAD=ECBC.,探究一,探究二,探究三,思

7、維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),利用相似三角形的性質(zhì)解決綜合問題 【例3】如圖,在ABCD中,E是CD延長線上一點(diǎn),BE與AD交于點(diǎn)F,DE= CD. (1)求證:ABFCEB; (2)若DEF的面積為2,求ABCD的面積. 分析:(1)利用相似三角形的判定定理證明;(2)要求平行四邊形的面積,可以利用相似三角形的性質(zhì)定理分別求出ABF與四邊形BCDF的面積.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形, A=C,ABCD,ABF=CEB. ABFCEB. (2)解:四邊形ABCD是平行四邊形, ADBC,ABCD. DEFCEB,DEFABF.,SDEF=2, SC

8、EB=18,SABF=8. S四邊形BCDF=SCEB-SDEF=16. SABCD=S四邊形BCDF+SABF=16+8=24.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟解決相似三角形的綜合問題應(yīng)注意的問題 1.結(jié)合相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理,尋求三角形中的數(shù)量關(guān)系. 2.注意輔助線的添加和定理的選擇.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練3如圖,在ABC中,BCAC,點(diǎn)D在BC上,且DC=AC,ACB的平分線CF交AD于點(diǎn)F,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),連接EF. (1)求證:EFBC; (2)若四邊形BDFE的面積為6,求ABD的面積. (1)證明:CF平分ACB,

9、DC=AC, CF是ACD的邊AD上的中線. 點(diǎn)F是AD的中點(diǎn). 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),EFBD,即EFBC. (2)解:由(1)知EFBD,AEFABD,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),對(duì)相似三角形的性質(zhì)理解不透而致誤 【典例】 如圖,在梯形ABCD中,ADBC,AD=1,BC=3,AOD, AOB,BOC的面積分別為S1,S2,S3,則S1S2,S1S3分別等于多少?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),糾錯(cuò)心得本題錯(cuò)誤在于盲目套用相似三角形的性質(zhì),事實(shí)上,AOB和COD不相似,不能利用相似三角形的面積比等于相似比的平方來計(jì)算S1S2.相似三角形周長的比、對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中

10、線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比,面積比等于相似比的平方,這些結(jié)論成立的前提是兩個(gè)三角形相似,若兩個(gè)三角形不相似,則上述結(jié)論不成立.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練如圖,D,E,F,G,H,I是ABC三邊的三等分點(diǎn),ABC的周長是l,則六邊形DEFGHI的周長是.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),1.在ABC中,點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn),且DEBC.若AEEC=12,且AD=4 cm,則DB等于 () A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm 解析:因?yàn)镈EBC,所以ADEABC,所以AEEC=ADDB,所以DB=24=8(cm). 答案:

11、D 2.已知D,E,F分別是ABC的三邊中點(diǎn).若DEF的面積為4,ABC的周長為9,則DEF的周長與ABC的面積分別是() A.4.5,16B.9,4C.4.5,8D.2.25,16 解析:由題意,得DEF與ABC相似,且相似比為12,因此DEF與ABC的周長之比為12,面積之比為14,從而DEF的周長為4.5,ABC的面積為16. 答案:A,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),3.若ABCABC,它們的周長相差20 cm,且它們對(duì)應(yīng)邊上的中線比為21,則ABC與ABC的周長分別為. 解析:因?yàn)锳BCABC,所以它們的周長比等于對(duì)應(yīng)邊上的中線比21.設(shè)ABC的周長為x cm,則ABC的周長為2x cm,于是有2x-x=20,解得x=20,故ABC的周長為40 cm,ABC的周長為20 cm. 答案:40 cm,20 cm,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),4.如圖,已知C=90,A=30,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),DEAB于點(diǎn)E,則ADE與ABC的相似比是.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,當(dāng)堂檢測(cè),5.如圖,在四邊形ABCD中,AC為AB,AD的比例中項(xiàng),且AC平分DAB. 求證:(1)A