數(shù)學建模(路燈)[文書特制]

1、數(shù)學模型實驗論文路燈安置優(yōu)化問題一、 摘要：現(xiàn)代社會，經(jīng)濟不斷發(fā)展人民生活水平不斷提高，國家采取了一系列的措施讓人民生活得更舒適，而在路上安裝路燈就是其中一項重要的舉措。這里我從一盞燈的照明情況的分析出發(fā)，研究怎樣合理的設(shè)計路燈的度和路燈之間的間距才能滿足人們的需求。首先分析路燈照明的特性，然后建立一盞燈時面積使最大的模型及兩盞燈時時路燈間距最大的模型，在此基礎(chǔ)上建立一排路燈及兩排路燈的數(shù)學模型，分析兩種情況何時須燈數(shù)最少即最節(jié)約能源，其中由實際情況和生活經(jīng)驗來看，兩排燈時交錯分布照明是比較均勻的，所以在兩排燈時考慮燈交錯分布的情況。 關(guān)鍵詞:照明強度、路燈設(shè)計、路燈高度、間距的優(yōu)化二、問題的

2、提出：目前大多數(shù)公共場所都安裝了路燈，路燈的高度和路燈之間的間距一般是依靠經(jīng)驗進行設(shè)置的，并沒有從優(yōu)化的角度進行考慮。在能源日益減少的今天，我們應該考慮怎樣盡可能的節(jié)約能源，并且作為路段整體設(shè)計的一部分路燈的安排也直接影響到社會公共環(huán)境。經(jīng)過對我校校園內(nèi)幾條道路的路燈設(shè)計的觀察，對校園整體室外照明有了一定的了解。在調(diào)查時A 路正在安裝路燈，為獲取數(shù)據(jù)的方便取該路段為研究對象。三、背景知識：1光強度：光源在一定范圍內(nèi)發(fā)出可見光輻射強弱的物理量。以光源在某一方向上單位立體角輻射的能量來量度。（單位：坎德拉）2照度：單位面積上得到的光通量。（單位：勒克司） 3通量：人眼所能感覺到的光輻射的功率。單位

3、時間光輻射的能和相對視見率的乘積。（單位：流明）4對于眼睛最敏感的 波長的黃綠光來說，1流明相當于1/685瓦特。一般常見或需要的照度：晴朗夏天室外背蔭處得照度為1000-10000流明。5為保證在該路段上處處都能有滿足正?；顒有枰恼彰鲝姸?，取照度的最小值為 ，即為13700流明。6照度定律：點光源O預備照明平面中心A的距離為h時，平面上A點的照度。 符號規(guī)定：p為 O點的光強度，a為平面的法線方向與光源到A點的連線之間的夾角,h為光源的高度，l為光源到A點的距離。四、模型的假設(shè)： 1. 假設(shè)高度和間距的優(yōu)化問題為簡化模型設(shè)路燈的額定功率為定值（注：數(shù)據(jù)來源 A路的路燈標簽額定功率為220伏

4、，額定電流為10安，所以取額定功率）。 2.在考慮一排路燈的情況時，假設(shè)為完全規(guī)范的，即處處等寬。即寬度為 5米。（數(shù)據(jù)來源：實地測量A路的寬度）3.據(jù)相關(guān)物理知識，照明強度直接影響可見度，只有照明強度不低于某定值c。時，才能認為物體可見。在這里假設(shè)所有物體均勻的 。 4.路長的計算：所考慮路段路的兩側(cè)均鋪有花磚，所以用磚的塊數(shù)乘以每塊磚的邊長在乘燈數(shù)減1來計算路長，經(jīng)觀測燈的間距大致相同，僅有少數(shù)有些差別，取平均值為64塊磚。路長：L=64*0.29*14=260米 。5.假設(shè)通過路燈的額定電壓為220V，電流為10A 。參量變量：路燈的高度 h ；路燈的功率 p ； 使物體可見的最低照明強

5、度為13700明朗 ； 路燈的間距 l ； 路的寬度 d=5米 ；路長 L=260米 ；r為燈到點A的距離；五、組建模型：一. 一盞路燈的優(yōu)化問題:由物理學知識可知，被光線照射的物體的亮度依賴于它與光源之間的距離平方的倒數(shù)和光線的投射角度。則路燈到某點A的照明強度為 ：（其中p為燈的功率，h為燈的高度，r為燈到點A的距離）。地面上物體可見的區(qū)域為： 只有時有解時，且 的區(qū)域物體可見，物體可見區(qū)域的面積為以O(shè)為圓心，以 為半徑的圓，其面積為： = 對s關(guān)于h求導可得 時，面積達最大值，可求得路燈得最優(yōu)高度。 h= 其中 p=2200w ,可得最優(yōu)高度h為4.60米。二 . 兩盞路燈間距最小的的優(yōu)

6、化問題: 主要考慮當高度為何值時，兩燈的距離可達最小值； KLMNQR 如圖，A點的照度在路面的各點中最小，所以l和 h的只需滿足 即可。 用求解Maple 程序如下： fsolve(1./4*l2+25+h2)3=(220*h)2,h=5,l,h); fsolve(1./4*l2+25+h2)3=(220*h)2,h=5.5,l,h); fsolve(1./4*l2+25+h2)3=(220*h)2,h=6,l,h); fsolve(1./4*l2+25+h2)3=(220*h)2,h=6.5,l,h); fsolve(1./4*l2+25+h2)3=(220*h)2,h=7,l,h); f

7、solve(1./4*l2+25+h2)3=(220*h)2,h=6.4,l,h); fsolve(1./4*l2+25+h2)3=(220*h)2,h=6.6,l,h); h=6.5 時 l 最大為15. 5米三 . 一排路燈的優(yōu)化問題: 優(yōu)化目的是確定路燈高度h和路燈之間的距離l，使得路燈之間的距離最大。 HIJKL1.求最大路燈間距：由上圖可知,路燈l和m之間的路段，與中點Q相對的R點的照明強度最小，并且計算該點照明強度時，只需考慮路燈K,L,M,N對其的影響，其他較遠的路燈對其的影響可忽略。R點的照明強度為： 且要使R點的物體可見應有：cc0 其中p=2200w, d=5m, 求使得l

8、最大的h值，具體做法：取一系列h值求使得c= 的l值，比較l的大小取最大值。用Maple求解，得h=6.6米時，l最大。最大值為16.5米。ACEGHJ2考慮邊界問題 可解得：x=3.5時c=20，此時x最大。3計算所需的總的燈數(shù) ：260-3.5=256.5 256.5=15*16.5+9 因為93.5 所以路的另一端還需一盞燈，所需燈的總數(shù)為17盞。 四.兩排路燈的優(yōu)化問題: 路燈的布點是否適當直接關(guān)系到照明的效果。雙側(cè)布燈大體有兩種方式：一種是對稱布置，另一種是交錯布置，各有優(yōu)劣。對稱布置的優(yōu)點是比較美觀，但不足之處是照度不夠均勻，適合較寬的道路。交錯布置美觀上不如對稱布燈，但照度比較均

9、勻。由于校內(nèi)道路即使是干道也不很寬，如果對稱布置照度不均勻的缺點會更加突出，所以事實上選擇交錯布置的方式更好。由圖可知，照明強度最低的點一定出現(xiàn)在路的中線上，且對圖中AB段照明強度呈周期性變化，所以只需使AB的中點C照明強度大于等于20 即可。并且計算該點照明強度時，只需考慮路燈J,H,M,N對其的影響，其他較遠的路燈對其的影響可忽略。用Maple求解，得h= 6米時，l最大。最大值為36.9米。再考慮邊界問題，如上面邊界圖所示。A、 C兩點為路的邊界，設(shè)距A點最近的燈E與A的距離為x米，則J點的照明強度為：（只考慮E和H兩燈的影響）可解得：x=6 時c=20，此時x最大。計算所需的燈數(shù)：在A

10、E邊上，AE=6米，260=6+36.9*6+32.6，所以該邊需裝燈7盞，且另一端剩余32.6米。在CG邊上CH=6+l/2=24.45米，260=24.45+36.9*6+13.15，所以該邊裝燈7盞時距另一端13.15米，13.156米，所以改變還需一盞燈，即總需8盞。綜上，安裝兩排燈時所需總數(shù)為15盞。五 .結(jié)論：根據(jù)上述計算可知，安裝兩排燈時所需燈數(shù)較少，所以此種情況更能節(jié)約用電。實際情況分析：據(jù)調(diào)查，該路段長260米，寬5米，燈高4米，間距18.56米，燈的功率2200瓦，燈共計15盞經(jīng)計算照明強度最小點的值為13.04 ,所以照明強度過低，建議增加燈的數(shù)目。 六、結(jié)束語：大范圍、復雜環(huán)境的路燈設(shè)計需考慮的因素非常多。而我們這里只是討論了其中的一小部分，要想精確的計算出路燈的分布是哪種最合理，還需要認真調(diào)查，認真思考，進行多次討論，按照多方面的要求統(tǒng)一協(xié)調(diào)，綜合考慮，要根據(jù)實際發(fā)生的情況解決具體施工問題。校園不同的區(qū)域有不同的功能，同時環(huán)境也比較復雜。在設(shè)計室外照照時需要考慮的方面非常多。并且應考慮所選燈的類型，校園中一些支路上照