托勒密定理[特選參考]

1、托勒密定理【定理內(nèi)容】圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和即：若四邊形內(nèi)接于圓，則有.評(píng)等價(jià)敘述：四邊形的兩組對(duì)邊之積的和等于兩對(duì)角線之積的充要條件是四頂點(diǎn)共圓?！咀C法欣賞】證明：如圖，過(guò)作交于，使,，即 又，, ，即 得：即【定理推廣】托勒密定理的推廣：在四邊形中，有；當(dāng)且僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)，等式成立。 證 在四邊形內(nèi)取點(diǎn)，使，則，；，且，即；當(dāng)且僅當(dāng)在上時(shí)“=”成立，即【定理推廣】托勒密定理的推論：等腰梯形一條對(duì)角線的平方等于一腰的平方加上兩底之積 即：若四邊形是等腰梯形，且， 則.分析：因?yàn)榈妊菪伪貎?nèi)接于圓，符合托勒密定理的條件，其對(duì)角線相等，兩腰相等，結(jié)論顯然成立。

2、【定理應(yīng)用】【例1】 如圖，是正外接圓的劣弧上任一點(diǎn)(不與、重合)， 求證：證明：由托勒密定理得：. 注此例證法甚多，如“截長(zhǎng)”、“補(bǔ)短”等，詳情參看初中數(shù)學(xué)一題多解欣賞【定理應(yīng)用】【例2】 證明“勾股定理”：已知：在中，求證：。證明：如圖，以的斜邊為對(duì)角線作矩形，則是圓內(nèi)接四邊形由托勒密定理，得 是矩形， 把代人，得：【定理應(yīng)用】【例3】 如圖，在中，的平分線交外接圓于，連結(jié)，求證：證明：連結(jié)，由托勒密定理，得，故【定理應(yīng)用】【例4】 若、是實(shí)數(shù)，且，求證：證明：如圖，作直徑的圓，在兩側(cè)任作和，使，由勾股定理知、是滿足題設(shè)條件的據(jù)托勒密定理，有，即【定理應(yīng)用】【例5】 已知、是的三邊，且，求證：證明：， 由托勒密定理，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形。如圖 ，作的外接圓，以為圓心，為半徑作弧交圓于，連結(jié)、，則，由托勒密定理得： 即又， 比較得，則，【定理應(yīng)用】【例6】 在中，已知，求證：.證明：如圖，作的外接圓，作弦，連結(jié)、 ，在圓內(nèi)接四邊形中，由托勒密定理，得：，則.【定理應(yīng)用】【例7】 由外接圓的弧上一點(diǎn)分別向邊、與作垂線、和，求證：.證：連接、， 四邊形，由托勒密定理得：即 ，同理可得代人得：.【練習(xí)】1 已知中，。求證：.2 已知正七邊形。求證：.（第21屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽）提示1. 過(guò)A作BC的平行線交ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則