高二數(shù)學(xué)圓錐曲線的常用解法

1、圓 錐 曲 線 的 常用解法,成都列五中學(xué):李興文,例1 動點P（x，y）到定點A（3，-4）的距離比它到定直線x= -5的距離少4。 求：動點P的軌跡方程。,O,3,-4,-5,A,x,y,m,解法,利用定義解題,作直線 L：x = -1,則點P到定點A（3，-4）與定直線 n：x = -1 等距離。,故，點P的軌跡是,A,L,所以,方程為:y+4=8(x-1),拋物線。,例2 等腰直角三角形ABC中，斜邊BC長為 ，一個橢圓以C為其中一個焦點，另一個焦點在線段AB上，且橢圓經(jīng)過點A，B。 求：該橢圓方程。,O,解,D,則,|AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a,

2、所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a,即,例2 等腰直角三角形ABC中，斜邊BC長為 ，一個橢圓以C為其中一個焦點，另一個焦點在線段AB上，且橢圓經(jīng)過點A，B。 求：該橢圓方程。,O,解,得,D,|AD| + |AC| = 2a,|AC| =,|AD| =,|DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ ）2 + 16 = 24,6，,（2 + ）2 - 6 =,故所求橢圓方程為,注：重視定義！,例3 橢圓、雙曲線和拋物線都經(jīng)過點M（2，4），它們的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在原點，三種曲線在X軸上有一個公共焦點. （1）求這三種曲線的方程； （2）在拋物

3、線上求一點P，使它與橢圓、雙曲線的右頂點連成的三角形的面積為6.,（1）分析：如圖,拋物線開口向右，根據(jù)點M（2，4）可求焦參數(shù)p，進而可求焦點。,設(shè)拋物線：y2 = 2px ，p0 ,將點M代入解得 p = 4 故拋物線方程為 y2 = 8x , 焦點為F(2,0),F,例3 橢圓、雙曲線和拋物線都經(jīng)過點M（2，4），它們的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在原點，三種曲線在X軸上有一個公共焦點. （1）求這三種曲線的方程； （2）在拋物線上求一點P，使它與橢圓、雙曲線的右頂點連成的三角形的面積為6.,F,拋物線方程：y2 = 8x ，焦點F（2，0）,設(shè)橢圓、雙曲線方程分別為,-,則a2 -

4、b2 = 4 ，m2 + n2 = 4 ；又,-,解得：,例3 橢圓、雙曲線和拋物線都經(jīng)過點M（2，4），它們的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在原點，三種曲線在X軸上有一個公共焦點. （1）求這三種曲線的方程； （2）在拋物線上求一點P，使它與橢圓、雙曲線的右頂點連成的三角形的面積為6.,F,拋物線：y2 = 8x,例3 橢圓、雙曲線和拋物線都經(jīng)過點M（2，4），它們的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在原點，三種曲線在X軸上有一個公共焦點. （1）求這三種曲線的方程； （2）在拋物線上求一點P，使它與橢圓、雙曲線的右頂點連成的三角形的面積為6.,F,拋物線：y2 = 8x,（2）分析：如圖,橢圓

5、、雙曲線的右頂點距離為|a-m|，,P為拋物線上的一點，,三角形的高為|yp|，,（xp，yp）,例3 橢圓、雙曲線和拋物線都經(jīng)過點M（2，4），它們的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在原點，三種曲線在X軸上有一個公共焦點. （1）求這三種曲線的方程； （2）在拋物線上求一點P，使它與橢圓、雙曲線的右頂點連成的三角形的面積為6.,F,拋物線：y2 = 8x,易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3,將它代入拋物線方程得 xp=,故所求P點坐標為 （ ，3 ）和（ ，-3 ）,例3 橢圓、雙曲線和拋物線都經(jīng)過點M（2，4），它們的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在原點，三種曲線在X軸上有一個公共

6、焦點. （1）求這三種曲線的方程； （2）在拋物線上求一點P，使它與橢圓、雙曲線的右頂點連成的三角形的面積為6.,F,拋物線：y2 = 8x,點評：待定系數(shù)法是求曲線方程的常用方法。,例4 在直角坐標系中，已知橢圓的一個焦點F（3，0），相應(yīng)于F的準線是y軸，過點F且傾斜角為 的直線交橢圓于A，B兩點，且 |AB| = 。 求：這個橢圓的方程。,x,y,O,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,-1,F,600,分析,F,F,則需討論a，b大小，并需要求出四個參數(shù)：a，b，x0，y0,思考：回顧圓錐曲線的定義，怎樣少用參數(shù)，且回避討論？,例4 在直角坐標系中，已知橢圓的一個焦點F（3，0

7、），相應(yīng)于F的準線是y軸，過點F且傾斜角為 的直線交橢圓于A，B兩點，且|AB| = 。 求：這個橢圓的方程。,x,y,O,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,-1,F,600,由圓錐曲線統(tǒng)一定義，得,例4 在直角坐標系中，已知橢圓的一個焦點F（3，0），相應(yīng)于F的準線是y軸，過點F且傾斜角為 的直線交橢圓于A，B兩點，且|AB| = 。 求：這個橢圓的方程。,x,y,O,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,-1,F,600,解,（1 - e2 ）x2 + y2 - 6x + 9 = 0,又，直線AB的方程為,代入上式消去y得,（4 - e2）x2 - 24x + 36 = 0

8、,由 |AB| =,解得：,3x2 + 4y2 - 24x + 36 = 0,例4 在直角坐標系中，已知橢圓的一個焦點F（3，0），相應(yīng)于F的準線是y軸，過點F且傾斜角為 的直線交橢圓于A，B兩點，且|AB| = 。 求：這個橢圓的方程。,x,y,O,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,-1,F,600,解,將 3x2 + 4y2 - 24x + 36 = 0,化為：,說明如圖，所求橢圓的中心為（4，0），長軸端點為（2，0），（6，0）,F,例5 是否存在同時滿足下列條件的拋物線：（1）準線是y軸；（2）頂點在x軸上；（3）點A（3，0）到這拋物線上動點P的距離的最小值為2。 若存在

9、，求出拋物線方程；若不存在，說明理由。,分析,A（3，0）,x,y,O,設(shè)頂點為B（a，0），,由題意得 a 0，以y軸為準線的拋物線方程可設(shè)為 y2 = 4a（x-a）,設(shè)動點P的縱坐標為m，則它的對應(yīng)橫坐標為,P ,則 |PA|2,提示：轉(zhuǎn)化命題，確定a的值,例5 是否存在同時滿足下列條件的拋物線：（1）準線是y軸；（2）頂點在x軸上；（3）點A（3，0）到這拋物線上動點P的距離的最小值為2。 若存在，求出拋物線方程；若不存在，說明理由。,分析,A（3，0）,x,y,O,P ,則|PA|2 = f（t），其中 t 0,|PA|min=,當 a - a2 0 即 0 a 1時，,= 2,a

10、= 1 或 a =,；,a = 5,綜上，所求為,再見,； yrk702rpy 長安，他不快樂?？墒钦l又真的快樂呢？ 他的父親忙于工作應(yīng)酬，又要忙于維持虛假的形象，任何人都可以的他的工具，包括他自己。 我的母親，忙于生兒子，忙于穩(wěn)固自己的地位，忙于將自己銀行賬戶的數(shù)額升級。 每個人在屬于自己的角色設(shè)定中，兢兢業(yè)業(yè)。 他不喜歡回家，不喜歡一個屋檐下的近乎陌生人的對峙?；蛘呋丶乙仓皇谴谧约旱姆块g。 華麗的別墅沒有絲毫溫度，即使長期在里面居住依舊十分陌生。是一個底部破裂的玻璃瓶，氣味、聲音、溫度像流水，從瓶子入口進入，又從破洞里漏出，最后除了空氣什么都不曾保留。 離開之后，我就再也不曾回返過，既不是我的家，亦無甚留戀。仿佛曾經(jīng)在此度過的九年只是