數(shù)學(xué)分析課件：7-8定積分之幾何應(yīng)用－弧長(zhǎng)曲率_第1頁(yè)
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1、,20100113,7.8 定積分之幾何應(yīng)用 弧長(zhǎng),一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念,在曲線光滑的條件下可求長(zhǎng),弧長(zhǎng)元素,弧長(zhǎng),二、直角坐標(biāo)情形,解,所求弧長(zhǎng)為,解,曲線弧為,弧長(zhǎng),三、參數(shù)方程情形,解,星形線的參數(shù)方程為,根據(jù)對(duì)稱性,第一象限部分的弧長(zhǎng),證,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知,故原結(jié)論成立.,曲線弧為,弧長(zhǎng),四、極坐標(biāo)情形,解,解,平面曲線弧長(zhǎng)的概念,直角坐標(biāo)系下,參數(shù)方程情形下,極坐標(biāo)系下,弧微分的概念,求弧長(zhǎng)的公式,五、小結(jié),曲 率,一、曲率及其計(jì)算公式,曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量。,),),弧段彎曲程度 越大轉(zhuǎn)角越大,轉(zhuǎn)角相同弧段越 短彎曲程度越大,1.曲率的定義,),（,設(shè)曲線C是

2、光滑的，,（,定義,曲線C在點(diǎn)M處的曲率,2.曲率的計(jì)算公式,注意:,直線的曲率處處為零;,例1,解,顯然,例2,解：,圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.,二、曲率圓與曲率半徑,定義,1.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù).,注意:,2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)處的曲率越小(曲線越平坦);曲率半徑越小,曲率越大(曲線越彎曲).,3.曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn)附近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).,三、小結(jié),基本概念: 弧微分,曲率,曲率圓.,曲線彎曲程度的描述曲率;,曲線弧的近似代替曲率圓(弧).,思考題,橢圓 上哪些點(diǎn)處曲率最大？,作業(yè) (數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū) （四）第42頁(yè)),習(xí)題6.7 8; 9 ; 10; 13

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