自動控制理論之頻率域穩(wěn)定判據(jù)及穩(wěn)定裕度探討

1、5-4 頻率域穩(wěn)定判據(jù),控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計所需解決的首要問題，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是常用的兩種頻域穩(wěn)定判據(jù)。頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使用方便，易于推廣。,Nyquist穩(wěn)定判據(jù)既可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定性），也可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性），還可以用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能以及指出改善系統(tǒng)性能指標的途徑。,復變函數(shù)理論中的幅角原理是奈氏判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)，幅角原理用于控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定還需選擇輔助函數(shù)和閉合曲線。,1、奈氏判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ),設(shè)S為復數(shù)變量，F(xiàn)(S)為S的有理分式函數(shù)。對于S平面上任意一點S，通過復變函

2、數(shù)F(S)的映射關(guān)系，在F(S)平面上可以確定關(guān)于S的象。在S平面上任選一條閉合曲線 且不通過F(S)的任何零點與極點，S從閉合曲線上任一一點A起，順時針沿運動一周，再回到A點，那么相應(yīng) F(S)平面上也從點F(A)起，到F(A)點止形成一條閉合曲線 F。若F(S)在S平面上指定區(qū)域內(nèi)是非奇異的，則有如圖5-39所示的映射關(guān)系。,（1）、幅角原理,圖5-39 s平面與F(S)平面的映射關(guān)系,對于S平面內(nèi)的任意一點d，都可以通過F(S)的映射關(guān)系在F平面上找到一個相應(yīng)的點d（ d是d的像 ）；對于S平面上任意一條不通過F(S)任何零點極點的閉合曲線，也可以通過映射關(guān)系在F(S)平面上找到一條與它

3、相對應(yīng)的曲線F。,設(shè)復變量S沿著閉合曲線運動一周，研究F(S)相角的變化情況。,S平面上的閉合曲線如圖5-40所示。復變函數(shù)F (s)右零點極點如圖所示。當閉合曲線上任一點S1沿順時針方向轉(zhuǎn)動一圈時，其矢量總的相角增量,圖5-40 映射關(guān)系,式中，P和Z分別是被閉合曲線包圍的特征方程函數(shù)F (s)的極點數(shù)和零點數(shù)。它表明，當s平面上的試驗點s1沿閉合曲線順時針方向繞行一圈時，F(xiàn)(s)平面上對應(yīng)的閉合曲線將按逆時針方向包圍坐標原點（P-Z）圈。,幅角原理：設(shè)S平面上不通過F(S)任何零極點的某條封閉曲線，它包圍了F(S)在S平面的Z個零點和P個極點。當S以順時針方向沿封閉曲線移動一周時，則在F平

4、面上對應(yīng)于封閉曲線的像F 將以順時針的方向圍繞原點旋轉(zhuǎn)R圈。R與Z、P的關(guān)系為：,R0和R0分別表示F順時針包圍和逆時針包圍F(s)平面的原點，R0表示不包圍F(S)平面的原點。,（2）、復變函數(shù)F(S)的選擇,如圖5-41所示結(jié)構(gòu)圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為,圖5-41 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,則,B(S)+A(S)和A(S)分別為閉環(huán)和開環(huán)的特征多項式。引入輔助函數(shù),輔助函數(shù)也可以表示成零極點的形式,因此，我們可以看出，輔助函數(shù)具有如下特征：,1）輔助函數(shù)F(S)是閉環(huán)特征多項式與開環(huán)特征多項式之比，故其零點和極點分別為閉環(huán)極點和開環(huán)極點。,2）因為開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項式的階次一般大于或等于分子多項式的階

5、次，故F(S)零點、極點的個數(shù)相同，均為n個。,圖5-42 F平面與GH平面的關(guān)系圖,3）F(S)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)之間只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的幾何意義為：F平面上的坐標原點就是GH平面上的（1，j0）點，如圖5-42所示。,Nyquist軌跡及其映射,為將映射定理與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析聯(lián)系起來，適當選擇s平面的封閉曲線。如圖5-43所示，它是由整個虛軸和半徑為的右半圓組成，試驗點按順時針方向移動一圈，該閉合曲線稱為Nyquist軌跡。 Nyquist軌跡在F(s)平面上的映射也是一條封閉曲線，稱為Nyquist曲線。,圖5-43 s平面上的 Nyquist軌

6、跡,Nyquist軌跡由兩部分組成，一部分沿虛軸由下而上移動，試驗點s=j在整個虛軸上的移動，在F 平面上的映射就是曲線F(j) (由+)，如圖5-44所示。 F(j)=1+G(j)H(j) Nyquist軌跡的另一部分為s平面上半徑為的右半圓，映射到F 平面上為 F ()=1+G ()H (),圖5-44 F 平面上的Nyquist曲線,式中，Z位于F (s)平面右半部分的零點數(shù)，即閉環(huán)右極點個數(shù)； P位于F(s)平面右半部分的極點數(shù)，即開環(huán)右極點個數(shù)； RNyquist曲線包圍坐標原點的次數(shù)。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)的閉環(huán)極點均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。,根據(jù)映射定理可

7、得，s平面上的Nyquist軌跡在F平面上的映射F(j)(從) 包圍坐標原點的次數(shù)R為 R=PZ,例：分析下圖映射關(guān)系,（3）、S平面閉合曲線的選擇,系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)F（S）零點的位置，因此當選擇S平面閉合曲線 包圍S平面的右半部分時，Z0系統(tǒng)穩(wěn)定。考慮到閉合曲線不通過F(S)任一零極點的條件， 可取兩種形式。見P194,（4）、G(S)H(S)曲線的繪制,已知S平面閉合曲線關(guān)于實軸對稱，故閉合曲線GH也關(guān)于實軸對稱，因此只需畫出正虛軸部分的曲線，得GH的半閉合曲線，仍計為GH。,G(S)H(S)右虛軸上極點和 無虛軸上極點時的特性曲線繪制方法見P195。,（5）、閉合曲

8、線包圍原點圈數(shù)R的計算,根據(jù)半閉合曲線GH可得F包圍原點的圈數(shù)R。設(shè)N為GH穿越（1，j0）點左側(cè)負實軸的次數(shù)，N表示正穿越的次數(shù)（從上往下穿越），N表示負穿越的次數(shù)（從下往上穿越），則,見書P196,2、Nyquist穩(wěn)定判據(jù),為了確定輔助函數(shù)F(S)位于右半s平面內(nèi)的所有零點、極點數(shù)，現(xiàn)將封閉曲線擴展為整個右平面。曲線由三段所組成：,（1）正虛軸s=j ：頻率由0變到；,（2）半徑為無限大的右半圓 S=Rej:R，：,（3）負虛軸s=j ：頻率由變到0。,這種包含了整個右半s平面的閉合曲線稱為Nyquist軌跡，如圖5-43所示。,設(shè)0型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,在F平面上繪制與相對應(yīng)的像F如下：

9、當s沿虛軸變化時,式中，G(j)H(j)為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,因而F由下面幾段組成：,（1）和正虛軸對應(yīng)的是頻率特性G(j)H(j)右移一個單位；,（2）和半徑為無窮大的右半圓相對應(yīng)的輔助函數(shù)F (s) 1；,（3）和負虛軸相對應(yīng)的是頻率特性對稱于實軸的鏡像。,圖5-44 開環(huán)頻率特性曲線與它在F平面上的對應(yīng)曲線,對于包含了整個右半s平面的Nyquist路徑來說，Z和P分別為閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)，而R則存在兩種提法：（1）F平面上F曲線圍繞原點的圈數(shù)；（2）GH平面上極坐標頻率特性曲線及其鏡像圍繞（1，j0）點的圈數(shù)。,利用幅角定理判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)

10、定的充要條件為F(S)函數(shù)在s平面右半部的零點數(shù)Z=0即,奈氏判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)不穩(wěn)定，即開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)在右半平面上有極點，其個數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性 曲線G(j)H(j)及其鏡像當從變化到時，將以逆時針的方向圍繞（1，j0）點P圈；若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像不包圍（1，j0）點。,利用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，還可求出該系統(tǒng)在右半s平面上的極點的個數(shù),例5-7 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,其幅頻特性圖如圖5-44左所示。試利用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 當三

11、個參數(shù)取任何正值時，系統(tǒng)的兩個開環(huán)極點都是負實數(shù)，即S平面右半部分無開環(huán)極點，P=0。頻率特性及其鏡像組成的封閉曲線如圖544右所示?？梢姡攺?時，閉合曲線并未包圍（1，j0）點，故N0。因此閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。我們也可以利用勞斯判據(jù)進行判定。,例5-8 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,試利用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 繪出該系統(tǒng)的極坐標頻率特性曲線如圖5-45所示。,已知,由圖知 ，則,所以按Nyquist判據(jù)判斷該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，其閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上的極點數(shù)為2。,利用Nyquist判據(jù)我們還可以討論開環(huán)傳遞系數(shù)K對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。當K值改變時，在任一頻率下將引起幅頻特

12、性成比例地變化，而相頻特性不受影響。對圖5-45，當頻率3時，曲線與負實軸正好相交在（2，j0）點，若傳遞系數(shù)K縮小一半，即由5.2降為2.6時，曲線恰好通過（1，j0）點，這是臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若K值進一步縮小，當K2.6時，頻率特性將從（1，j0）點的右邊穿過負實軸，整個頻率特性曲線將不再包圍（1，j0）點，這時閉環(huán)系統(tǒng)則是穩(wěn)定的了。,圖5-45 例5-8系統(tǒng)的極坐標圖及其鏡像,例5-9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-46所示，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論K值對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,圖5-46,解：圖示系統(tǒng)是一個開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)在S平面右半部分有一個極點P1，頻率特性曲線如圖547所示。當 0

13、時，曲線從負實軸（K，j0）出發(fā)；當時，曲線以90漸近角趨于坐標原點；當從變化到，頻率特性（圖中實線部分）及其鏡像（虛線部分）包圍（1，j0）點的圈數(shù)R與K值有關(guān)。,圖547繪出了K1 和 K1 時，曲線逆時針包圍了（1，j0）點1圈即R=1 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當K1時，曲線未包圍（1，j0）點，即R=0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 在本例中，K值大才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，K值小反而使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，這是與常見的最小相位系統(tǒng)截然不同之處。,圖5-47 K1 和 K1的頻率特性曲線,3、Nyquist判據(jù)在型和型系統(tǒng)中的應(yīng)用,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,為利用Nyquist判據(jù)分析型和型系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就需要修改s平面上原點

14、附近的Nyquist路徑，使它不通過s=0的開環(huán)極點又仍然能包圍整個右半s平面。方法是增補一個以原點為圓心、半徑R為無窮小的右半圓。如圖5-48所示,圖5-48 修改后的Nyquist路徑,圖5-49 極坐標圖及其鏡像,例5-10 設(shè)某型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖5-49所示。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上沒有極點，試用Nyquist判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 已知P=0，由圖可知R=0，則Z0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,例5-11 某型系統(tǒng)在s右半平面無開環(huán)極點，已知其開環(huán)頻率特性如圖5-50所示。試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 已知P=0，由圖知R=-2，則PR，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。其位于s右半平面的零點數(shù)為,圖5-

15、50 例5-11系統(tǒng)的極坐標圖及其鏡像,4、在Bode圖上判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,在極坐標圖上應(yīng)用奈氏判據(jù)時，（1,j0）點是個關(guān)鍵點，開環(huán)頻率特性G(j)H(j) 曲線是否圍繞它，怎樣圍繞它，圍繞幾圈，掌握這些信息后，就可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。,（1，j0）點表示成幅角形式是 而A()1對應(yīng)于對數(shù)幅頻坐標圖上L()0的水平線； 則對應(yīng)于對數(shù)相頻坐標圖上180的水平線。其實，極坐標圖上的整個負實軸均對應(yīng)于Bode圖上的180水平線。,在極坐標圖上， G(j)H(j) 曲線每包圍（1,j0）點一次，必然是G(j)H(j) 在A() 1的條件下穿越負實軸(1)區(qū)段一次。若G(j)H(j) 曲線逆時

16、針包圍（1,j0）點一圈，意味著G(j)H(j)曲線在(1)區(qū)段有一次正穿越；相反，若G(j)H(j) 曲線順時針包圍（1,j0）點一圈，意味著有一次負穿越。這種正負穿越在對數(shù)坐標圖上的對應(yīng)關(guān)系是：在對數(shù)坐標圖的 L() 0dB的范圍內(nèi)，當增加時，相頻特性曲線從下向上穿過180相位線為正穿越，反之為負穿越。 圖551繪出了對數(shù)坐標圖上頻率特性曲線的正穿越和負穿越。,圖5-51 在Bode圖上的正負穿越,根據(jù)對數(shù)坐標圖上頻率特性的穿越情況，可將Nyquist判據(jù)陳述如下：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在右半s平面上的極點數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：在開環(huán)對數(shù)幅頻特性 的所有區(qū)段內(nèi)

17、，當頻率增加時對數(shù)相頻特性 相位線的正負穿越次數(shù)之差為 。對于閉環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其右半s平面上的極點數(shù)為,例 5-12 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試用Bode圖判斷其閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。,解 開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為,其對數(shù)頻率特性曲線如圖5-52所示。,圖5-52 Bode圖,已知P0，又由圖可以得知，在 的頻帶范圍內(nèi),故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,5-5 穩(wěn)定裕度,控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否是絕對穩(wěn)定性的概念。而對一個穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，還存在一個穩(wěn)定程度的問題，即相對穩(wěn)定性。相對穩(wěn)定性與系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標有著密切的關(guān)系。在設(shè)計一個控制系統(tǒng)時，不僅要求它是絕對穩(wěn)定的，而且還應(yīng)保證系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定程度，即具備適當

18、的相對穩(wěn)定性。只有這樣，才能避免因建立數(shù)學模型和系統(tǒng)分析計算中的某些簡化處理，或參數(shù)變化導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。,對于一個開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有虛軸右側(cè)零極點的最小相位系統(tǒng)，G(j)H(j)曲線越靠近（1，j0）點，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的振蕩就越強烈，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就越差。因此，可用G(j)H(j)曲線對（1，j0）點的靠近程度來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度。通常，這種靠近程度是以相角裕度和幅值裕度來表示的。,一、相角裕度,在GH平面上畫一個以原點為圓心的單位圓，如圖556。當 C時， G(j)H(j)曲線正好與該單位圓相交，即A ()=1。按相角裕度的定義有：,相角裕度又叫做相角余量，簡稱相余量，它是指幅相頻率特性

19、G(j)H(j)的 幅值 的向量與負實軸的夾角，常用希臘字母 表示。,設(shè)C為系統(tǒng)的截止頻率,定義相角裕度為,由于 ，因此在Bode圖中，相角裕度表現(xiàn)為L()=0dB 處的相角 水平線之間的距離。,圖553 相角裕度與幅值裕度,二、幅值裕度,設(shè)x為系統(tǒng)的穿越頻率， x時G(j)H(j)曲線與負實軸相交，此時特性曲線的幅值為A(x)，如圖556。幅值裕度是指（1，j0）點的幅值與A(x)之比，常用h表示。,在對數(shù)坐標下，幅值裕度按下式定義：,相角裕度表示開環(huán)Nyquist圖在單位圓上離（1，j0）點的遠近程度。,幅值裕度表示開環(huán)Nyquist圖在負實軸上離（1，j0）點的遠近程度。,相角裕度的物理

20、意義在于：閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)在截止頻率 c處若開環(huán)相頻特性再滯后一個角度，則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；若開環(huán)相頻特性滯后大于 ，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。,幅值裕度的物理意義在于：閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性增大h倍，則 x處的幅值A(chǔ)(x)將等于1，曲線正好通過（1，j0）點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若開環(huán)幅頻特性增大h倍以上，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定。,對于最小相位系統(tǒng)，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，就要求相角裕度 0和幅值裕度h1。為保證系統(tǒng)具有一定的相對穩(wěn)定性，穩(wěn)定裕度就不能太小。在工程設(shè)計中一般取 3060， A(x) 0.5。,例5-12 設(shè)控制系統(tǒng)如下圖所示，當K=10和K=100時，試求系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。,解：相角裕度和幅值裕度可以從Bode圖中求得。,當k=10時，開環(huán)系統(tǒng)Bode如左所示。這時系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度大約是21度和8dB。因此系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益可以增加8dB.,相角裕度和幅值裕度的計算：,相角裕度：先求截止頻率c,在截止頻率處， ，所以 解此方