第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積

1、2021新亮劍高考總復習平面向量第五章第3節(jié)平面向量的數(shù)量積1磨劍課前自學目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學高考動態(tài)拓展知識知識查缺補漏磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄4最新考綱考向分析1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2. 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.3. 掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算.4. 能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5. 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6. 會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題1.平面向量的數(shù)量積是高考的熱點,主要考查平面向量數(shù)量積的運算、幾何意義

2、,兩向量的模、夾角以及垂直問題. 2.數(shù)量積的綜合應用是高考的重點,常與函數(shù)、三角函 數(shù)、不等式、解析幾何等內(nèi)容結合考查高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄一、平面向量的數(shù)量積|a|b|cos 1.定義:已知兩個非零向量 a 與 b,它們的夾角為 ,則數(shù)量叫作 a與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作 ab,即 ab=|a|b|cos .規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 0,即 0a=0.5高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄2.向量的夾角(1)定義:已知兩個非零向量 a 和 b,如右圖,作 =a, =b,則AOB=(0180)叫作 a 與 b 的夾角,記作.(2)當 =0時,a 與 b 共線同向;當 =

3、180時,a 與 b 共線反向;當 =90時,a 與 b 互相垂直.3.幾何意義:數(shù)量積 ab 等于 a 的長度|a|與 b 在 a 方向上的投影|b|cos ( 為向量 a與 b 的夾角)的乘積. 6高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設x1x2+y1y2 (1)ab=|a|b|c 2 + 2 (2)|a|= =;11(3)cos = =1 2 +1 2;| 2+ 2 2+ 21122x1x2+y1y2=0 (4)ab=0;(5)|ab|a|b|(當且僅當 ab 時等號成立)|x1x2+y1y2| 2+ 2 1127高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄三、平面

4、向量數(shù)量積的運算律1. ab=ba(交換律).2. ab=(ab)=a(b)(數(shù)乘結合律). 3.(a+b)c=ac+bc(分配律).8高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄1. 向量 a,b 的夾角為銳角ab0 且 a,b 不共線;向量 a,b 的夾角為鈍角ab0 且 a,b 不共線.2. 平面向量數(shù)量積的運算公式(1)(a+b)( a-b)=a2-b2; (2)(a+b)2=a2+2ab+b2;(3)(a-b)2=a2-2ab+b2.9高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識【概念辨析】判斷下列結論的正誤.(對的打“”,錯的打“”)(1) 一個向量在另一個向量上的投影為數(shù)

5、量,且有正有負,也可為零.(2) 若 ab,則必有 ab0.().).).(3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘的運算結果是向量.(4)若 ab0,則向量 a,b 的夾角為鈍角.(答案解析10目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識解析(1)正確.由向量投影的定義可知,當兩向量夾角為銳角時投影為正,為鈍角時投影為負,為直角時投影為零.(2) 錯誤.當 a 與 b 有一個為 0 時,ab=0.(3) 正確.由數(shù)量積與向量線性運算的意義可知正確. (4)錯誤.當 ab=-|a|b|0 時,a 與 b 的夾角為 .11目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識【基礎自測】1.(湖南省長沙市第一中學

6、2020 屆高三月考)已知向量 a=(k,-2),b=(2,2),a+b 為非零向量,若 a(a+b),則實數(shù) k 的值為(A).A.0B.2C.-2D.1解析a(a+b),a(a+ba+b 為非零向量,即 k+20,k=0.答案解析12目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識2.(2020 屆貴州黔東南州一模)已知在梯形 ABCD 中,ABCD,AB=2CD,且DAB=90, AB=2,AD=1,若點 Q 滿足 =2 ,則 =().DA.-10B.10C.-13D.139999解析以 A 為原點,AB 所在直線為 x 軸,AD 所在直線為 y 軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,則 B(2,0),C

7、(1,1),D(0,1).4 ,0 ,所以 = - 1 ,1 , = - 4 ,1 ,因為 =2 ,所以 Q 333所以 =4+1=13.99答案解析13目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識3.(山西省晉城市 2020 屆高三第三次模擬)設向量 m=(2,4),n=(-3,)(R),若 m3 2n,則 =.解析依題意,mn=0,即-6+4=0,解得 =3.2答案解析14目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識4.已知點 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量 在 方向上的投影為 2.3 2解析 =(2,1), =(5,5),由定義知, 在 方向上的投影為 = 15=3 2

8、.| |5 22答案解析15目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識【易錯檢測】5.已知向量 a,b 的夾角為 60, |a|=2,|b|=1,則|a+2b|= 2 3.解析( 法 一 )|a+2b|= ( + 2)2= 2 + 4 + 42= 22 + 4 2 1 cos60 + 4 12= 12=2 3.(法二:數(shù)形結合法) 由|a|=|2b|=2 可知,以 a 與 2b 為鄰邊可作出邊長為 2 的菱形 OACB,如圖,則|a+2b|=| |.又AOB=60, 所以|a+2b|=2 3. 答案解析16目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識拓展知識-36.已知正三角形 ABC 的邊長為 1,且 =c, =a,

9、 =b,則 ab+bc+ac= 2.解析由題意知=120, |a|=|b|=|c|=1,ab=bc=ac=11cos 120=-1,2ab+bc+ac=-3.2答案解析1718目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成高考真題磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄考點 1例 1平面向量數(shù)量積的運算 (1)(2020 屆成都模擬)已知菱形 ABCD 的邊長為 2,B=,點 P 滿足 = ,3R,若 =-3,則 的值為().AA.1B.-1C.1D.-12233(2)(遼寧省朝陽市重點高中 2020 屆高三模擬)已知 P 為等邊三角形 ABC 所在平面內(nèi)的一個動點,且 = (R),若| |=2,則 ( + )=(

10、C).D.與 有關的數(shù)值A.2 3B.3C.6答案解析19考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)(法一)由題意可得 =22cos =2, =( + )( -3 )=( + )( - )- =( + )( -1) - =(1-) 2- +(1-) - 2=4(1-)-2+2(1-)-4=-6=-3,=1.2(法二)建立如圖所示的平面直角坐標系,則 B(2,0),C(1, 3),D(-1, 3). 令 P(x,0),由 =(-3, 3)( x-1,- 3)=-3x+3-3=-3x=-3,解得 x=1. = ,=1.2 20考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄(2) 如圖,以 BC 中點為坐標原點 O,

11、BC 所在直線為 x 軸,OA 所在直線為 y 軸,建立平面直角坐標系.因為| |=2,所以| |= 3,因為 P 為等邊三角形 ABC 所在平面內(nèi)的一個動點,且 = (R), 所以點 P 在直線 BC 上,所以 在 方向上的投影為| |,因此 ( + )=2 =2| |2=6.21考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：平面向量數(shù)量積的三種運算方法:(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即 ab=|a|b|cos. (2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.提示:解決涉及幾何

12、圖形的向量的數(shù)量積運算問題時,可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡后再運算,但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關系是相等還是互補. 22考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 1】1.(2020 屆上饒模擬)設 D,E 為正三角形 ABC 的 BC 邊上的兩個三等分點,且BC=2,則 等于(C).A.4B.8C.26D.269993答案解析23考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析如圖, | |=| |=2,=60,D,E 是邊 BC 的兩個三等分點,1 1 2 1 1 2 = + = + + + 333333=2| |2+5 +2| |2=24+5221+24=26.99

13、99929924考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.(天津市部分區(qū) 2020 屆高三聯(lián)考)已知菱形 ABCD 的邊長為 2,ABC=60,22點 E,F 分別在邊 AD,DC 上, =1( + ), =1 ,則 =. 323解析如圖,連接 AC,BD,交點為 O,以 O 為原點,以 OC,OD 所在直線分別為 x 軸,y 軸建立平面直角坐標系.菱形的邊長為 2,ABC=60,A(-1,0),B(0,- 3),C(1,0),D(0, 3). =1( + ),E 為 AD 的中點,E - 1 , 3 .222 =1 ,F1 , 2 3 . = - 1 , 3 3 , = 1 , 5 3 , 3332

14、233答案解析 =-1+15=22.62325 考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其應用考向 1:平面向量的模例 2A. 2(1)(2020 屆昆明調(diào)研)已知向量 a=(-1,2),b=(1,3),則|2a-b|=(C).B.2C. 10D.10(2) 如圖,在ABC 中,O 為 BC 的中點,若 AB=1,AC=3, 與 的夾角為 60, 則 13| |=. 2答案解析26考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)因為 a=(-1,2),所以 2a=(-2,4),因為 b=(1,3),所以 2a-b=(-3,1),所以|2a-b|= 10,故選 C.(2) =| | |

15、cos 60 =131=3,又 =1( + ),222所以 2=1( + )2=1( 2+2 + 2),44即 2=1(1+3+9)=13,44所以| |= 13.227考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：求平面向量的模的常用方法:1.若向量 a 是以坐標形式出現(xiàn)的,可直接利用公式|a|= 2 + 2求向量 a 的模;2.若向量 a,b 是以非坐標形式出現(xiàn)的,可應用公式|a|2=a2=aa,或|ab|2=(ab)2=a22ab+b2 求向量的模,即先求向量模的平方,再通過向量數(shù)量積的運算求解. 28考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 2:平面向量的夾角例 3(1)(廣東省潮州市 2020

16、屆高三第二次模擬)已知向量 a,b 為單位向量,且a+b 在 a 的方向上的投影為 3+1,則向量 a 與 b 的夾角為(). 2A.B.C.D.6432(2)若向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知 2a-3b 與 c 的夾角為鈍角,則 k 的取值 -,- 9 - 9 ,3 范圍是. 22答案解析29考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)設向量 a 與 b 的夾角為 ,因為向量 a,b 為單位向量,且 a+b 在 a的方向上的投影為 3+1,所以(a+b)a=|a| 3 + 1 ,變形可得 1+ab= 3+1,即222ab=11cos =cos = 3,又 0,則 =

17、.26(2)因為 2a-3b 與 c 的夾角為鈍角,所以(2a-3b)c0,即(2k-3,-6)(2,1) 0,所以 4k-6-60,所以 k3.又當 k=-9時,(2a-3b)c,2所以 k 的取值范圍是 k3 且 k-9.230考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：求向量夾角問題的方法:(1)當 a,b 是非坐標形式時,要求 a 與 b 的夾角 ,需求出 ab 及|a|,|b|或得出它們之間的關系.1 2 +1 2(2)若已知 a=(x1,y1)與 b=(x2,y2),則 cos=. 2 + 2 2+ 21122提醒:0,. 31考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 3:平面向量的垂直問題

18、例 4(1)(江西省臨川第一中學 2020 屆高三模擬)已知向量 a=(2,1),b=(m,-1),且 a(a-b),則 m 的值為(). C.1 或 3A.1B.3D.4(2)(2016 年全國卷)設向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m= -2.答案解析32考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)因為 a=(2,1),b=(m,-1),所以 a-b=(2-m,2),因為 a(a-b),所以 a( a-b)=2(2-m)+2=0,解得 m=3.(2)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得 ab=0,所以 m1+12=0,得 m=-2.33考點探究素養(yǎng)達

19、成高考真題目 錄方法總結：平面向量垂直問題的類型及求解方法:(1) 判斷兩向量垂直:第一,計算出這兩個向量的坐標;第二,根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式,計算出這兩個向量的數(shù)量積為 0 即可.(2) 已知兩向量垂直求參數(shù):根據(jù)兩個向量垂直的充要條件,列出相應的關系式,進而求解參數(shù). 34考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 2】1.(江西撫州 2020 屆高三第三次聯(lián)考)已知向量 a=(x,1),b=(4,-2),若 ab,則|a+b|= 5 .解析由 ab,得-2x=4,即 x=-2,則 a+b=(2,-1),所以|a+b|= 5.答案解析35考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.已知平面向量 a,

20、b 的夾角為 ,且|a|= 3,|b|=2,在ABC 中, =2a+2b, =2a-6b,D6 ).為 BC 中點,則| |等于(A.2B.4C.6D.8因為 =1( + )=1(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,解析22所 以 | |2=4(a-b)2=4(a2-2ab+b2)=4 3-2 2 3 cos + 4 =4,6則| |=2.答案解析36考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄3.(山西省太原市 2020 屆高三模擬)已知|a|=1,|b|= 3,且(a+b)(3a+b),則向量 a 與b 的夾角為(A.60 ).B.120C.30D.150解析因為(a+b)(3a+b),所以(a+b)

21、(3 a+b)=0,即 3a2+4ab+b2=0,所以-6=- 3,所以=150.3+3+4 3cos=0, 即 cos=4 32答案解析37考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄4.已知向量 a=(x2,x+2),b=(- 3,-1),c=(1, 3),若 ab,則 a 與 c 的夾角為(). A.B.C.2D.56336cos= =-2 3=- 3,由 x20 且 ab 得 a,b 反向共線,則解析|42cos=-cos= 3,又0,則= .26答案解析38考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄5.(湖北省武漢市 2020 屆高考數(shù)學模擬)已知向量 a=(1,2),b=(2,1),c=(1,n),若(2a

22、-3b)c,則 n= 4.解析2a-3b=(-4,1),(2a-3b)c,(2a-3b)c=0,n=4.答案解析39考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄 36.已知向量 a,b 均為非零向量,(a-2b)a,(b-2a)b,則 a,b 的夾角為.解析因為(a-2b)a,(b-2a)b,所以(a-2b)a=0,(b-2a)b=0,即 a2-2ab=0,b2-2ab=0,所以 b2=a2=2ab,2即 cos= = 2=1.|22因為0,所以= .3 答案解析40考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點3平面向量與三角函數(shù)的綜合例 5已知向量 a= cos 3 ,sin 3 ,b= cos ,-sin ,且

23、x - , .222234(1) 求 ab 及|a+b|;(2) 若 f(x)=ab-|a+b|,求 f(x)的最大值和最小值.解析41考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)ab=cos3cos-sin3sin=cos 2x.2222a+b= cos 3 + cos ,sin 3 -sin,222222|a+b|= cos 3 + cos + sin 3 -sin = 2 + 2cos2=2|cos x|.2222x - , ,cos x0,|a+b|=2cos x.342-3.(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2 cos- 1 22x - , ,1

24、cos x1,342當 cos x=1時,f(x)取得最小值,最小值為-3;當cos x=1 時,f(x)取得最大值,最22大值為-1.42考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：平面向量與三角函數(shù)的綜合:(1) 題目條件給出的向量坐標中含有三角函數(shù)的形式,運用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關系式,然后求解.(2) 給出用三角函數(shù)表示的向量坐標,要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式,解題思路是經(jīng)過向量的運算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等. 43考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 3】在ABC 中,A,B,C 的對邊分別為 a,b,c,已知向量m= cos,2c

25、os2 -1 ,n=(c,b-2a), 且 mn=0.2(1)求 C 的大小;(2)若點 D 為邊 AB 上一點,且滿足 = ,| |= 7,c=2 3,求ABC 的面積.解析44考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)因為 m=(cos B,cos C),n=(c,b-2a),mn=0,所以 ccos B+(b-2a)cos C=0.在ABC 中,由正弦定理得 sin Ccos B+(sin B-2sin A)cos所以 sin A=2sin Acos C,C=0,又 sin A0,所以 cos C=1,因為 C(0,),所以 C= .23(2)由 = 得 - = - ,所以 2 = + ,

26、兩邊平方得 4| |2=b2+a2+2abcosACB=b2+a2+ab=28.又 c2=a2+b2-2abcosACB,所以 a2+b2-ab=12.=1absinACB=2 3.由得 ab=8,所以 SABC2 45考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄數(shù)學直觀與數(shù)算解析法在平面向量中的應用例(1)已知在直角梯形 ABCD 中,ADBC,ADC=90, AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的動點,則| +3 |的最小值為 5.(2)已知正方形 ABCD 的邊長為 2,E 是 BC 的中點,以 C 為圓心,CE 的長為半徑作圓,點 2- 5,2+ 5. P,答案解析46考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄(1)如圖,以 D 為原點,分別以 DA,DC 所在的直線為 x 軸,y 軸建立平面直角坐標系.設 DC=a,DP=m,0ma,則 D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,m), =(2,-m), =(1,a-m), +3 =(5,3a-4m),| +3 |2=25+(3a-4m)225,當且僅當 m=3時等號成立,4| +3 |的最小值為 5.47考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄(2)以 C 為原點建立如圖所示的