高中生能聽懂的有關(guān)“三大幾何作圖難題”的探討

1、三大尺規(guī)作圖難題,1.尺規(guī)作圖的由來(lái),尺規(guī)作圖是起源于古希臘(公元前800年 - 公元前146年)的數(shù)學(xué)課題。只使用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題。 歐幾里得在幾何原本 中對(duì)規(guī)則作了總結(jié)。,2.尺規(guī)作圖的基本方法,（1）通過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可作一直線。（2）已知圓心和半徑可作一個(gè)圓。（3）若兩已知直線相交，可求其交點(diǎn)。（4）若已知直線和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)。（5）若兩已知圓相交，可求其交點(diǎn)。,3.尺規(guī)作圖的五種基本圖形,（1）作一個(gè)角等于已知角（2）平分已知角（3）作已知直線的垂直平分線（4）作一條線段等于已知線段（5）過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線,4.三大幾何

2、問(wèn)題,（1）化圓為方 求作一正方形，使其面積等于一已知圓 （2）三等分角 分任意角為三等分 （3）倍立方體 求作一正方體，使其體積等于已知正方體體積的2倍。,作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積。,三大幾何問(wèn)題（1）：化圓為方,你能把長(zhǎng)方形化為等面積的正方形嗎？,作圖演示,阿基米德（約公元前287前212），古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。后人常把阿基米德和牛頓、高斯并列為有史以來(lái)三個(gè)貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家。,阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”,阿基米德螺線 你能想象嗎？時(shí)鐘上的指針在作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，假如有一只小蟲子從時(shí)鐘的中心，沿指針作勻速爬動(dòng)，那么蟲子最終走出的軌跡是怎么樣的？,幾何畫板演示,阿基米德

3、的非尺規(guī)作圖“化圓為方”,阿基米德螺線的簡(jiǎn)單畫法,有一種最簡(jiǎn)單的方法畫出阿基米德螺線，,如圖,4,，,用一根線纏在一個(gè)線軸上，,在其游離端綁上一小環(huán)，,把線軸按在一張紙上，,并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，,用鉛筆,拉緊線，,并保持線在拉緊狀態(tài)，,然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，,就得到,了阿基米德螺線。,阿基米德螺線的簡(jiǎn)單畫法,有一種最簡(jiǎn)單的方法畫出阿基米德螺線，,如圖,4,，,用一根線纏在一個(gè)線軸上，,在其游離端綁上一小環(huán)，,把線軸按在一張紙上，,并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，,用鉛筆,拉緊線，,并保持線在拉緊狀態(tài)，,然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，,就得到,了阿基米德螺線。,阿基米德螺線的簡(jiǎn)單畫法

4、,有一種最簡(jiǎn)單的方法畫出阿基米德螺線，,如圖,4,，,用一根線纏在一個(gè)線軸上，,在其游離端綁上一小環(huán)，,把線軸按在一張紙上，,并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，,用鉛筆,拉緊線，,并保持線在拉緊狀態(tài)，,然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，,就得到,了阿基米德螺線。,阿基米德螺線的簡(jiǎn)單畫法 有一種最簡(jiǎn)單的方法畫出阿基米德螺線，如圖，用一根線纏在一個(gè)線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線 在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出 由線軸松開的線的軌跡，就得 到了阿基米德螺線。,阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”,阿基米德螺線化圓為方,阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”,達(dá)

5、芬奇式化圓為方,意大利著名藝術(shù)大師達(dá)芬奇利用巧妙方法來(lái)解決化圓為方.,達(dá)芬奇的非尺規(guī)作圖“化圓為方”,是一個(gè)超越數(shù) 化圓為方能用尺規(guī)作圖,“化圓為方”的本質(zhì),三大幾何問(wèn)題（2）：三等分角,先退一步 任意給你一個(gè)角，你能把它而等分嗎？,三大幾何問(wèn)題（2）：三等分角,任意給你一個(gè)角，請(qǐng)你把它三等分。,這么簡(jiǎn)單的事， 居然是歷史難題！,阿基米德的非尺規(guī)作圖“三等分角”,非尺規(guī)作圖“三等分角”,O,A,B,R,R,母線：3R,底面半徑：R,3R,3R,B,A,V,1896年，奧布里給出圓錐妙法,非尺規(guī)作圖“三等分角”,O,A,B,O,A,B,沒(méi)有有理根,三大幾何問(wèn)題（3）：倍立方體,作一個(gè)立方體，使它

6、的體積是已知立方體的體積 的兩倍,據(jù)說(shuō)，公元前四百多年，在古希臘雅典流行傷寒病。萬(wàn)分驚惶的雅典人，向太陽(yáng)神阿波羅祈禱消除災(zāi)難。太陽(yáng)神指示：要消災(zāi)免禍，必須把殿前立方體香案的體積擴(kuò)大兩倍。 雅典人聽了非常高興，覺(jué)得這個(gè)要求很容易辦到。于是就把香案的各條棱都擴(kuò)大了兩倍，做了個(gè)新立方體香案。不料太陽(yáng)神大為震怒。原來(lái)新香案的體積并不是舊香案的兩倍，而是舊香案的八倍。 那么，怎樣才能把立方體香案的體積正好擴(kuò)大兩倍呢？如果設(shè)原來(lái)香案的棱長(zhǎng)為1，新香案的棱長(zhǎng)就必須是2的立方根。當(dāng)時(shí)沒(méi)人能解決的。于是，只好去請(qǐng)教久負(fù)盛名的大學(xué)者柏拉圖。,非尺規(guī)作圖“倍立方體”,柏拉圖先畫了兩條互相垂直相交于O點(diǎn)的直線m和l，

7、在l上截取線段OC1；在m上截取線段OD2。再把兩個(gè)木匠用的角尺，像下圖那樣放在上面，使兩把角尺的直角點(diǎn)A、B，分別在兩條直線上，并且另外兩條臂分別通過(guò)C、D兩點(diǎn)(如圖)：,非尺規(guī)作圖“倍立方體”,作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積 的兩倍,不是有理根,從方程角度理解“尺規(guī)作圖”,（1）通過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可作一直線。（2）已知圓心和半徑可作一個(gè)圓。（3）若兩已知直線相交，可求其交點(diǎn)。（4）若已知直線和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)。（5）若兩已知圓相交，可求其交點(diǎn)。,一次,二次,一次,一次、二次,二次,在三大幾何作圖難題中，其方程式既不是一次的也不是二次的，而是三次的，或者還牽涉到超越數(shù)。因此，只用直尺和圓規(guī)是不能夠推導(dǎo)出這類方程式或數(shù)字的。,雖然我們看到，這些古代難題用直尺和圓規(guī)畫不出來(lái)，但是人們?cè)?解答過(guò)程中創(chuàng)造出了很多了不起的方法和工具。同樣重要的是，幾個(gè) 世紀(jì)來(lái)，這些問(wèn)題激發(fā)了人們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。尼克美狄斯（Nicomedes) 的蚌線，阿基米德（Archimedes)的螺線，希庇亞斯（Hippias)的割圓曲線、圓錐截面、三次曲線、四次曲線和多次超越曲線等，都是從這三個(gè)難題中衍生出來(lái)的。,希臘人的興趣并不在于尺規(guī)作圖能否作出，而是在條件（規(guī)則）限制下從理論上去解決這些