第五章 離散選擇模型(20140429)

1、第五章 離散選擇模型在初級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了解釋變量是虛擬變量的情況，除此之外，在實(shí)際問題中，存在需要人們對(duì)決策與選擇行為的分析與研究，這就是被解釋變量為虛擬變量的情況。我們把被解釋變量是虛擬變量的線性回歸模型稱為離散選擇模型，本章主要介紹這一類模型的估計(jì)與應(yīng)用。本章主要介紹以下內(nèi)容：1、為什么會(huì)有離散選擇模型。2、二元離散選擇模型的表示。3、線性概率模型估計(jì)的缺陷。4、Logit模型和Probit模型的建立與應(yīng)用。第一節(jié) 模型的基礎(chǔ)與對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象一、問題的提出在研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象時(shí)，常常遇見一些特殊的被解釋變量，其表現(xiàn)是選擇與決策問題，是定性的，沒有觀測(cè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)；或者其觀測(cè)到的是受某

2、種限制的數(shù)據(jù)。1、被解釋變量是定性的選擇與決策問題，可以用離散數(shù)據(jù)表示，即取值是不連續(xù)的。例如，某一事件發(fā)生與否，分別用1和0表示；對(duì)某一建議持反對(duì)、中立和贊成5種觀點(diǎn)，分別用0、1、2表示。由離散數(shù)據(jù)建立的模型稱為離散選擇模型。2、被解釋變量取值是連續(xù)的，但取值的范圍受到限制，或者將連續(xù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為類型數(shù)據(jù)。例如，消費(fèi)者購買某種商品，當(dāng)消費(fèi)者愿意支付的貨幣數(shù)量超過該商品的最低價(jià)值時(shí)，則表示為購買價(jià)格；當(dāng)消費(fèi)者愿意支付的貨幣數(shù)量低于該商品的最低價(jià)值時(shí)，則購買價(jià)格為0。這種類型的數(shù)據(jù)成為審查數(shù)據(jù)。再例如，在研究居民儲(chǔ)蓄時(shí)，調(diào)查數(shù)據(jù)只有存款一萬元以上的帳戶，這時(shí)就不能以此代表所有居民儲(chǔ)蓄的情況，這種

3、數(shù)據(jù)稱為截?cái)鄶?shù)據(jù)。這兩種數(shù)據(jù)所建立的模型稱為受限被解釋變量模型。有的時(shí)候，人們甚至更愿意將連續(xù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為上述類型數(shù)據(jù)來度量，例如，高考分?jǐn)?shù)線的設(shè)置，就把高出分?jǐn)?shù)線和低于分?jǐn)?shù)線劃分為了兩類。下面是幾個(gè)離散數(shù)據(jù)的例子。例5.1 研究家庭是否購買住房。由于，購買住房行為要受到許多因素的影響，不僅有家庭收入、房屋價(jià)格，還有房屋的所在環(huán)境、人們的購買心理等，所以人們購買住房的心理價(jià)位很難觀測(cè)到，但我們可以觀察到是否購買了住房，即 我們希望研究買房的可能性，即概率的大小。例5.2 分析公司員工的跳槽行為。員工是否愿意跳槽到另一家公司，取決于薪資、發(fā)展?jié)摿Φ戎T多因素的權(quán)衡。員工跳槽的成本與收益是多少，我們無

4、法知道，但我們可以觀察到員工是否跳槽，即 例5.3 對(duì)某項(xiàng)建議進(jìn)行投票。建議對(duì)投票者的利益影響是無法知道的，但可以觀察到投票者的行為只有三種，即 研究投票者投什么票的可能性，即。從上述被解釋變量所取的離散數(shù)據(jù)看，如果變量只有兩個(gè)選擇，則建立的模型為二元離散選擇模型，又稱二元型響應(yīng)模型；如果變量有多于二個(gè)的選擇，則為多元選擇模型。本章主要介紹二元離散選擇模型。離散選擇模型起源于Fechner于1860年進(jìn)行的動(dòng)物條件二元反射研究。1962年，Warner首次將它應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域，用于研究公共交通工具和私人交通工具的選擇問題。70-80年代，離散選擇模型被普遍應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)布局、企業(yè)選點(diǎn)、交通問題、

5、就業(yè)問題、購買行為等經(jīng)濟(jì)決策領(lǐng)域的研究。模型的估計(jì)方法主要發(fā)展于20世紀(jì)80年代初期。（參見李子奈，高等計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，清華大學(xué)出版社，2000年，第155頁-第156頁）二、線性概率模型對(duì)于二元選擇問題，可以建立如下計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型。1、線性概率模型的概念設(shè)家庭購買住房的選擇主要受到家庭的收入水平，則用如下模型表示其中，為家庭的收入水平，為家庭購買住房的選擇，即Y01概率1-pp由于是取值為0和1的隨機(jī)變量，并定義取值為1的概率是p，則的分布為 即隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布。根據(jù)兩點(diǎn)分布，可得的數(shù)學(xué)期望為顯然從而 （5-1）上述數(shù)學(xué)模型的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋是，因?yàn)檫x擇購買住房變量取值是1，其概率是p，并且這時(shí)對(duì)應(yīng)

6、p的表示是一線性關(guān)系，因此，在給定下的條件期望可解釋為在給定下，事件（家庭購買住房）將發(fā)生的條件概率為，亦即家庭選擇購買住房的概率是家庭收入的一個(gè)線性函數(shù)。我們稱這一關(guān)系式為線性概率函數(shù)。由于，服從兩點(diǎn)分布，所以，的方差為2、線性概率函數(shù)的估計(jì)及存在的問題對(duì)線性概率函數(shù)直接運(yùn)用OLS估計(jì)，會(huì)存在以下困難。（1）隨機(jī)誤差項(xiàng)的非正態(tài)性表現(xiàn)表明服從兩點(diǎn)分布。而在經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，假定服從正態(tài)分布。（2）的異方差性。事實(shí)上，根據(jù)服從兩點(diǎn)分布概率則的方差為。表明隨著i的變動(dòng)是一個(gè)變量，則的方差不是一個(gè)固定常數(shù)。（3）利用加權(quán)最小二乘法修正異方差取權(quán)數(shù)為可以證明具有同方差。在具體估計(jì)線性概率模型時(shí)，用作為

7、p的估計(jì)來計(jì)算權(quán)數(shù)的估計(jì)。3、可決系數(shù)的非真實(shí)性。由于，被解釋變量只取值1或0，不可能有估計(jì)的線性概率模型能很好地?cái)M合這些點(diǎn)，所以，這時(shí)計(jì)算的會(huì)比1小許多，在大多數(shù)例子中，介于0.2與0.6之間。4、01不成立?？朔@一問題可直接從對(duì)線性概率模型的估計(jì)，求出，用人工的方法定義當(dāng)1時(shí)，取=1；當(dāng)1時(shí)，取=1當(dāng)0，則，因此，在其它條件不變的情況下，平均分?jǐn)?shù)每增加一個(gè)單位，將導(dǎo)致接受新教學(xué)方法后成績有所改善的發(fā)生比會(huì)相應(yīng)提高。同理，對(duì)于變量TUCE也可作類似的討論；由于PSI為虛擬解釋變量，表示是否接受新教學(xué)方法，如果接受取1，否則取0，因此，在其它條件不變的情況下，當(dāng)PSI=1時(shí)，則將會(huì)使接受新教

8、學(xué)方法后，學(xué)習(xí)成績改善的發(fā)生比有所提高，而當(dāng)PSI=0時(shí)，則將會(huì)使接受新教學(xué)方法后，學(xué)習(xí)成績改善的發(fā)生比保持不變。2、用概率來解釋Logit模型的系數(shù)除了解釋變量對(duì)于對(duì)數(shù)發(fā)生比的偏作用外，有時(shí)也用事件發(fā)生的概率來解釋模型中系數(shù)的偏作用。對(duì)事件發(fā)生概率的偏作用可以通過對(duì)Logit模型 求的偏導(dǎo)數(shù)來加以解釋。其求導(dǎo)結(jié)果如下 于是，變量對(duì)事件發(fā)生概率的偏作用就等于該解釋變量的系數(shù)與的乘積。因?yàn)橛肋h(yuǎn)為正值，所以偏作用的符號(hào)由決定，作用的幅度依賴于的幅度和對(duì)應(yīng)于特定值的概率，而它與模型中所有其它解釋變量有關(guān)。因此，不同于對(duì)發(fā)生比作用的解釋，對(duì)事件發(fā)生概率的偏作用是隨值的變化而變化的。這就需要在討論變量對(duì)

9、事件發(fā)生概率的偏作用時(shí)，應(yīng)將概率值計(jì)算出來后，才能解釋其偏作用。3、預(yù)測(cè)概率與一般線性回歸模型一樣，根據(jù)Logit模型也可以獲得事件發(fā)生的預(yù)測(cè)概率。以一個(gè)解釋變量的Logit模型為例，如果我們知道參數(shù)估計(jì)和，并確定某一事件的，便可將其代入Logit模型，計(jì)算預(yù)測(cè)概率。計(jì)算公式為 在計(jì)算預(yù)測(cè)概率的基礎(chǔ)上，還進(jìn)一步計(jì)算在解釋變量發(fā)生離散變化時(shí)預(yù)測(cè)概率的變化，這種方法被稱為概率離散變化法。其計(jì)算公式是 另外，與一般線性回歸模型一樣，由一個(gè)解釋變量的Logit模型也可擴(kuò)展到多個(gè)解釋變量的Logit模型，見下式 相應(yīng)的對(duì)數(shù)發(fā)生比為 類似多元線性回歸模型，在Logit模型中，由于多個(gè)解釋變量可能會(huì)以多個(gè)不

10、同的尺度加以測(cè)量，這個(gè)時(shí)候要直接對(duì)比不同解釋變量對(duì)發(fā)生比的影響是不行的，因此，需要對(duì)解釋變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換，將解釋變量和被解釋變量由非標(biāo)準(zhǔn)化變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)化變量，從而，才直接對(duì)比各個(gè)解釋變量對(duì)發(fā)生比的影響大小。其變換方法與多元線性回歸模型一樣?？蓞⒁娡鯘?jì)川、郭志剛，Logistic回歸模型方法與應(yīng)用，高等教育出版社，2001年。第115頁-第117頁。第三節(jié) Probit模型一、Probit模型及參數(shù)估計(jì)在前面已經(jīng)看到，由S型曲線，可分別得到累積分布函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，對(duì)于后者可建立一個(gè)二元選擇的Probit模型。單一解釋變量的Probit模型為 式中分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)

11、。與Logit模型的參數(shù)估計(jì)相似，對(duì)Probit模型的參數(shù)估計(jì)也可采用最大似然估計(jì)方法。有的教科書還介紹了一種運(yùn)用效用行為選擇理論建立Probit模型，并采用群組數(shù)據(jù)對(duì)Probit模型的參數(shù)應(yīng)用OLS方法進(jìn)行估計(jì)（參見Damodar N.Gujarati 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)（第四版）下冊(cè)，中國人民大學(xué)出版社，2005年，第569頁-573頁）。這里我們僅根據(jù)計(jì)算軟件EViews的功能，介紹最大似然估計(jì)法對(duì)Probit模型參數(shù)的估計(jì)。在樣本分布與總體分布一致的前提下，按隨機(jī)抽樣原則抽取樣本，對(duì)n個(gè)樣本，建立對(duì)數(shù)似然函數(shù) 上述模型的最大似然估計(jì)就是使該表達(dá)式有最大值時(shí)的的估計(jì)、。具體求解過程這里不再贅述。 例 在前述新教學(xué)方法的例子里，運(yùn)用EViews軟件里的Probit模型估計(jì)方法得到如下結(jié)果寫出具體表達(dá)式為關(guān)于系數(shù)的解釋可以從兩個(gè)方面考慮。 1、用預(yù)測(cè)概率的方法 2、對(duì)概率的邊際作用相關(guān)內(nèi)容可參見，王濟(jì)川、郭志剛，Logistic回歸模型方法與應(yīng)用，高等教育出版社，2001年。二、Logit模型與Probit模型的比較綜合來看，在二分類被解釋變量情況下，Logit模型與Probit模型的結(jié)果十分接近，這是因?yàn)樯蒐ogit模型的累積分布函數(shù)和累積正態(tài)分布函數(shù)之間非常接近。盡管兩種模型有相似的分布函數(shù)，但是，兩種函數(shù)卻有以下兩點(diǎn)不同：一是函數(shù)