集美大學(xué)第五屆《高等數(shù)學(xué)》(理工類(lèi))競(jìng)賽試卷參考解答

1、集 美 大 學(xué) 試 卷 紙（參考解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)） 2012 2013 學(xué)年 第 二 學(xué)期課程名稱(chēng)高等數(shù)學(xué)(理工類(lèi))試卷卷別競(jìng)賽試卷A適 用學(xué)院、專(zhuān)業(yè)、年級(jí)全校10-12級(jí)：信息工程學(xué)院、計(jì)算機(jī)工程學(xué)院、機(jī)械工程學(xué)院各專(zhuān)業(yè)及電氣、船舶、教技、物理、光電、數(shù)學(xué)、信計(jì)專(zhuān)業(yè)考試方式閉卷 開(kāi)卷 備注1.本試卷共6頁(yè)，答題前請(qǐng)檢查；2.考試時(shí)間150分鐘?？偡诸}號(hào)一二 三四五 六七得分閱卷人得分一、填空題(共40分，每小題5分)1. 3 .2. 設(shè)，則的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型是 是的第二類(lèi)間斷點(diǎn) .3. 已知，則 .4. 設(shè)對(duì)一切滿(mǎn)足方程，且在取得極值，則是極 小 值點(diǎn)5. 已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量，且當(dāng)時(shí)，是的

2、高階無(wú)窮小，則 .6. 設(shè)函數(shù)由方程確定，則 2 .7.設(shè)為橢圓，其周長(zhǎng)為，則 8. 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3，則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 . 得分二、求極限.（10分）解 因?yàn)槭且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù)，所以對(duì)任一正整數(shù)有 . 3分對(duì)于任意的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使，從而 ， 于是有 . 8分 當(dāng)時(shí)，. 則由夾逼準(zhǔn)則得 10分 得分三、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，記，試求，并討論的連續(xù)性.（10分)解 因設(shè)存在,所以有.又因連續(xù),得,從而有 2分令，則當(dāng)時(shí)，從而 由連續(xù)，知必連續(xù)，于是在時(shí)連續(xù). 6分由導(dǎo)數(shù)定義及洛必達(dá)法則，得. 8分又 ，所以在處連續(xù).于是為連續(xù)函數(shù). 10分得分四、設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)任意正整數(shù)恒有求及.（7分)解 由連續(xù)知可積，所以存在，使 2分令，由于單調(diào)增加且有上界，所以存在. 5分于是 , 即，所以 7分得分五、設(shè)函數(shù) 滿(mǎn)足，且.（1）試求函數(shù)的表達(dá)式；（2）若，求.（13分)解 (1)設(shè)，則 ，. 2分 而， 4分于是由，得.解此微分方程，得,即. 8分又,知. 所以. 10分(2)利用洛必達(dá)法則，有. 13分得分六、計(jì)算，其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第卦限部分的上側(cè).（10分)解 （利用兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系求解）平面的法向量，則， 3分于是. 10分得分七、記，設(shè)方程有三個(gè)相異的實(shí)根，且，試證：（1）（2）若，則存在點(diǎn)，使.（10分)證明 (1)由題意可設(shè)