第15章-電路的矩陣形式

1、第十五章 電路方程的矩陣形式v 重 點(diǎn)1、掌握關(guān)聯(lián)矩陣A、基本回路矩陣Bf、基本割集矩陣Qf三種矩陣的列寫(xiě)2、熟悉回路電流方程、結(jié)點(diǎn)電壓方程和割電壓方程的矩陣形式v 難 點(diǎn)理解大規(guī)模電路分析方法對(duì)電路的計(jì)算機(jī)輔助分析與設(shè)計(jì)的作用本章劃分小節(jié)：15-1 基本概念15-2 A-Aa，B-Bf，Q-Qf基本矩陣*15-3 回路電流方程的矩陣形式15-4 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式15-5 割集電壓方程的矩陣形式本章作業(yè)：15-115-915-415-1015-1315-1 基本概念一、網(wǎng)絡(luò)的圖二、 樹(shù)、基本回路與基本割集一、網(wǎng)絡(luò)的圖1、網(wǎng)絡(luò)圖論網(wǎng)絡(luò)圖論是圖論在電路理論中的應(yīng)用。主要通過(guò)電路的結(jié)構(gòu)及其連接

2、性質(zhì)，對(duì)電路進(jìn)行分析計(jì)算。2、支路Branch每一個(gè)電路元件或多個(gè)電路元件的某種組合用一條線段代替，稱(chēng)為支路。IskR- U1 skR212+ZkkkUk+-3、節(jié)點(diǎn)Node每一個(gè)電路元件的端點(diǎn)，或多個(gè)電路元件相連接的點(diǎn)，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。在電網(wǎng)絡(luò)理論中，通常節(jié)點(diǎn)是指支路的匯集點(diǎn)。IskRR2U1-+skZkkUk+-4、路徑Path從一個(gè)結(jié)點(diǎn)沿某些支路移動(dòng)到另一結(jié)點(diǎn)，則這些支路就是一條路徑。5、回路Loop一條路徑的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合所形成的不重復(fù)的閉合路徑。6、網(wǎng)孔Mesh平面圖中自然的“孔”，它限定的區(qū)域內(nèi)不再有支路。7、網(wǎng)絡(luò)的圖Graph節(jié)點(diǎn)和支路的集合，稱(chēng)為圖，每一條支路的兩端都連接到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)

3、上。n1n2b1b5b6b4b8b7b2n3b3n48、連通圖和有向圖當(dāng)圖G 中的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間至少存在一條路徑時(shí)，稱(chēng)為連通圖。有向圖是指各個(gè)支路規(guī)定了參考方向的圖，反之，稱(chēng)為無(wú)向圖。15+2510V2313n1n2-7b1b5b6b4b2b8b7n4n3b3二、 樹(shù)、基本回路與基本割集1、樹(shù)Tree一個(gè)連通圖G的樹(shù)T是指G的一個(gè)連通子圖，它包含G的全部節(jié)點(diǎn)，但不含 任何回路。構(gòu)成樹(shù)的支路稱(chēng)為“樹(shù)支”， 圖G中不屬于T 的其他支路稱(chēng)為“連支”，其集合稱(chēng)為“樹(shù)余”。、基本回路只含一條連支的回路稱(chēng)為單連支回路，它們的總和為一組獨(dú)立回路，稱(chēng)為“基本回路”。樹(shù)一經(jīng)選定，基本回路唯一地確定下來(lái)。111

4、acacac2b32b32b3dedede444fff1111acacacac2b32b3 2b32b3dededede4444ffffCut set、割集連通圖G的割集是指其一個(gè)支路集合：1、把這些支路全部移去（保留節(jié)點(diǎn)） 后，將使連通圖分離成各自連通的兩個(gè)部分；2、少移去其中一條支路,圖仍然是連通的。、基本割集只含一條樹(shù)支的割集稱(chēng)為單樹(shù)支割集，它們的總和稱(chēng)為“基本割集”。1111acacacac232323bbb23bdededede4444ffff15-2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣與割集矩陣三個(gè)矩陣研究的對(duì)象行結(jié)點(diǎn)列支路關(guān)聯(lián)矩陣AaA回路矩陣BBf回路支路割集矩陣QQf割集支路1-1、增廣關(guān)聯(lián)

5、矩陣AanbAa定義：行對(duì)應(yīng)圖的節(jié)點(diǎn)，列對(duì)應(yīng)圖的各個(gè)支路。Aa=ajk中：u 當(dāng)節(jié)點(diǎn)j與支路bk無(wú)關(guān)聯(lián)時(shí)， ajk=0u 當(dāng)節(jié)點(diǎn)j與支路bk關(guān)聯(lián)，且支路電流的參考方向離開(kāi)節(jié)點(diǎn)時(shí)， ajk= + 1u 當(dāng)節(jié)點(diǎn)j與支路bk關(guān)聯(lián)，且支路電流的參考方向指向節(jié)點(diǎn)時(shí)， ajk= - 110011001100010011000100110000000111例題1：寫(xiě)出Aa矩陣。n4分析：有5個(gè)結(jié)點(diǎn)，7 條支路，所以Aa應(yīng)該是5X7的矩陣。b4 b3n5b5 b7 n1n3b1b2b3b4b5b6b7b1b6b2 5X7n1n2n2= n3Aan4n5關(guān)聯(lián)矩陣Aa的特點(diǎn)：每一列只有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是+1，一

6、個(gè)是-1，Aa的每一列元素之和為零。矩陣中任一行可以從其他n-1行中導(dǎo)出，即只有n-1行是獨(dú)立的。支路b(n-1) b引入降階關(guān)聯(lián)矩陣: A=結(jié)點(diǎn)（n-1）1-2、降階關(guān)聯(lián)矩陣A(n-1）bA定義：除去增廣關(guān)聯(lián)矩陣中的任意一行，矩陣仍然具有同樣的信息，足以表征定向圖中節(jié)點(diǎn)對(duì)支路的關(guān)系。將這種矩陣稱(chēng)為降階關(guān)聯(lián)矩陣或簡(jiǎn)稱(chēng)為關(guān)聯(lián)矩陣，記為A。40100111234561 111000 2 001101 A=a3 100110 例題2：寫(xiě)出Aa和A矩陣。思考：如果已知A矩陣，1、能否畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖？2341632511 -12-1 0031-1 040-1 15001604A= 2 0113 102-1

7、、回路矩陣B(b-n+1）bB定義：行對(duì)應(yīng)圖的回路，列對(duì)應(yīng)圖的各個(gè)支路。B=bjk中：u 當(dāng)支路k不在回路j內(nèi)， bjk=0;u 當(dāng)支路k在回路j內(nèi)，且支路方向與回路方向相同，bjk=+1;u 當(dāng)支路k在回路j內(nèi)，方向不同， bik=-1。例題3：寫(xiě)出B矩陣。取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，順時(shí)針?lè)较蚧刂?210-131-10410050-10601-11B = 23001213 1給定B可以畫(huà)出有向圖。2-2、基本回路矩陣Bf(b-n+1）bBf定義：如果B是由以下列方式列寫(xiě)出來(lái)的稱(chēng)為基本 回路矩陣Bf。列寫(xiě)規(guī)則：1.2.先選擇一棵樹(shù)T;列寫(xiě)時(shí)，矩陣的列按先連支后樹(shù)支且連支與樹(shù)支要分開(kāi)排列的方式;由于基本

8、回路為單連支回路，就選連支方向?yàn)榛芈贩?向;連支和對(duì)應(yīng)的回路要為相同的行和列號(hào); 特點(diǎn)：Bf的左半邊為E單位矩陣。3.4.5.例題4：寫(xiě)出Bf 矩陣。241l13l3l2657547110-1210-1311060 l1-1=lB1 2fl3 1000100014、5、7則為連支選1、2、3、6為樹(shù)3、割集矩陣Q與基本割集矩陣QfQ定義：行對(duì)應(yīng)基本割集，列對(duì)應(yīng)圖的各個(gè)支路。Q=qjk中：u 當(dāng)支路k不在割集j內(nèi)， qjk=0;u 當(dāng)支路k在割集j內(nèi)，且支路方向與割集方向相同， qjk=+1;u 當(dāng)支路k在割集j內(nèi)，且支路方向與割集方向不同， qjk=-1。例題5：寫(xiě)出下圖的Q。1Q2Q123Q

9、1 -10 10001010-100-156 11 4Q = Q 0-12Q3Q3Qf定義：如果選定一組單樹(shù)支割集為一組獨(dú)立割集，稱(chēng)為基本割集矩陣。列寫(xiě)規(guī)則：1.2.先選擇一棵樹(shù)T;列寫(xiě)時(shí)，將矩陣的列按先樹(shù)支后連支且分開(kāi)排列;由于基本割集為單樹(shù)支割集，所以就選樹(shù)支方向?yàn)楦罴较?樹(shù)支和對(duì)應(yīng)的割集要為相同的行列號(hào);Qf的左半邊為E單位矩陣。3.4.5.例題5：選 4、5、6支路為樹(shù)，寫(xiě)QfQ1:1,2,4Q2:1,2,3,5Q3:2,3,6支4501060011-1102-11-13割集Q11000-11 1= 1Q Q2 Q3Q=lQlQt4、KCL、KVL的矩陣形式1）、KCL定律：i1 i

10、0- i-1=00 02 +1 i0i 10i3 1 13 05-120001 = 0 0 0-1- i0 +-i1=0 001i4 3412i5 -100101- i- i+ i 06i576247i+ i 0 7 - i- i346I = BT II = BI= 0TQI= 0AIbmbl每條支路電壓總是可以由2）、KVL定律： 這n-1個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓表示：= un1 - un 2u1= u- u21u2n 2n334= un1 - un5u3un 257= -u+ uu4n3n5= -un1u5U = AT UU = QT U= u= uuutn6n5BUb= 0B f Ub= 07n3un

11、3un16un5小結(jié)：ABQKCLAi=0BTil=iBT i= itltQi=0it= -Ql ilKVLATun=uBu=0ul= - BtutQTut=uu= QT ullt15-3 回路電流方程的矩陣形式推導(dǎo)思路:回路電流法：以回路電流作獨(dú)立變量，列寫(xiě)b-n+1個(gè)KVL方程。Ib= BT IlB Ub= 0已知：KCL-KVL如能求出VCR-Ubf (Ib )=g(Il ) = 0k有向圖中第k條支路一、復(fù)合支路模型1、Uk與Ik關(guān)聯(lián)；2、U與U 方向相Skk反；3、ISk與Ik都流入（出）同一個(gè)結(jié)點(diǎn)；4、Zk是單一阻抗；5、不允許存在理想ISk支路。 U skI kI ekZ(Y )

12、_+kkI sk電路圖中第k條支路+U k_P342圖15-7復(fù)合支路只是定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。Zk（Yk）U SKI SK= 0= 0U SK -Zk（Yk）+I= 0SkZk（Yk）U SK= 0I SkU SKZk（Yk）=0U SKI= 0= 0ZkSkI SKUSk= 0Zk = I SkU k_+_ U skI kI ek+Zk (Yk )VC R方程推導(dǎo)I skU kU k= Zk= Z（kI ek -U SkI k + I Sk ）-U SkU k_+U skI kI ek_+Zk (Yk )VC R方程推導(dǎo)I sk= Z1(I1

13、 + Is1) - Us1= Z2 (I2+ Is2 ) - Us2VCR:MM= Zb (Ib+ Isb) - UsbU1U2MUbZ1Z2OZb Z1Z2OZb UI11U2 I2 = +M M bX1 IbUb UUIS1 S1IS2-S2MM ISUSbbX1b bX1bXbU = Z(I+ IS ) - USU = ZI- US + ZISbX1其中:Z10 000Z3M0LLL 00 ZZ = 00 2（各支路無(wú)耦合）0M0 MM 0Zb LTU2I2I= U = U1TUb LLss1s2sbTUs= Us1Us3 TI = I1Ib KUs2LU = Z(I+ IS ) - U

14、SKCL方程： I = BTIlKVL方程： B U = 0VCR方程： U = Z I- US + Z ISBU = BZ I- BU S + BZ IS= 0BZB T Il - BU S + BZ IS= 0二、回路電流方程推導(dǎo)BZB TIl= B Us - BZ IsBZBTUsl=抗矩陣回路Zl defB Us - BZ Is電壓源矩陣回路阻bXbbX1ZlIl= UslZ:支路阻抗矩陣bXbBZB TIl= B Us - BZ Is三、Z矩陣的列寫(xiě)：(1)無(wú)耦合時(shí)：Z就是一個(gè)對(duì)角陣。Z10 000Z3M0LLL 00 ZZ = 00 20M0 MM 0Zb L寫(xiě)出圖示電路支路電壓、

15、電流關(guān)系矩陣：513 解234I S161 4LI 1 + I s10 R000L010 I 20jLLLjCU2 I01 0jLL - 3M = 31 00L I 4U 6 00R50 LLR I 5 + I s506 I 6U s6jwL22jwL3R6R11/jwC+U S 6-I S 5R5例(2)耦合情況一：含有互感線圈MkjU skI kI ek+Z(Y )_kk_+U kI sk U sj+UkZ j (Yj )II ej_w= Zk (Ik + Isk ) - U jM(I+jI)skjsjkj_+(I(IUkwM= Z+ I) - U j+Isk )UMjkjjjsjsjjk

16、jI sj1 、 位 置 兩個(gè)互感電感所在的位置分別作雙下標(biāo)，即Zkj和Zjk 同時(shí)成對(duì)出現(xiàn)在Z中；步驟一：先不考慮M寫(xiě)出對(duì)角陣Z；步驟二：在對(duì)角陣Z的基礎(chǔ)上成對(duì)添加jwM；jkZ10 0Z20M Z00Z3LL 00 Z = 00 ZjkjL MM0M 0kjkZb 0L2、大小- Zkj = Zkj =jM。符號(hào)看支路方向和同名端相對(duì)位置是相同還是相反。（增強(qiáng)/削弱）(2)耦合情況二：含有受控電壓源Udk記：受控電壓源方向與USK方向一致。+U k_ U dk+U sk+I kI ekZk (Yk )-I skP345圖15-8I sk UU+dkskZkk+U kU1= Z1(I1 +

17、Is1) + Us1MMM VCR:Uk= Zk (Ik+ Isk ) - Usk - UdkUb= Zb (Ib + Isb) - Usb根據(jù)Udk的控制量不同：1、Udk=kjIej(CCVS)Uk= Zk (Ik+ Isk ) - Usk- Udk+ Isk ) - Usk- mkj (I j= Zk (Ik+ Isj )Zkj= -kj根據(jù)Udk的控制量不同：2、Udk=kjUej(VCVS)Uk= Zk (Ik+ Isk ) - Usk- Udk+ Isk ) - Usk- mkj Z j (I j= Zk (Ik+ Isj )Zkj= -kj Zj15-5 結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式一

18、、Y矩陣的列寫(xiě)1、無(wú)受控源,無(wú)MI skUskIekYkk-+Uk+-Ib= Y(Ub + Us ) - Is*支路導(dǎo)納矩陣,且為一個(gè)對(duì)角陣!支路導(dǎo)納矩陣Y其主對(duì)角線為各支路導(dǎo)納,而非對(duì)角線上有關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)的互感導(dǎo)納出現(xiàn)!2、有電感MIskU skI ekYkMk-+-Uk+-位置如第i與j支路間有互感存在,則在Yij 和Yij的位置上成對(duì)出現(xiàn)!大小-1/jM,符號(hào)看同名端是增強(qiáng)還是削弱！Ib= Y(Ub + Us ) - Is支路導(dǎo)納矩陣Y不再為一個(gè)對(duì)角陣；新導(dǎo)納位置-控制量所在支路j決定列號(hào)； 受控源所在支路k決定行號(hào)； 則其出現(xiàn)在Ykj 位置上;3、有受控源新導(dǎo)納大小-Isk如：I=

19、gUdkkjejU skI ekYkk-+-則 Ykj=gkj，如：Idk=gkjIejUk+-則Y= YkjkjjIdkIb= Y(Ub + Us ) - Is二、節(jié)點(diǎn)電壓法的矩陣形式的推導(dǎo)AIb= 0KCL方程：= ATUUKVL方程：VCR方程：bnIb= Y(Ub + Us ) - IsAIb= AY(Ub + Us ) -AIs= 0A Ib= AY(A U+ U) - A ITnss= 0AYAT U= AI - AYUnss= AYATY-結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣nJn= AI -AYU-流入該結(jié)點(diǎn)的電流源值ssYn Un= InAYAT U= AI - AYUnss三、結(jié)點(diǎn)分析法的一般步驟第一步：抽象為有向圖1W60.5W2W0.5W+235V3A-1A45W1W51第二步：寫(xiě)出A支121-10301-140105001610-1節(jié)12310A=0第三步：寫(xiě)出Y21W0.5Y = 20.5W2W0.5W+0.25V3A-1A5W1W11第四步：寫(xiě)出US、IS6US= -5 0 0 0