八年級數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí) 四：“動點”、“翻折”、“重疊”問題例談(Word版含解析、點評和練習(xí))

1、2017-2018下學(xué)期八年級數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 四：“動點”、“翻折”、“重疊”問題例談 編寫： 趙化中學(xué) 鄭宗平 八年級數(shù)學(xué)下冊中的含“動點”、“翻折”以及“重疊”的題型主要集中在勾股定理、平行四邊形和一次函數(shù)的三個章節(jié)中，且常常是這三個章節(jié)綜合起來的題型比較多；含“動點”、“翻折”以及“重疊”的題型一直統(tǒng)考和中考的熱點題型，下面我精選一部分典型題分專題進行分析、解答、點評并附有少量追蹤練習(xí)，希望同學(xué)們能從中悟出一些道理，總結(jié)破題的思路，同時感受到這類題型所蘊含的數(shù)學(xué)魅力.題目一.“動點”問題例談一.在動點中求最小值例.如圖，在正方形中，為上的一點，；是上一動點，則的最小值是多少？分析：如分析圖

2、所示，過作關(guān)于的對稱點，根據(jù)正方形的性質(zhì)其對稱點恰好在點處，連結(jié)交于點,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、三角形三邊之間的關(guān)系以及連接兩點之間線段最短，可以知道此時的值最小.（這里我有個“將軍飲馬”的故事與同學(xué)們分享.）略解：過作關(guān)于的對稱點，根據(jù)正方形的性質(zhì)其對稱點恰好在點處，連結(jié)交于點，連接 .根據(jù)正方形的性質(zhì)的性質(zhì)可知：.在Rt中勾股定理易求.和關(guān)于對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：,=.變式.正方形的邊長為4，的平分線交于點,若分別是和上的動點，則的最小值是 . 點評：在一直線上求作一點，使其到直線同一側(cè)的兩定點的距離之和最小，往往要通過作其中一個點關(guān)于此直線的對稱點，把兩定點轉(zhuǎn)化到直線的兩側(cè)，連接對稱點和

3、另一定點就可以找到這個動點的使其有最小值的位置，根據(jù)的是“兩點之間，線段最短”、“垂線段最最短”. 在動點中求最小值容易和多個知識點串聯(lián)以來，能較好的考查的數(shù)學(xué)的基本功和數(shù)學(xué)素養(yǎng).追蹤練習(xí)：1.正方形的面積為,為上的一動點；求的最小值？2.菱形的對角線分別為12和16， 分別為的中點，是對角線上的一動點，則的最小值為 .3.（自貢中考）如圖，在矩形中，,是邊的中點，是線段邊上的動點，將沿所在直線折疊得到,連接,則的最小值是 （ ）A. B. C. D. 4.如圖，直線 經(jīng)過點,直線與軸交于點，且兩直線交于點.求的值；.求的面積；.若點是坐標軸上的一個動點，當?shù)闹底钚r，求點的坐標.二.在動點中

4、來探究四邊形的形狀例. 如圖，中，點是邊上的一個動點，過點作直線 ，設(shè)交的平分線于點 ，交的外角平分線于點.判斷與的大小關(guān)系？并說明理由？.若,求的長？.當點運動到的何處時，四邊形是矩形？并說出你的理由. 分析：.由角平分線的的定義和平行線的性質(zhì)容易推出，則；等量代換后.是的的中線，根據(jù)題中的提供的數(shù)據(jù)，無非是特殊三角形才能求出；若是直角三角形，一切問題解決了；根據(jù)題中MN交的平分線于點，交的外角平分線于點，可以證得.本問關(guān)鍵是抓住不變的是什么？變的是什么？在本問中不變的是,而點在的位置是發(fā)生變化的. 要證四邊形是矩形，已經(jīng)知道，證明四邊形是矩形的思路有兩條，一是“有三個角是直角的四邊是矩形”

5、；二是“有一個角為直角的平行四邊形是矩形”；由于恰好是四邊形的對角線，并且有（即點為的中點），所以我們考慮用后面一種方法；也就是點同時為的中點,即構(gòu)成了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再加上，所以四邊形是矩形.略解：.交的平分線于點 ，交的外角平分線于點 .交的平分線于點 ，交的外角平分線于點 . ., . 點運動到的中點時，四邊形是矩形.理由如下： 四邊形是平行四邊形 ； 又 四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）點評：解答本專題的兩個例題要抓住題中不變的是什么？變的是什么？解題時更需要仔細識圖，注意合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想；由于是動點，要注意動點“活動”的范圍，解答時要進行分段、

6、分類討論追蹤練習(xí)：1.如圖在四邊形中， ， ，動點從點開始沿邊向 以的速度運動，動點從點開始沿邊向點以的速度運動，點分別從同時出發(fā)，設(shè)運動時間為 .若點從點開始沿射線運動，當點到達點時，點也隨之停止運動.當為何值時，以為頂點的四邊形是平行四邊形.當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動當為何值時，四邊形的邊 ?2.已知矩形中，的垂直平分線分別交于點，垂足為.如圖甲，連接.求證：四邊形為菱形，并求的長；.如圖乙，動點分別從出發(fā)，沿和各邊勻速運動一周，即點自停止，點自停止.在運動過程中：.已知點的速度每秒，點的速度每秒,運動時間為秒，當點四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求的值. .若點的運動路

7、程分別為（單位：，），已知四點為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系.（直接寫答案，不要求證明）三.動點與幾何圖形的面積例.在四邊形中， ,動點從出發(fā)，沿四邊形形的邊B C D A運動.設(shè)點運動路程為，的面積為，把看作是的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖(2)所示，試求當時與的函數(shù)關(guān)系式.分析：要求與的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是抓住表示的面積的變化規(guī)律，代表點的運動路程的變化規(guī)律.本題首先要結(jié)合在動點的運動中的面積變化（見圖）所描繪的函數(shù)圖象（見圖）來讀出四邊形和計算出各邊的長：.動點在B C運動時，的面積為是從小增大，所以此時函數(shù)的圖象在范圍內(nèi)，相對應(yīng)的梯形的;.動點在C D運動時，的面積為是不變的，

8、所以此時函數(shù)的圖象在范圍內(nèi)，相對應(yīng)的四邊形的;. 動點在D A運動時，的面積為是由大變小，所以此時函數(shù)的圖象在范圍內(nèi)，相對應(yīng)的四邊形的.要表示的面積為我們要抓住在P點的運動過程中，邊是不變的，所以過點D作邊AB的高線DE可以利用矩形的性質(zhì)和勾股定理把求出來，然后利用三角形的面積公式可以整理出與的函數(shù)關(guān)系式.略解： 結(jié)合圖和圖可以得出,. 過點D作邊AB的高線DE ,垂足為E，根據(jù)矩形的判定可以得出四邊形是矩形，所以. 根據(jù)本題條件，動點運動路程為在范圍要分兩段來討論：.動點在B C運動時，即范圍內(nèi).=.即.動點在C D運動時，即范圍內(nèi).=.即.(因為P點在C D運動過程中，的高也沒有發(fā)生變化,

9、都等于BC的長度).點評：“動點與幾何圖形面積”這類題型，由于存在面積和“運動路程”兩個變量，所以常與函數(shù)的知識點聯(lián)系在一起，在八年級下冊的數(shù)學(xué)中常與一次函數(shù)相聯(lián)系.這類題在建立函數(shù)的過程中要先從面積入手切入，然后用自變量（“動點的運動路程”）表示與函數(shù)（面積）相關(guān)的元素是關(guān)鍵. “動點與幾何圖形面積”這類題型還要注意在動點在運動過程中的不同情況.追蹤練習(xí)：1.如圖，已知中，高，是上的一動點；若設(shè)的面積為.求與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；.求出當時的值.2.如圖，在邊長為4的正方形的一邊上，一點從點運動到點,設(shè),四邊形的面積為.求與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；.是否存在點,使四邊形的面積為5.5，

10、請解答說明. 3.矩形的周長是，設(shè)矩形的一邊長為，另一邊長為.求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；.作出函數(shù)的圖象；.若點是該圖象上的一動點，點的坐標為，設(shè)的面積為,用含的解析式表示.4.已知矩形中，；分別是矩形的邊的動點，點以/秒的速度由向勻速運動，點同時以/秒的速度由向勻速運動;若設(shè)運動的時間為（秒）,四邊形(圖中的陰影部分)面積為.求與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；. 出發(fā)多少秒后四邊形的面積為？四.在動點中探尋其中“不變”的數(shù)量關(guān)系例.（中考自貢）如圖所示，在菱形中，為正三角形，點分別在菱形的邊上滑動，且不與重合.證明不論在上如何滑動，總有?.當點在上滑動時，探討四邊形的面積是否發(fā)

11、生變化？如果不變，求出這個定值. 分析：.先求證，進而求證、為等邊三角形，得進而求證，即可求得.根據(jù)可得=;根據(jù)四邊形=+=+= 即可解得.證明：連接,如下圖所示.四邊形為菱形，和都為等邊三角形在和中， .解：四邊形的面積不變.理由：由得可得=.故四邊形=+=+= 是定值.作于點，則四邊形點評：雖然在上是動點，但在滑動過程中的相等關(guān)系是不變的，也就是由其中的等邊三角形為框架構(gòu)建的和總是全等的，所以總有這個相等關(guān)系. 在動點中要探尋其中未知“不變”的數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是首先抓住圖形的提供的已知的“不變”的數(shù)量關(guān)系，比如本例雖然在上的滑動帶動的位置發(fā)生移動，但其中的或等沒有發(fā)生變化.追蹤練習(xí)：1.矩形

12、中，.求的值？.若點是上的一動點（不與重合），還是作,則的值是否會發(fā)生變化？為什么？2.已知點為正方形的中心（對角線的交點），為射線上一動點（與點不重合，以線段為一邊作正方形,連結(jié).當點在線段上時（如圖甲），線段與有怎樣的關(guān)系？請說明理由.當點在線段的延長線上時（如圖乙），中的結(jié)論是否仍然成立？請結(jié)合圖乙說明理由. 附：其它動點問題的題型欣賞.（同學(xué)們作為課外研究和練習(xí)?。?. 和都是正三角形,.求證：.當 運動至邊上的何處時，四邊形為平行四形，且 ,并證明你的結(jié)論. 2.如圖，直線與軸、軸分別交于兩點.求點的坐標；.點是直線上的一個動點，試寫出的面積與的函數(shù)關(guān)系式；.探究：.當點運動到什么位

13、置時，的面積為，并說明理由.在成立的情況下，軸上是否存在點，使是等腰三角形；若存在，請直接寫出滿足條件的所有的坐標；若不存在，請說明理由.3.直線與坐標軸分別交于兩點，同時從點出發(fā)，同時到達點，運動停止；點沿運動，速度為每秒1個單位長度，點沿路線運動.直接寫出兩點的坐標；.設(shè)點的運動時間為,的面積為，求出與的函數(shù)關(guān)系式；.當時，求出點的坐標，并直接寫出以點為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標.4. 為邊長為1的正方形的對角線上的一點，且,為上的一動點， ,求的值？題目二. “翻折”問題例談通常是把某個圖形按照給定的條件的沿某一直線翻折，也可以叫折疊；常通過折疊前后圖形變換的相互關(guān)系來設(shè)計命題.

14、折疊的規(guī)律是：折疊部分的圖形在折疊前后關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等.折疊圖形中在八年級的數(shù)學(xué)中，以四邊形特別是特殊四邊形為基礎(chǔ)居多，但常用勾股定理來計算，有時也與一次函數(shù)的知識相串聯(lián)構(gòu)成有一定難度綜合題.例1.（中考邵陽），準備一張矩形紙片，按如圖操作：將沿翻折，使落在對角線上的點；將沿翻折, 使落在對角線上的點.求證：四邊形是平行四邊形；.若四邊形是菱形，,求菱形的面積.分析：.根據(jù)四邊形是矩形和折疊的性質(zhì)可以得出,根據(jù)平行四邊形的判定推出.求出,根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出，并根據(jù)菱形的面積計算即可求出答案.略證: 四邊形是矩形 四邊形是平行四邊形.略解：四邊形是菱形 四邊形是矩形 故菱形的面積

15、為：點評：本題考查了平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、含30角的直角三角形的性質(zhì)以及折疊的相關(guān)性質(zhì)，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力.在本題翻折的性質(zhì)的運用是本題的一個切入點和突破口，正因為“折疊部分的圖形在折疊前后關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等”才有，從而得出問中的、以及問中這兩個關(guān)鍵步驟.例2.如圖，已知矩形紙片中,；點在邊上，沿折疊后點恰好落在邊上.求的長？.求折痕的長？分析：. 要求的長我們可以化在中利用勾股定理來求出，根據(jù)題中折疊可知,所以,而,放在利用勾股定理求出，這個需要題中折疊所得到的來幫忙. .求折痕的長在或利用勾股定理求出. 略解：.四邊形是矩形 矩形紙片沿折

16、疊后點恰好落在邊上 在中根據(jù)勾股定理可知：在中根據(jù)勾股定理可知：；若設(shè)，則 解得： 即. 在中根據(jù)勾股定理可知: 點評：本題考查了矩形的性質(zhì)以及折疊的相關(guān)性質(zhì)，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力.在本題翻折的性質(zhì)的運用是本題的一個切入點和突破口，正因為“折疊部分的圖形在折疊前后關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等”才有和兩個關(guān)鍵結(jié)論.從而為在中利用勾股定理來求出打下基礎(chǔ).例3.如圖，在平面直角坐標系中，點 ,連接,將沿過點的直線折疊，使點落在軸上的點 處，折痕所在的直線交軸正半軸于點；求直線的解析式.分析： 要求直線的解析式可以通過兩個點的坐標，利用待定系數(shù)法求得.直線上的，關(guān)鍵是求點的坐標.由

17、于點在坐標軸的 軸上，求出的長度即可確定 點的坐標.在中.若設(shè)，則 ，由折疊可知；所以本題的關(guān)鍵是求出的長度,由折疊可知：，而 所以關(guān)鍵是求出的長，這個在利用勾股定理可以解決.略解： 在利用勾股定理計算 將沿過點的直線折疊，使點落在軸上的點 處 設(shè)，則 由折疊可知在在利用勾股定理右 ，解得 點的坐標為 設(shè)直線的解析式為 把 代入得 解得直線的解析式為.點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理以及折疊的相關(guān)性質(zhì).本題關(guān)鍵求點的坐標，這就要通過利用勾股定理建立方程求出線段來解決.而這些 需要“折疊部分的圖形在折疊前后關(guān)于折痕成軸對稱”來得到 來牽線搭橋.題目三. “重疊”問題例談前面所說的

18、翻折也蘊含圖形自身的某部分的“重疊”，所以通常是把某個圖形按照給定的條件的沿某一直線翻折，也可以叫折疊；還有一種“重疊”是指幾個“相對獨立”圖形主要是兩個圖形通過一定方式，如：交叉疊放、平移、旋轉(zhuǎn)等使兩個圖形全部或部分重合；實際上這兩類重疊沒有嚴格的界線.幾個圖形的重疊抓住重合部分的圖形特征為突破口，下面我就后一類重疊舉例加以說明：例1.將兩張長均為8cm，寬均為2cm的矩形紙條按如圖交叉疊放.重疊部分是一個什么樣的四邊形？.求重疊部分周長和面積最小值和最大值分別是多少？分析：.按交叉疊放方式其重疊部分首先可確定是一個平行四邊形，利用面積公式或全等三角形可以推出其一組鄰邊相等，所以重疊部分是一

19、個菱形.（巡河車騰訊微博本問視頻解析鏈接：/boke/page/z/7/3/z0415wr8a73.html）.根據(jù)“垂線段最短”，當兩張矩形紙條垂直時，其交叉重疊部分的部分邊長最短（實際上是個正方形），此時的重疊部分周長和面積有最小值；當兩張矩形紙條交叉疊放使其對角線“換位”重合時（見示意圖），因為此時重疊部分的對角線最長，其重合部分的邊長也就最長，當然此時的重疊部分周長和面積有最大值.略解:.如圖，過H點分別作,垂足分別是 根據(jù)矩形紙條按交叉疊放的方式易證四邊形是平行四邊形 又矩形紙片的寬度都是2cm,即 重疊部分的四邊形是菱形 . 第一種情況：根據(jù)“垂線段最短

20、”，當兩張矩形紙條垂直時，其交叉重疊部分四邊形 的邊長最短，此時又構(gòu)成了有一個角為直的菱形是正方形.矩形紙條寬均為2cm即重疊部分的周長為：重疊部分的面積為：第二種情況：當兩張矩形紙條交叉疊放使其對角線“換位”重合時（見示意圖），因為此時重疊部分的對角線最長，其重合部分的邊長也就最長，當然此時的重疊部分周長和面積有最大值.過作,垂足為,則四邊形是矩形在中根據(jù)勾股定理有：四邊形是菱形設(shè)，則 解得： 即重疊部分的周長為：重疊部分的面積為：例2.如圖，邊長為1的正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)30到正方形， 圖中的陰影部分的面積為 （ ）A. B. C. D. 分析：本題關(guān)鍵抓住重疊部分是一個軸對稱圖形，由于正

21、方形繞點A逆時針30到正方形 ，所以,則,連接的對角線后易證旋轉(zhuǎn),所以;在的另一條直角邊的長度，進一步求出的面積，則重疊部分可求出，再由正方形面積減去疊部分即可得到圖中的陰影部分的面積. （巡河車騰訊微博本例視頻解析鏈接：/boke/page/u/8/m/u0415t5rb8m.html ）略解: 邊長為1的正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)30到正方形 , 在和中有, () 在中根據(jù)勾股定理有： 即 解得： 重疊部分面積為：圖中的陰影部分的面積為：正方形-.故選A點評：本題的陰影部分是個不規(guī)則的圖形，直接求比較困難，所以采用正方形 - 重疊部分面積，所以求重疊部分的面積成了本題

22、的關(guān)鍵；重疊部分是由正方形旋轉(zhuǎn)30形成的，它恰好是一個軸對稱圖形，當我們連結(jié)對角線把分成全等的兩個含30銳角的直角三角形后，把問題轉(zhuǎn)化到其中一個直角三角形中問題便解決了.例3.(自貢統(tǒng)考)如圖1，在平面直角坐標系中，等腰直角的斜邊在軸上，頂點的坐標為.求直線的解析式；.如圖2，如果點是軸正半軸上的一動點，過點作軸，交直線于點,設(shè)點的坐標為，以為頂點的四邊形面積為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式；.如圖3，如果在直線上.過點作直線，交直線于點,在的右側(cè)作矩形,其中,請你直接寫出矩形與重疊部分為軸對稱圖形時的取值范圍.考點：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形面積公式、點的坐標意義、軸對稱圖形、分類討論的思想等.

23、分析：.用待定系數(shù)法可求出直線的解析式；.由于點是軸正半軸上的一動點，在不同的位置以為頂點的四邊形的情況不一樣，所以要進行分類討論.由于等腰直角三角形，等腰直角三角形是軸對稱圖形，對稱軸是邊上的中垂線，所以矩形矩形的分別同時落在兩腰所在的直線上時，此時矩形與重疊部分為軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)可以求出的坐標為中的的值；當點與重合時矩形與無重疊部分，此時直線恰好是等腰直角的對稱軸，此時是底邊的中點，,根據(jù)問的值可以求出，綜合上述兩種情況可以寫出的取值范圍.略解：.設(shè)直線的解析式為直線經(jīng)過點 解得：直線的解析式為： .過作軸于點 有下面三種情況（圖中陰影部分代表的是四邊形）： .當 時 ，如圖.

24、 . 即.當 時 ，如圖. 即 .當 時 ，如圖. 即 .本問關(guān)鍵是抓住直線在平移過程中要保證重疊部分是軸對稱圖形.如圖甲所示，由于等腰直角三角形，等腰直角三角形是軸對稱圖形，對稱軸是邊上的中垂線，所以矩形的分別同時落在兩腰所在的直線上時，此時矩形與重疊部分（見圖中陰影部分）為軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)可知： ；即.當點與重合或在直線上但在點右側(cè)時，矩形與無重疊部分（而左側(cè)重疊部分也是等腰直角三角形是軸對稱圖形.如圖乙），此時直線所在直線恰好是等腰直角的對稱軸，此時是底邊的中點，可以求出：,根據(jù)問可知.綜合上述兩種情況可以寫出的取值范圍為： （直接寫出的正確的取值范圍即可）點評： 本題的問用

25、根據(jù)已知條件用待定系數(shù)法可求解析式；本題的問要分成三種情況討論，有一定難度.本題的問顯得比較抽象，要保證重疊部分是軸對稱圖形，抓住矩形和等腰直角三角形都是軸對稱圖形，實際上直線在平移過程中其重疊部分是等腰直角三角形時就是一個軸對稱圖形，以此切入破題.能力提升：1.已知，如圖長方形中，將此長方形折疊，使點與點重合，折痕為,則的面積為（ ）A. B. C. D. 2.矩形紙片中，,折疊紙片使與對角線重合，折痕為，則長為 （ ）A. B. C. D.3.如圖,有一矩形紙片, ,將紙片折疊，使邊落在邊上，折痕為 ,再將以為折痕向右折疊，與 交于點,則的面積為（ ）A4 B6 C8 D10 4.如圖，在直角坐標系中，將矩形沿對折，使點落在點處，已知，則點的坐標是 （ ） A B C D5.如圖，將正方形的一角折疊，折痕為,比大.設(shè)和的度數(shù)