八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版第17章勾股定理17.2勾股定理的逆定理17.2.1勾股定理的逆定理【教案】

1、勾股定理的逆定理教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課主要學(xué)習(xí)勾股定理以及應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1 知識(shí)與技能探索并掌握直角三角形判別思想，會(huì)應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題2 過(guò)程與方法經(jīng)歷直角三角形判別條件的探究過(guò)程， 體會(huì)命題、定理的互逆性， 掌握情理數(shù)學(xué)意識(shí)3 情感、態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維以及合情推理意識(shí)，感悟勾股定理和逆定理的應(yīng)用價(jià)值重難點(diǎn)、關(guān)鍵1 重點(diǎn)：理解并掌握勾股定理的逆定性，并會(huì)應(yīng)用2 難點(diǎn)：理解勾股定理的逆定理的推導(dǎo)3 關(guān)鍵：以古埃及人的思考方法，來(lái)領(lǐng)會(huì)勾股逆定理，同時(shí)運(yùn)用驗(yàn)證，?體驗(yàn)勾股定理的逆定理教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：投影儀，投影片，補(bǔ)充材料，教具：釘子與打結(jié)的繩子學(xué)生準(zhǔn)備：（ 1）復(fù)習(xí)勾股定理，預(yù)習(xí)“勾股逆定理

2、”；（2）紙片、剪刀學(xué)法解析1 認(rèn)知起點(diǎn)：在學(xué)習(xí)了勾股定理的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)勾股定理逆定理2知識(shí)線索：歷史情境命題2勾股定理逆定理3 學(xué)習(xí)方式：情境認(rèn)知，操作感悟，師生互動(dòng)教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題【實(shí)驗(yàn)觀察】實(shí)驗(yàn)方法：用一根打上 13 個(gè)等距離結(jié)的細(xì)繩子，讓同學(xué)操作，用釘子釘在第一個(gè)結(jié)上， 再釘在第 4 個(gè)結(jié)上，再釘在第 8 個(gè)結(jié)上，最后將第十三個(gè)結(jié)與第一個(gè)結(jié)釘在一起，然后用角尺量出最大角的度數(shù)（ 90），可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形是直角三角形【顯示投影片 1】課本 P81 圖 182-1 【活動(dòng)方略】第 1頁(yè)共 5頁(yè)教師敘述：這是古埃及人曾經(jīng)用過(guò)這種方法來(lái)得到直角，這個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為多少？（ 3

3、，4，5）這三邊滿足了怎樣的條件呢？（32+42 =52），是不是只有三邊長(zhǎng)為 3，4，?5 的三角形才能構(gòu)成直角三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，如果三角形的三邊分別為2.5cm，6cm，6.5cm，滿足關(guān)系式“ 2.5 2+62=6.5 2”，畫(huà)出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為 5cm，12cm，13cm 或 8cm，15cm，17cm呢？學(xué)生活動(dòng)：動(dòng)手畫(huà)圖，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，得到猜想教師板書(shū)：命題 2（見(jiàn)課本 P81）【問(wèn)題探究 1】教師提問(wèn)：命題 1、命題 2 的題設(shè)、結(jié)論分別是什么？學(xué)生回答：（略）教師分析：可以看出，大家回答的這兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好是相反的，像這樣的兩個(gè)命題稱為互逆

4、命題 如果把其中一個(gè)叫做原命題， 那么另一個(gè)就叫做它的逆命題教師提問(wèn)：請(qǐng)同學(xué)們舉出一些互逆命題， 并思考是否原命題正確， 它的逆命題也正確嗎？舉例說(shuō)明學(xué)生活動(dòng)：分四人小組，互相交流，然后舉手發(fā)言素材提供：1 原命題：貓有四只腳（正確）逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2 原命題：對(duì)頂角相等（正確）逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）3 原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等（正確）逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上（正確）4 原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等（正確）逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上（正確）教師活動(dòng)：在學(xué)生充分的舉例、

5、交流的基礎(chǔ)上，提供上面的素材讓學(xué)生認(rèn)識(shí)，并明確，（1）任何一個(gè)命題都有逆命題 （ 2）原命題正確，逆命題不一定正確，原命題不正確，逆命題可能正確 （3）原命題與逆命題的關(guān)系就是， ?命題中題設(shè)與結(jié)論相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系【設(shè)計(jì)意圖】采用從學(xué)生實(shí)驗(yàn)、操作中感知勾股定理的逆定理；比較勾股定理命題 1?與命題 2 的題設(shè)與結(jié)論，認(rèn)知命題的互逆性二、觀察探討，研究新知第 2頁(yè)共 5頁(yè)【問(wèn)題探究 2】（投影顯示）在課本 P82 圖 182-2 中， ABC的三邊長(zhǎng) a，b，c 滿足 a2+b2=c2，如果ABC?是直角三角形，它應(yīng)該與直角邊是a，b 的直角三角形全等實(shí)際情況是這樣的嗎？我們畫(huà)一個(gè)直角三角形ABC

6、，使 BC=a，AC=b，C=90（課本圖 18 2-2 ）， ?再將畫(huà)好的 A B C剪下，放到 ABC上，請(qǐng)同學(xué)們觀察，它們是否能夠重合？試一試!【活動(dòng)方略】教師活動(dòng)：操作投影儀，提出探究的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，然后再提問(wèn)個(gè)別學(xué)生學(xué)生活動(dòng)：拿出事先準(zhǔn)備好的紙片、剪刀，實(shí)驗(yàn)、領(lǐng)會(huì)、感悟：（1）?它們完全重合；（ 2）理由是在 ABC中， AB 2=BC 2 +AC 2=a2 +b2，因?yàn)?a2+b2 =c2，因此，AB=c，從 ABC和 A B C中，BC=a=BC，AC=b=A C， AB=c=AC， ?推出 ABC AB C，所以 C=C=90，可見(jiàn) ABC是直角三角形教師歸納：由上面的探

7、究過(guò)程可以說(shuō)， 用三角形全等可以證明勾股定理的逆命題是正確的 而如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的， 那么它也是一個(gè)定理，我們把上面所形成的這個(gè)定理叫做勾股定理的逆定理， 稱這兩個(gè)定理為互逆定理【設(shè)計(jì)意圖】采用實(shí)驗(yàn)、觀察、比較的數(shù)學(xué)手法，突破難點(diǎn)【課堂演練】（投影顯示）1以下各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（C）A5，6，7B 10，8，4C7，25，24D9，17，152以下各組正數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（B）Aa-1 ，2a，a+1B a-1 ，2a ，a+1Ca-1 ，2a ，a+1D a-1 ，2 a，a+1【活動(dòng)方略】教師活動(dòng)：操作投影儀，組織學(xué)生演練，并講評(píng)學(xué)生活動(dòng)：應(yīng)用

8、所學(xué)，完成演練題，并從中歸納判定方法，并判定兩條較小數(shù)平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方【評(píng)析】在演練中，提示學(xué)生閱讀課本P83例 1三、范例點(diǎn)擊，提高認(rèn)知第 3頁(yè)共 5頁(yè)【顯示投影片 2】例：（課本 P83 例 2）思路點(diǎn)撥：首先應(yīng)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，見(jiàn)課本 P83 圖 18 2-3 ?這是一種象限圖，依圖形可以看出， “遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已經(jīng)知道，只要求出兩艘輪船的航向所成的角，就可以知道“海天”號(hào)的航向【活動(dòng)方略】教師活動(dòng)：操作投影儀，分析例 2，特別是要教會(huì)學(xué)生如何畫(huà)出象限圖， ? 可適時(shí)復(fù)習(xí)“象限角”的畫(huà)法然后確定一個(gè)三角形，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的“勾股定理的逆定理”學(xué)生活動(dòng)：理解圖形的畫(huà)法，參與教

9、師講例，并歸納方法為（ 1）?畫(huà)出正確的象限圖；（ 2）確定一個(gè)三角形，再應(yīng)用勾股定理的逆定理解決問(wèn)題【問(wèn)題探究 3】（投影顯示）如圖（ 1），在正方形 ABCD中， F 為 DC的中點(diǎn)， E為 BC上一點(diǎn)，且 EC=1 BC，求證： AFEF4思路點(diǎn)撥：要證AFEF，需證 AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性， ?只要證出 AF2+EF2=AF2 就可以了教師活動(dòng)：操作投影儀，組織學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出推理過(guò)程學(xué)生活動(dòng)：先獨(dú)立思考，再與同伴交流，并踴躍上臺(tái)“板演”aa證明：連結(jié) AE，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，則 DF=FC= ，EC= ，在 RtECF中，24有 EF=（ a ）2+（ a ）

10、2= 5 a2；同理可證在RtECF中，有 EF2 =（ a ）2+（ a ）2416242= 5 a2 ，在 RtABE 中 ，有BE=a- 1 a= 3 a ， AE2=a2+（ 3 a ） 2=? 25 a2 ，1644416222+EF=AE根據(jù)勾股逆定理得，AEF=90， AFEF【設(shè)計(jì)意圖】以例 2 為理解勾股定理逆定理的應(yīng)用，再補(bǔ)充“問(wèn)題探究3”來(lái)拓展勾股定理逆定理的應(yīng)用范圍四、隨堂練習(xí)，鞏固深化1 課本 P84“練習(xí)”第 1， 2， 3 題2 【探研時(shí)空】若 ABC的三邊 a，b，c 滿足條件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判斷 ABC 的形狀第 4頁(yè)共 5頁(yè)（提示：根據(jù)所給條件，只有從關(guān)于a， b， c 的等式入手，找出a，b，c三邊之間的關(guān)系， 應(yīng)用分解因式可得 （a-5 ）2 +（b-12 ）2+（c-13 ）2=0，求出 a=5，222b=12，c=13，a+b =c ， ABC是直角三角形）五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃? 勾股定理的逆定性： 如果三角形的三條邊長(zhǎng) a，b，c 有下列關(guān)系：a2+b2 =c2，?那么這個(gè)三角形是直