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1、高中文科數(shù)列部分知識(shí)整理數(shù)列(一)等差數(shù)列1.等差數(shù)列的概念:若數(shù)列an從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),則數(shù)列an叫等差數(shù)列.常數(shù)叫做公差。2. 等差中項(xiàng):若a、b、c成等差數(shù)列,則b稱(chēng)a與c的等差中項(xiàng),且b=; a、b、c成等差數(shù)列是2b=a+c的充要條件.3.通項(xiàng)公式:an=a1+(n1)d, 推廣:an=am+(nm)d. 變式:a1=an(n1)d,d=,d=.4.前n項(xiàng)和:Sn=na1+d=nan(n1)nd.變式:=a1+(n1)=an+(n1)().【練習(xí)】1.等差數(shù)列an中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,則n是 ( )A.48 B.49 C.50 D

2、.512.在等差數(shù)列an中,公差為,且a1+a3+a5+a99=60,則a2+a4+a6+a100=_. 3.已知an為等差數(shù)列,前10項(xiàng)的和S10=100,前100項(xiàng)的和S100=10,求前110項(xiàng)的和S110.解:設(shè)an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則4.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a10=30,a20=50.(1)求通項(xiàng)an; (2)若Sn=242,求n.6.設(shè)an為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求Tn.數(shù)列(二)等比數(shù)列1.定義數(shù)列an從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列稱(chēng)作等比數(shù)列.常數(shù)叫公比.2.等比中項(xiàng):若a

3、、b、c成等比數(shù)列,則b為a、c的等比中項(xiàng),且b=.3.通項(xiàng)公式:an=a1qn1,推廣形式:an=amqnm.4.前n項(xiàng)和Sn=5.證明等比數(shù)列的方法:(1)用定義:只需證=常數(shù); (2)用中項(xiàng)性質(zhì):只需an+12=anan+2或=.【例題】1.已知等比數(shù)列an中,a3=3,a10=384,則該數(shù)列的通項(xiàng)an=_.2.數(shù)列an中,a1=1,an=an1+1(n2),求通項(xiàng)公式an.數(shù)列(三)差比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)歸納 一、等差數(shù)列1、等差數(shù)列及等差中項(xiàng)定義注:根據(jù)定義,當(dāng)我們看到形如:、時(shí),應(yīng)能從中得到相應(yīng)的等差數(shù)列。2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:、 (其中為首項(xiàng)、為已知的第項(xiàng)) 當(dāng)時(shí),是關(guān)于的一次式;當(dāng)

4、時(shí),是一個(gè)常數(shù)。3、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式: 當(dāng)時(shí),是關(guān)于的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0; 當(dāng)時(shí)(),是關(guān)于的正比例式。4、等差數(shù)列中,若,則5、等差數(shù)列的公差為,則任意連續(xù)項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列、仍為等差數(shù)列,公差為。6、等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,則數(shù)列是等差數(shù)列,公差為。特別地、組成等差數(shù)列。7、兩個(gè)等差數(shù)列與的公差分別為和,則數(shù)列為等差數(shù)列,且公差為8、等差數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)(項(xiàng)數(shù)組成等差數(shù)列)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。如、9、為等差數(shù)列,公差為,則數(shù)列 ()是等比數(shù)列,公比為。10、 在等差數(shù)列中: 若項(xiàng)數(shù)為,則 若項(xiàng)數(shù)為,則 11、兩個(gè)等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為、,則二、等比數(shù)列1、等比數(shù)列及等比中項(xiàng)

5、定義:注:根據(jù)定義,當(dāng)我們看到形如:、應(yīng)能從中得到相應(yīng)的等差數(shù)列。2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: (其中為首項(xiàng)、為已知的第項(xiàng),)關(guān)于等比數(shù)列的單調(diào)性:當(dāng)時(shí),為常數(shù)列 當(dāng)時(shí),為擺動(dòng)數(shù)列;當(dāng)且時(shí),為遞增數(shù)列; 當(dāng)且時(shí),為遞減數(shù)列;當(dāng)且時(shí),為遞增數(shù)列; 當(dāng)且時(shí),為遞減數(shù)列;3、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式:當(dāng)時(shí), (是關(guān)于的正比例式); 當(dāng)時(shí), 4、等比數(shù)列中,若,則5、等比數(shù)列的公比為,且,則任意連續(xù)項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列、仍為等比數(shù)列,公比為。6、兩個(gè)等比數(shù)列與的公比分別為和,則數(shù)列、仍為等比數(shù)列,公比分別為、。7、等比數(shù)列的任意等距離的項(xiàng)(項(xiàng)數(shù)組成等差數(shù)列)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。如、8、等比數(shù)列的公比為,且,則

6、 (且) 是等差數(shù)列,公比為。9、 在等比數(shù)列中: 若項(xiàng)數(shù)為,則 若數(shù)為則,數(shù)列專(zhuān)題講練1 等差數(shù)列的證明方法: (1)定義法:(常數(shù)) (2)等差中項(xiàng)法:2等比數(shù)列的證明方法:(1)定義法:(常數(shù)) (2)等比中項(xiàng)法:二通項(xiàng)公式的求法(1)利用等差等比的通項(xiàng)公式(2)累加法: 【例】已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解:由得則 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。(3)構(gòu)造等差或等比 或 【例】已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式; 解: 是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列。 即 【例】已知數(shù)列中,,,求. 解:在兩邊乘以得: 令,則,解之得:,所以. 【練習(xí)】已知數(shù)列滿足,且。 (1)求;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(

7、4)利用 【例】若和分別表示數(shù)列和的前項(xiàng)和,對(duì)任意正整數(shù),.求數(shù)列的通項(xiàng)公式; 解: 當(dāng) 當(dāng) 【練習(xí)】已知正項(xiàng)數(shù)列an,其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)an (5)累積法 轉(zhuǎn)化為,逐商相乘. 【例】已知數(shù)列滿足,求。 解:由條件知,分別令,代入上式得個(gè)等式累乘之,即 又, 【練習(xí)】1.已知, ,求。(6)倒數(shù)變形:,兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。 【例】已知數(shù)列an滿足:,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 解:取倒數(shù): 是等差數(shù)列, 【練習(xí)】已知數(shù)列an滿足:a1,且an求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;三數(shù)列求和1、等差數(shù)列求和公式: 2、等比數(shù)列求和公式:

8、3、錯(cuò)位相減法求和 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 【例】 求和: 解:由題可知,設(shè) (設(shè)制錯(cuò)位) 得 (錯(cuò)位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得:。 【練習(xí)】 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.4、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè).5、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi),可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可. 【例】求數(shù)列的前n項(xiàng)和:, 解:設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 (分組) 當(dāng)a1時(shí),(分組求和) 當(dāng)時(shí),6、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合

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