小學(xué)奧數(shù)之容斥原理

1、最新 料推薦容斥原理（一）【例題分析】例 1. 有長 8 厘米，寬 6 厘米的長方形與邊長 5 厘米的正方形。如圖放在桌面上，求這兩個圖形蓋住桌面的面積？分析與解： 陰影部分是直角三角形，是兩個圖形的重疊部分，它的面積是：（平方厘米）方法一：（平方厘米）方法二：（平方厘米）方法三：（平方厘米）答：蓋住桌面的面積是67 平方厘米。例 2. 六一班參加無線電小組和航模小組的共 26 人，其中參加無線電小組的有17 人，參加航模小組的有 14 人，兩組都參加的有多少人？分析與解： 把 17 人和 14 人相加，是把兩組都參加的人算了兩次，所以減去總?cè)藬?shù)，就是兩組都參加的人數(shù)（人）。也可以這樣解：（人

2、）或（人）答：兩組都參加的有 5 人。1最新 料推薦例 3. 六一班有學(xué)生 46 人，其中會騎自行車的有 19 人，會游泳的有 25 人，既會騎車又會游泳的有 7 人，既不會騎自行車又不會游泳的有多少人？分析與解：先求出 46 人中會騎車或會游泳的有多少人， 從中減去會騎車或會游泳的人數(shù)，剩下的就是既不會騎車也不會游泳的人數(shù)。（人）（人）答：既不會騎車又不會游泳的有9 人。例 4. 某年級的課外小組分為美術(shù)、音樂、手工三個小組，參加美術(shù)小組有 20 人，參加音樂小組有 24 人，參加手工小組有 31 人，同時參加美術(shù)和音樂兩個小組有 5 人，同時參加音樂和手工兩個小組有 6 人，同時參加美術(shù)和

3、手工兩個小組的有 7 人，三個小組都參加的有 3 人，這個年級參加課外小組的同學(xué)共有多少人？分析與解：圖中的 5、6、7 人都是兩兩重疊的部分，圖中的 3 人是三個重疊的部分，要從三個組的總?cè)藬?shù)中減去重復(fù)多余的部分。（人）答：這個年級參加課外小組的有60 人。例 5. 某班在短跑、投擲和跳遠(yuǎn)三項檢測中，有 4 人三項都未達到優(yōu)秀，其他人至少有一項是優(yōu)秀，下表是得優(yōu)秀的情況，請你算出全班人數(shù)。短跑投擲跳遠(yuǎn)跑跳跑投跳投三項192120910632最新 料推薦分析與解： 根據(jù)題意畫出如下圖要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一項達到優(yōu)秀的人數(shù)，加上三項都未達到優(yōu)秀的，就是全班人數(shù)。（人）（人）

4、答：全班有 42 人。例 6.分母是 105 的最簡真分?jǐn)?shù)有多少個？分析與解：這些分?jǐn)?shù)是最簡真分?jǐn)?shù)， 所以分子應(yīng)小于105，只能是 1 104中的自然數(shù)，而且分子與 105 要互質(zhì)。因為 ，所以分母不能是 3 的倍數(shù)或 5 的倍數(shù)或 7 的倍數(shù)。所以，要求有多少個最簡真分?jǐn)?shù)， 實際上就是求 1104 這 104 個自然數(shù)中不能被 3、5、7 整除的數(shù)有多少個。因此要先求出能被 3 整除或能被 5 整除或能被 7 整除的數(shù)有多少個。能被 3 整除的數(shù)：（個）能被 5 整除的數(shù)：（個）能被 7 整除的數(shù)：（個）能同時被 3 和 5 整除的數(shù)：能同時被 3 和 7 整除的數(shù)：能同時被 5 和 7 整

5、除的數(shù)：（個）3最新 料推薦（個）答：分母是 105 的最簡真分?jǐn)?shù)有48 個?！灸M試題】 （答題時間： 30 分鐘）1. 有三個面積各為 50 平方厘米的圓放在桌面上， 兩兩相交的面積分別是 8、10、12 平方厘米，三個圓相交的面積是 5 平方厘米，求三個圓蓋住桌面的面積？2. 某區(qū)有 100 名外語教師懂英語或日語， 其中懂英語的有 75 名，既懂英語又懂日語的有 20 人。只懂日語的有多少名？3. 某班數(shù)學(xué)測驗時有 10 人得優(yōu)，英語得優(yōu)有 12 人，兩門都得優(yōu)有 3 人，兩門都沒得優(yōu)的有 26 人。全班有多少人？4. 六年級一班春游，帶礦泉水的有 18 人，帶水果的有 16 人，這兩

6、種至少帶一種的有 28 人，求兩種都帶的有多少人？5. 在 1 至 100 的自然數(shù)中，不能被 2 整除的數(shù)或不能被 3 整除或不能被 5 整除的數(shù)共有多少個？容斥原理（二）【例題分析】例 1. 有 25 人參加跳遠(yuǎn)達標(biāo)賽，每人跳三次，每人至少有一次達到優(yōu)秀。第一次達到優(yōu)秀的有 10 人，第二次達到優(yōu)秀的有 13 人，第三次達到優(yōu)秀的有 15 人，三次都達到優(yōu)秀的只有 1 人。只有兩次達到優(yōu)秀的有多少人？分析與解：“每人至少有一次達到優(yōu)秀”說明沒有三次都沒達到優(yōu)秀的。要求只有兩次達到優(yōu)秀的人數(shù)，就是求重疊兩層的部分（圖中陰影部分）。4最新 料推薦（人）答：只有兩次達到優(yōu)秀的有11 人。例 2.

7、在一個炎熱的夏日，幾個小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有 6 人要了冰棍， 6 人要了汽水， 4 人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3 人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有 1 人；三樣都要的有 1 人。問：共有幾個小朋友去了冷飲店？分析與解：根據(jù)題意畫圖。方法一：（人）方法二：（人）答：共有 10 個小朋友去了冷飲店。例 3.有 28 人參加田徑運動會，每人至少參加兩項比賽。已知有8 人沒參加跑的項目，參加投擲項目的人數(shù)與參加跑和跳兩項的人數(shù)都是 17 人。問：只參加跑和投擲兩項的有多少人？分析與解：“每人至少參加兩項比賽”說明沒有不參加的，也沒有參加一項比賽的，我們可以在下圖

8、中參加一項的區(qū)域用 0 表示。5最新 料推薦（人）答：只參加跑和投擲兩項的有3 人。例 4. 某校六年級二班有 49 人參加了數(shù)學(xué)、英語、語文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30 人參加，英語有 20 人參加，語文小組有 10 人。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的有 3 人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加的只有 1 人，求既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)。分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。三圓蓋住的總體為 49 人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語的有 x 人，既參加語文又參加英語的有 y 人，可以列出這樣的方程：整理后得：由于 x、y 均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個質(zhì)數(shù)中必有一

9、個偶質(zhì)數(shù)2，另一個質(zhì)數(shù)為 7。答：既參加英語又參加數(shù)學(xué)小組的為 2 人或 7人。例 5.某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20 人，語文 20 人，英語 20 人，數(shù)學(xué)、英語兩科滿分者 8 人，數(shù)學(xué)、語文兩科滿分者 7 人，語文、英語兩科滿分者 9 人，三科都沒得滿分者 3 人。問這個班最多多少人？最少多少人？分析與解：根據(jù)題意畫圖。6最新 料推薦設(shè)三科都得滿分者為x全班人數(shù)整理后：全班人數(shù) 39x39+x 表示全班人數(shù)，當(dāng)x 取最大值時，全班人數(shù)就最多，當(dāng)x 取最小值時，全班人數(shù)就最少。 x 是數(shù)學(xué)、語文、英語三科都得滿分的同學(xué)，因而x 中的人數(shù)一定不超過兩科得滿分的人數(shù)，即且，由

10、此我們得到。另一方面 x 最小可能是 0，即沒有三科都得滿分的。當(dāng) x 取最大值 7 時，全班有人，當(dāng) x 取最小值 0 時，全班有39 人。答：這個班最多有46 人，最少有 39 人?！灸M試題】 （答題時間： 30 分鐘）1.六年級共有 96 人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂少年報，有的人訂數(shù)學(xué)報，兩種刊物都訂的有多少人？2. 小明和小龍兩家合住一套房子，門廳、廚房和廁所為公用，在登記住房面積時，兩家登記表如下表（單位：平方米）姓名居室門廳廚房廁所總面積小明14128438小龍20128444他們住的一套房子共有多少平方米？3. 某班 45 名同學(xué)參加體育測試， 其中百米得優(yōu)者 20 人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者 18 人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者 7 人，跳高、百米得優(yōu)者 6 人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者 87最新 料推薦人，跳高得優(yōu)者 22 人，