泊松分布的應(yīng)用

1、泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用摘要泊松分布是指一個系統(tǒng)在運行中超負載造成的失效次數(shù)的分布形式。它是高等數(shù)學(xué)里的一個概念,屬于概率論的范疇,是法國數(shù)學(xué)家泊松在推廣伯努利形式下的大數(shù)定律時,研究得出的一種概率分布,因而命名為泊松分布。作為一種常見的離散型隨機變量的分布,泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個分布之一。服從泊松分布的隨機變量是常見的,它常與時間單位的計數(shù)過程相聯(lián)系。在現(xiàn)實生活中應(yīng)用更為廣泛,如數(shù)學(xué)建模、管理科學(xué)、運籌學(xué)及自然科學(xué)、概率論等等。并且在某些函數(shù)關(guān)系起著一種重要作用。例如線性的、指數(shù)的、三角函數(shù)的等等。本文對泊松分布產(chǎn)生的過程、定義和性質(zhì)做了簡單的介紹，研究了泊松

2、分布的一些性質(zhì), 并討論了這些性質(zhì)在實際生活中的重要作用。關(guān)鍵詞：泊松過程；泊松分布；定義；定理；應(yīng)用；一、 計數(shù)過程為廣義的泊松過程1計數(shù)過程設(shè)為一隨機過程, 如果是取非負整數(shù)值的隨機變量,且滿足s 100，p0.1，np10時，二項分布可用參數(shù)為=np的泊松分布來近似，即 這就是二項分布的泊松逼近。當然n應(yīng)盡可能地大，否則近似效果往往不佳。二項分布的泊松近似常常被應(yīng)用于研究稀有事件(即每次試驗中事件出現(xiàn)的概率p很小)，當伯努利試驗的次數(shù)n很大時，事件發(fā)生的頻數(shù)的分布。實際表明，在一般情況下，當p0.1時，這種近似是很好的，甚至n不必很大都可以，這點從比較二項分布與泊松分布的概率分布表也可以

3、看出。例如，當p=0.01時，甚至n=2時，這種近似程度已經(jīng)很好了。表1說明了這一情況，其中np=0.02。表一 二項分布與泊松分布的比較2.泊松分布與正態(tài)分布之間的關(guān)系由定理1和定理2可知二項分布既可以用泊松分布近似，也可以用正態(tài)分布近似。顯然，泊松分布和正態(tài)分布在一定條件下也具有近似關(guān)系，下面的定理說明泊松分布的正態(tài)逼近。定理 對任意的ab，有，其中如前文所述，二項分布的泊松近似和正態(tài)近似各自適用的條件是不同的。當p很小時，即使n不是很大，用泊松分布近似二項分布，已經(jīng)相當吻合。但是在這種倩形下，用正態(tài)分布去近似二項分布，卻會產(chǎn)生較大的誤差。直觀上也可以想象得到，p很小，n又不大，則np=一

4、定不會很大。由上述定理可知，正態(tài)分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二項分布。在n充分大，P既不接近于0也不接近于1時(實際上最好滿足0.1p0.9)，用正態(tài)分布去近似二項分布，效果就較好。表2是用泊松分布與正態(tài)分布去近似二項分布b(n,p)的比較，其中，n=2500，p=0.02，np=50, 7?？梢?，在數(shù)值上三者是大致相等的。表二 泊松分布、正態(tài)分布、二項分布的比較由上述定理易知，泊松分布X（）當極限分布是正態(tài)分布N(,)。 綜上所訴，二項分布b(n,p)的參數(shù)n很大，p很小，而=np大小適中時，二項分布可用參數(shù)為=np的泊松分布來近似；泊松分布泊松分布X（

5、）當充分大時的極限分布是正態(tài)分布N(,)，并且泊松分布的分布函數(shù)（）與正態(tài)分布的分布函數(shù)N(,)近似相等。六、 泊松分布的應(yīng)用1. 二項分布的泊松近似常常被應(yīng)用于研究稀有事件,即每次試驗中事件出現(xiàn)的概率p很小,而貝努里試驗的次數(shù)n很大時,事件發(fā)生的概率。例1 通過某路口的每輛汽車發(fā)生事故的概率為p = 0.0001 ,假設(shè)在某路段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過此路口,試求在此時間內(nèi)發(fā)生事故次數(shù)X的概率分布和發(fā)生2次以上事故的概率。分析首先在某時間段內(nèi)發(fā)生事故是屬于稀有事件,觀察通過路口的1000輛汽車發(fā)生事故與否,可視為是n = 1000次伯努里試驗,出現(xiàn)事故的概率為p = 0.0001 ,因此

6、X是服從二項分布的,即。由于n = 1000很大,且p = 0.0001很小,上面的式子計算工作量很大,則可以用:求近似.注意到,故有.2. 泊松分布可以計算大量試驗中稀有事件出現(xiàn)頻數(shù)的概率。這里的頻數(shù)指在相同條件下, 進行大量試驗,在這大量試驗中,稀有事件發(fā)生的次數(shù)。例2 已知患色盲者占0.25 %,試求: 為發(fā)現(xiàn)一例色盲者至少要檢查25人的概率; 為使發(fā)現(xiàn)色盲者的概率不小于0.9 ,至少要對多少人的辨色力進行檢查?分析設(shè)X表示恰好發(fā)現(xiàn)一例患色盲者所需要檢查的人數(shù),則。解設(shè)至少對n 個人的辨色能力進行檢查,于是p xn0.9。從而:由,得.因此至少要檢查920人。3.泊松分布在生物學(xué)中的應(yīng)用

7、： 在生物學(xué)研究中, 服從泊松分布的隨機變量是常見的，如每升飲水中大腸桿菌數(shù), 計數(shù)器小方格中血球數(shù), 單位空間中某些野生動物或昆蟲數(shù)等都是服從泊松分布的。泊松分布在生物學(xué)領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用前景，對生物學(xué)中所涉及到的概率研究起到了重要的指導(dǎo)作用。例3：泊松分布在估計一個基因文庫所需克隆數(shù)中的應(yīng)用判斷基因克隆過程的分布情況：由于基因組DNA是從大量細胞中提取的, 每個細胞中均含有全部基因組DNA, 那么每一種限制性片段的數(shù)目是大量的, 因此可以說各限制性片段的數(shù)目是相等的。在基因克隆中,基因組DNA 用限制性酶切割后與載體混合反應(yīng)以及隨后的過程均是隨機的生化反應(yīng)過程。一, 對克隆來說一限制性片

8、段要么被克隆、要么不被克隆, 只有這兩種結(jié)果;第二, 由于總體限制性片段是大量的, 被克隆的對總體影響很小; 第三, 在克隆中一片段被克隆的概率為f( f較小) , 不被克隆的概率為1- ,f 且克隆時這兩種概率都不變。綜上所述, 基因克隆過程符合泊松分布。設(shè)p為基因被克隆的概率; N 為要求的克隆的概率為p時一個基因文庫所需含有重組DNA 的克隆數(shù); f為限制性片段的平均長度與基因組DNA 總長度之比, 若基因組DNA 被限制性酶切割成n個DNA 片段,f即。則在克隆數(shù)為N 時，任一段被克隆一次或一次以上的概率為，可推出,一般要求目的基因序列出現(xiàn)的概率p的期望值定為99%，那么。 在分子生物

9、學(xué)中，上述一個完整的基因文庫所需克隆數(shù)的估計對基因克隆實驗方案的設(shè)計具有重要意義。4. 泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用：泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，如熱電子的放射，某些激光場的分布等等都服從泊松分布。例4：對某一放射性物質(zhì)而言, 各相鄰原子群體之間, 其中一個原子核的衰變, 對相鄰的原子核而言, 可視為外界的變化, 而這種外界的變化, 不會影響相鄰原子核的衰變過程。即在某一放射性物質(zhì)中, 各個原子核的衰變過程, 互不影響, 相互獨立。因此衰變過程滿足獨立性。放射性原子核的衰變過程是一個相互彼此無關(guān)的過程，所以放射性原子核衰變的統(tǒng)計計數(shù)可以看成是一種伯努利試驗問題。若在一個原子核體系中，單位時間原子核發(fā)生衰變的概率為，則沒有發(fā)生衰變的概率為。由二項分布得到，在t時間內(nèi)的核衰變數(shù)為n的概率為。 （1）由于在放射性衰變中，原子核數(shù)目很大，而p相對很小，并且滿足，所以上式可以近似化為泊松分布，因為此時，對于附近的值可得到：帶入（1)式中得到：令，得到:,即為泊松分布。并且有。參考文獻 1 魏宗舒等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程M . 高等教育出版社.1983. 10. 2 復(fù)旦大學(xué)編. 概率論(第一冊) . 概率論基礎(chǔ)M . 人民教育出版