導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

1、最新資料推薦導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用編稿；周尚達(dá)審稿：張揚(yáng)責(zé)編：嚴(yán)春梅目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1會(huì)從幾何直觀了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）.2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件( 導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩端異號(hào)) 和充分條件（）；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）.3會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）.重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求一些函數(shù)的極值與最值。難點(diǎn)：函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系.利用導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題時(shí)有關(guān)字母討論的問題.學(xué)習(xí)策略：理解導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的必然關(guān)系。數(shù)形

2、結(jié)合，體會(huì)函數(shù)極值與最值的含義。緊緊抓住導(dǎo)函數(shù)為0 的點(diǎn)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值。知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性(一 ) 導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上，若，則在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；若，則在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)；若恒有，則在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之，若在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；若在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）注意：1因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為正時(shí)，函數(shù)1最新資料推薦在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)在某區(qū)間上，即切線斜率為負(fù)時(shí)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)；即

3、導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減。2若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使，在其余點(diǎn)恒有，則仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）。即在某區(qū)間上，在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立。在某區(qū)間上為增函數(shù)在該區(qū)間；在某區(qū)間上為減函數(shù)在該區(qū)間。在區(qū)間(a,b)內(nèi)，（或）是在區(qū)間 (a，b)內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！例如：而 f(x) 在 R 上遞增 .3只有在某區(qū)間內(nèi)恒有，這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).4注意導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系.（二）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：1.確定函數(shù)的定義域；2.求導(dǎo)數(shù)；3.在定義域內(nèi)解不等式，解出相應(yīng)的 x 的范圍；當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；

4、當(dāng)時(shí)在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù).或者令，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根。把這些實(shí)數(shù)根和函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義2最新資料推薦區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，判斷在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)。4. 寫出的單調(diào)區(qū)間 .注意：1求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集。2求單調(diào)區(qū)間常常通過列表的方法進(jìn)行求解，使解題思路步驟更加清晰、明確。知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)的極值（一）函數(shù)的極值的定義一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，（ 1）若對(duì)于附近的所有點(diǎn)， 都有，則是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作；（ 2）若對(duì)附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作.極大值與極小值統(tǒng)

5、稱極值.在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.注意： 由函數(shù)的極值定義可知：（ 1）在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)y=f(x) 在 x=x0 及其附近有定義，否則無從比較 .（ 2）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，是一個(gè)局部概念；在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)可能有多個(gè)極值，也可能無極值 .由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小.（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值.極小值不一定是整個(gè)定義區(qū)間上的最小值.（ 4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部

6、，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn).（二）求函數(shù)極值的的基本步驟：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；3最新資料推薦檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)， 則 f(x) 在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則 f(x) 在這個(gè)根處取得極小值.(最好通過列表法)注意：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)函數(shù)為0 的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0 的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).即是可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的必要非充分條件.例如函數(shù)y=x 3，在 x=0 處，但x=0 不是函數(shù)的極值點(diǎn) .可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充要條件是且在兩側(cè)，的符號(hào)相異。知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)的最值（一）函數(shù)的最

7、大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值.如.注意：函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得。函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只有一個(gè)。（二）求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)在閉區(qū)間有定義， 在開區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)， 則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（ 1）求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)；（ 2）求方程在內(nèi)的根；（3）求在內(nèi)使的所有點(diǎn)的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，；（ 4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值 .4最新資料推薦注意：求函數(shù)的最值時(shí)，不需要對(duì)導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)討論其是極大還是

8、極小值，只需將導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可。若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲担瑒t這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?.（三）最值理論的應(yīng)用解決有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問題，導(dǎo)數(shù)的理論是有力的工具，基本解題思路為：（ 1）認(rèn)知、立式：分析、認(rèn)知實(shí)際問題中各個(gè)變量之間的聯(lián)系，引入變量，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系；（ 2）探求最值：立足函數(shù)的定義域，探求函數(shù)的最值；（ 3）檢驗(yàn)、作答：利用實(shí)際意義檢查（ 2）的結(jié)果，并回答所提出的問題，特殊地，如果所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)滿足，并且在點(diǎn)處有極大（小）值，而所給實(shí)際問題又必有最大（?。┲?，那么上述極大（?。┲当闶亲畲螅ㄐ。┲?規(guī)律方法指導(dǎo)1利用

9、導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意的問題利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 首先要確定函數(shù)的定義域 D ，并且解決問題的過程中始終立足于定義域 D. 若由不等式確定的 x 的取值集合為A，由確定的 x 的取值范圍為 B ，則應(yīng)有.如.在區(qū)間 (a,b)內(nèi)，（或）是在區(qū)間 (a， b)內(nèi)單調(diào)遞增（或減）的充分不必要條件！即在某區(qū)間上，在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立。在某區(qū)間上為增函數(shù)在該區(qū)間；在某區(qū)間上為減函數(shù)在該區(qū)間。5最新資料推薦2最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)的最大值和最小值是比較整個(gè)定義域上的函數(shù)值得出的（具有絕對(duì)性），是整個(gè)定義域上的整體性概念。最大值是函數(shù)在整個(gè)定義域上所有

10、函數(shù)值中的最大值；最小值是函數(shù)在整個(gè)定義域上所有函數(shù)值中的最小值.函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的（具有相對(duì)性） ，是局部的概念；極值可以有多個(gè)，最大 (小 )值若存在只有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，不能在區(qū)間端點(diǎn)取得；最大（小）值可能是某個(gè)極大（?。┲担部赡苁菂^(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；有極值的函數(shù)不一定有最值，有最值的函數(shù)未必有極值，極值可能成為最值.經(jīng)典例題透析類型一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題1設(shè)函數(shù)的圖象與直線相切于點(diǎn)（ 1，11） .（ 1）求 a， b 的值；（ 2）討論函數(shù)的單調(diào)性 .思路點(diǎn)撥： 先求函數(shù)的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析：（ 1）

11、的圖象與直線相切于點(diǎn)（ 1， 11） .，即解之得 a=1， b= 3.（ 2）由（ 1），得.令，解得 x 3 或 x 1.令，解得 1 x3.當(dāng) x（， 1）和 x（ 3， +）時(shí)，是增函數(shù) .當(dāng) x（ 1， 3）時(shí)，是減函數(shù) .總結(jié)升華： 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟：6最新資料推薦 確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；在定義域內(nèi)解不等式，解出相應(yīng)的x 的范圍；當(dāng)時(shí)，在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù).寫出的單調(diào)區(qū)間 .舉一反三：【變式 1】求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】令，解得：或，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.【變式 2】當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).【答案】，故函數(shù)在上是單調(diào)遞

12、減函數(shù).【變式 3】在下列所給區(qū)間中，使函數(shù)是增函數(shù)的區(qū)間為（） .AB CD【答案】 B ；7最新資料推薦解析：，若在某區(qū)間是增函數(shù)，只需在此區(qū)間大于等于0 （不恒等于0）即可 .只有當(dāng)時(shí)恒成立 .只有 B 符合題意，2已知 a R，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .思路點(diǎn)撥： 已知函數(shù)解析式中含字母，需分類討論.解析：.（ 1）當(dāng) a=0 時(shí)，若 x 0，則；若 x 0，則.所以，當(dāng)a=0 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（， 0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0， +）內(nèi)為增函數(shù).（ 2）當(dāng) a 0 時(shí)，由 2x+ax 2 0，解得或 x 0；由 2x+ax 2 0，解得.所以，當(dāng)a0 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)

13、，在區(qū)間（0， +）內(nèi)為增函數(shù).（ 3）當(dāng) a 0 時(shí)，由 2x+ax 2 0，解得；由 2x+ax 2 0，解得 x 0 或.所以，當(dāng)a0 時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù) .8最新資料推薦舉一反三：【變式 1】設(shè)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a 的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間 .【答案】（ 1）當(dāng)時(shí)，則恒成立，此時(shí) f(x) 在 R 上為單調(diào)函數(shù)，只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間為，不合題意；（ 2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，增區(qū)間為：；減區(qū)間為：，.【變式 2】已知 f(x)=x2+1, g(x)=x 4+2x2+2 且 F(x)=g(x)-lf(x),試問：是否存在實(shí)數(shù)

14、l ，使 F(x) 在 (- ,-1) 上是減函數(shù)，且在 (-1,0) 上是增函數(shù) .【答案】 假設(shè)存在實(shí)數(shù) l 滿足題設(shè) .F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x 4-(l-2)x2+(2-l),F (x)=4x 3-2(l-2)x,令 4x3-2(l-2)x=0,（ 1）若 l 2，則 x=0.當(dāng) x (- ,0) 時(shí)， F (x) 0；當(dāng) x (0,+ ) 時(shí)， F (x) 0. F(x) 在(- ,0) 上單調(diào)遞減， 在(0,+ ) 上單調(diào)遞增，顯然不符合題設(shè).（ 2）若 l 2，則 x=0 或，9最新資料推薦當(dāng)時(shí)， F (x) 0；當(dāng)時(shí)，F(xiàn) (x)

15、0；當(dāng)時(shí)， F (x) 0；當(dāng)時(shí)， F(x) 0. F(x) 的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，.要使 F(x) 在 (- ,-1) 上是減函數(shù)，且在(-1,0)上是增函數(shù)，則，即 l=4.故存在實(shí)數(shù)l=4 ，使 F(x) 在 (- ,-1)上是減函數(shù)， 且在 (-1,0)上是增函數(shù) .類型二：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題3求函數(shù)的極值 .解析：令，解得，或當(dāng) x 變化時(shí)，與的變化情況如下表：3(3 ， + )+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.總結(jié)升華： 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟：確定函數(shù)的定義域；10最新資料推薦求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；列表，檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正

16、右負(fù)，則f(x) 在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(x)在這個(gè)根處取得極小值.舉一反三：【變式 1】函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間（a， b），導(dǎo)函數(shù)在（ a， b）內(nèi)的圖如圖所示，則函數(shù)在（ a， b）內(nèi)的極小值有（）A 1 個(gè)B 2 個(gè)C 3 個(gè)D 4 個(gè)【答案】 由極小值的定義，只有點(diǎn)B 是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故選A?！咀兪?2】求函數(shù)的極值 .【答案】令，解得或當(dāng) x 變化時(shí)，與的變化情況如下表：1(1 ， + )+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.11最新資料推薦4.已知函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)以及的極大值和極小值.思路點(diǎn)撥：先求函數(shù)的表達(dá)式，再求極值.解析：依題意，即，令，

17、得 x=-1 或 x=1，當(dāng) x 變化時(shí)，與的變化情況如下表：1(1 ， + )+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.總結(jié)升華： 利用“在處取得極值，則必有導(dǎo)數(shù)”是本題的破題關(guān)鍵.舉一反三：【變式 1】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 處有極值 10，求 a,b 的值 .【答案】依題意得方程組解得.當(dāng) a=-3,b=3 時(shí)，令得 x=1.12最新資料推薦x(- ,1)1(1,+)+0+無極值顯然 a=-3, b=3不合題意，舍去 .當(dāng) a=4, b=-112時(shí)， f (x)=3x+8x-11=(x-1)(3x+11)令得或 x=1.x1（ 1，+）+0-0+極

18、大值極小值f(x)在 x=1 處有極小值10，合題意， a=4, b=-11.【變式 2】已知函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得極值，并且極大值比極小值大4.（ 1）求常數(shù)的值；（ 2）求的極值 .【答案】，令得方程在處取得極值或?yàn)樯鲜龇匠痰母?，即?dāng)時(shí)，（不符合題意）當(dāng)時(shí)，當(dāng) x 變化時(shí)，與的變化情況如下表：1(1 ， +)13最新資料推薦+00+極大值極小值在處取得極大值，在處取得極小值.由題意得， 整理得，又聯(lián)立，解得，由表知道：，當(dāng)時(shí)，當(dāng) x 變化時(shí)，與的變化情況如下表：當(dāng) x 變化時(shí)，與的變化情況如下表：1(1 ， + )-0+0-極小值極大值在處取得極小值，在處取得極大值.由題意得， 整理得，又

19、聯(lián)立，解得，綜上可得：（），或，（）當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，【變式 3】已知函數(shù)，其中 a R.14最新資料推薦（ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ 2）當(dāng) a 0 時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】（ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，又，.所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即 6x+25y 32=0.（ 2）.由于 a 0，令，得到 x1=a，以下分兩種情況討論.當(dāng) a 0 時(shí)，當(dāng) x 變化時(shí)，的變化情況如下表：x（， a）a00極大值極小值所以在區(qū)間（， a），內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù) .函數(shù)在處取得極小值且.函數(shù)在 x=a 處取得極大值，且.當(dāng) a 0 時(shí)，當(dāng) x 變化時(shí)，的變化情況如下表：

20、15最新資料推薦x）00極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù) .函數(shù)在處取得極小值且.函數(shù)在 x=a 處取得極大值，且.類型三：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題5求函數(shù)在 0 ， 2 上的最大值和最小值.解析：，令，化簡為x2+x 2=0.解得 x= 2（舍去）或x=1.，又因?yàn)?，所以為函?shù)在 0 ， 2 上的最小值，為函數(shù)在 0 ，2 上的最大值 .總結(jié)升華：函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值，且最值一定在極值16最新資料推薦點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間最值的一般步驟可簡化為：（ 1）求；（ 2）令，解出在上的點(diǎn)，求出其相應(yīng)的函數(shù)值；（ 3）求兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)

21、所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；（4）比較這些函數(shù)值的大小，最大的是函數(shù)的最大值，最小的是函數(shù)的最小值 .若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大（?。┲担瑒t這一極大（?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?.舉一反三：【變式 1】求函數(shù) f(x)=3x-x3 在閉區(qū)間的最大值和最小值 .【答案】 f (x)=3-3x2, 令 f (x)=0,則 x=-1或 x=1.又 f(-1)=-2, f(1)=2, f(x)=2, f(x)min=-18.max【變式 2】 f(x)=x3-3x 2+2 在區(qū)間 -1,1上的最大值是（）(A)-2(B)0(C)2(D)4【答案】 f (x)=3x 2-6x=3x(x-2)又 f(-1)=-2

22、；f(1)=0所以當(dāng) x 0 時(shí)， f(x)，令 f (x)=0可得 x 0 或 2（ 2 舍去）。；f(0)=2；取得最大值為2，選 C【變式 3】設(shè)函數(shù)求的最小值 ;【答案】 函數(shù) f （x）的定義域?yàn)椋?， 1）令17最新資料推薦當(dāng)時(shí)，,在區(qū)間是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，,在區(qū)間是增函數(shù) .在時(shí)取得最小值且最小值為類型四：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用6設(shè)函數(shù) f(x)=ax3+bx+c(a 0) 為奇函數(shù)， 其圖象在點(diǎn) (1 ，f(1)處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)的最小值為 -12( ) 求 a,b,c的值；( ) 求函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在 -1,3上的最大值和最

23、小值.解析：( ) f(x)為奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)即 -ax 3-bx+c=-ax 3-bx-c ， c=0的最小值為 -12 ， b=-12 且又直線 x-6y-7=0的斜率為因此， a=2,a=2,b=-12,c=0( )f(x)=2x3-12x ，列表如下：x+0-0+極大極小所以函數(shù)f(x) 的單調(diào)增區(qū)間是f(-1)=10， f(3)=18f(x)在 -1,3上的最大值是f(3)=18 ，最小值是18最新資料推薦舉一反三：【變式 1】已知，函數(shù)在 -1 ， 1 上有最大值1，最小值，求常數(shù)a,b 的值 .【答案】 f (x)=3x 2-3ax=3x(x-a).令 f (x)=

24、0 得 x=0 或 x=a.x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1+0-0+極小值極大值 b函數(shù) f(x)最大值只可能在x=0 或 x=1 處獲得。由， ， f(0)-f(1) 0, 即 f(0)=b 是 f(x) 最大值 b=1函數(shù) f(x)最小值只可能在x=-1 或 x=a 處獲得 .， a-2 0, a(a+2)+1 0. f(a)-f(-1) 0，即是最小值，19最新資料推薦綜上， b=1.【變式 2】已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。（ I ）求的解析式；（ II ）是否存在實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說

25、明理由。解析：（ I ）是二次函數(shù)，且的解集是可設(shè)在區(qū)間上的最大值是由已知，得（ II ）方程等價(jià)于方程設(shè)則當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，20最新資料推薦所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。7設(shè)函數(shù) f(x) (x 1)ln(x 1) ，若對(duì)所有的x 0，都有 f(x) ax 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解法一： 令 g(x) (x 1)ln(x 1) ax，對(duì)函數(shù) g(x) 求導(dǎo)數(shù)： g(x) ln(x 1) 1 a令 g(x) 0，解得 xea 1 1，(i) 當(dāng) a 1 時(shí)，對(duì)所有 x 0，g (x) 0，所

26、以 g(x) 在 0 ， ) 上是增函數(shù)，又 g(0) 0，所以對(duì) x 0，都有 g(x) g(0) ，即當(dāng) a 1 時(shí)，對(duì)于所有x 0，都有 f(x)ax(ii)當(dāng) a 1 時(shí)，對(duì)于 0x ea1 1， g(x) 0，所以 g(x) 在 (0 ， ea 1 1)是減函數(shù)，又 g(0) 0，所以對(duì) 0 x ea 11，都有 g(x) g(0) ，即當(dāng) a 1 時(shí)，對(duì)所有的 x 0，都有 f(x) ax 成立綜上， a 的取值范圍是（， 1 解法二： 令 g(x) (x 1)ln(x 1) ax，于是不等式 f(x) ax 成立即為 g(x) g(0) 成立對(duì)函數(shù) g(x) 求導(dǎo)數(shù)： g(x) ln(x 1) 1 a令 g(x) 0，解得 xea 1 1，當(dāng) x e a 1 1 時(shí)， g(x) 0，g(x) 為增函數(shù)，當(dāng) 1 x ea1 1， g(x) 0，g(x) 為減函數(shù)，所以要對(duì)所有 x0 都有 g(x) g(0) 充要條件為 ea 1 1 0由此得 a 1，即 a 的取值范圍是（，1 舉一反三：【變式 1】已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+1，若 f(x)在（ 0， 1）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .【答案】 f (x)=3ax 2+2x， f(x) 在（ 0，1）上是增函數(shù)， x（ 0，