導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用_第1頁
導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用_第2頁
導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用_第3頁
導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用_第4頁
導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用_第5頁
已閱讀5頁,還剩20頁未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

1、最新資料推薦導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用編稿;周尚達(dá)審稿:張揚(yáng)責(zé)編:嚴(yán)春梅目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo):1會(huì)從幾何直觀了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件( 導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩端異號(hào)) 和充分條件();會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).3會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).重點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;會(huì)求一些函數(shù)的極值與最值。難點(diǎn):函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系.利用導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問題時(shí)有關(guān)字母討論的問題.學(xué)習(xí)策略:理解導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的必然關(guān)系。數(shù)形

2、結(jié)合,體會(huì)函數(shù)極值與最值的含義。緊緊抓住導(dǎo)函數(shù)為0 的點(diǎn),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值。知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一:函數(shù)的單調(diào)性(一 ) 導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性:一般地,設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),則在這個(gè)區(qū)間上,若,則在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù);若,則在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù);若恒有,則在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之,若在某區(qū)間上單調(diào)遞增,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于0);若在某區(qū)間上單調(diào)遞減,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于0)注意:1因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率,故當(dāng)在某區(qū)間上,即切線斜率為正時(shí),函數(shù)1最新資料推薦在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù);當(dāng)在某區(qū)間上,即切線斜率為負(fù)時(shí),函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù);即

3、導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減。2若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使,在其余點(diǎn)恒有,則仍為增函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似)。即在某區(qū)間上,在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù);在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù),但反之不成立。在某區(qū)間上為增函數(shù)在該區(qū)間;在某區(qū)間上為減函數(shù)在該區(qū)間。在區(qū)間(a,b)內(nèi),(或)是在區(qū)間 (a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(或減)的充分不必要條件!例如:而 f(x) 在 R 上遞增 .3只有在某區(qū)間內(nèi)恒有,這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).4注意導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間關(guān)系.(二)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟:1.確定函數(shù)的定義域;2.求導(dǎo)數(shù);3.在定義域內(nèi)解不等式,解出相應(yīng)的 x 的范圍;當(dāng)時(shí),在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù);

4、當(dāng)時(shí)在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù).或者令,求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根。把這些實(shí)數(shù)根和函數(shù)的間斷點(diǎn)(即的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)按從小到大的順序排列起來,然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義2最新資料推薦區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間,判斷在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)。4. 寫出的單調(diào)區(qū)間 .注意:1求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí),要注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集。2求單調(diào)區(qū)間常常通過列表的方法進(jìn)行求解,使解題思路步驟更加清晰、明確。知識(shí)點(diǎn)二:函數(shù)的極值(一)函數(shù)的極值的定義一般地,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義,( 1)若對(duì)于附近的所有點(diǎn), 都有,則是函數(shù)的一個(gè)極大值,記作;( 2)若對(duì)附近的所有點(diǎn),都有,則是函數(shù)的一個(gè)極小值,記作.極大值與極小值統(tǒng)

5、稱極值.在定義中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值,極值指的是函數(shù)值.注意: 由函數(shù)的極值定義可知:( 1)在函數(shù)的極值定義中,一定要明確函數(shù)y=f(x) 在 x=x0 及其附近有定義,否則無從比較 .( 2)函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的,是一個(gè)局部概念;在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)可能有多個(gè)極值,也可能無極值 .由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小.(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值.極小值不一定是整個(gè)定義區(qū)間上的最小值.( 4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部

6、,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點(diǎn).(二)求函數(shù)極值的的基本步驟:確定函數(shù)的定義域;求導(dǎo)數(shù);求方程的根;3最新資料推薦檢查在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù), 則 f(x) 在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,則 f(x) 在這個(gè)根處取得極小值.(最好通過列表法)注意:可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)函數(shù)為0 的點(diǎn),但導(dǎo)數(shù)為0 的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).即是可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的必要非充分條件.例如函數(shù)y=x 3,在 x=0 處,但x=0 不是函數(shù)的極值點(diǎn) .可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充要條件是且在兩側(cè),的符號(hào)相異。知識(shí)點(diǎn)三:函數(shù)的最值(一)函數(shù)的最

7、大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上必有最大值和最小值;在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值.如.注意:函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得。函數(shù)的極值可以有多個(gè),但最值只有一個(gè)。(二)求函數(shù)最值的的基本步驟:若函數(shù)在閉區(qū)間有定義, 在開區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù), 則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下:( 1)求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù);( 2)求方程在內(nèi)的根;(3)求在內(nèi)使的所有點(diǎn)的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,;( 4)比較上面所求的值,其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值,最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值 .4最新資料推薦注意:求函數(shù)的最值時(shí),不需要對(duì)導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)討論其是極大還是

8、極小值,只需將導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可。若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且有唯一的極大(?。┲担瑒t這一極大(?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?.(三)最值理論的應(yīng)用解決有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問題,導(dǎo)數(shù)的理論是有力的工具,基本解題思路為:( 1)認(rèn)知、立式:分析、認(rèn)知實(shí)際問題中各個(gè)變量之間的聯(lián)系,引入變量,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系;( 2)探求最值:立足函數(shù)的定義域,探求函數(shù)的最值;( 3)檢驗(yàn)、作答:利用實(shí)際意義檢查( 2)的結(jié)果,并回答所提出的問題,特殊地,如果所得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)滿足,并且在點(diǎn)處有極大(小)值,而所給實(shí)際問題又必有最大(?。┲?,那么上述極大(?。┲当闶亲畲螅ㄐ。┲?規(guī)律方法指導(dǎo)1利用

9、導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意的問題利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 首先要確定函數(shù)的定義域 D ,并且解決問題的過程中始終立足于定義域 D. 若由不等式確定的 x 的取值集合為A,由確定的 x 的取值范圍為 B ,則應(yīng)有.如.在區(qū)間 (a,b)內(nèi),(或)是在區(qū)間 (a, b)內(nèi)單調(diào)遞增(或減)的充分不必要條件!即在某區(qū)間上,在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù);在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù),但反之不成立。在某區(qū)間上為增函數(shù)在該區(qū)間;在某區(qū)間上為減函數(shù)在該區(qū)間。5最新資料推薦2最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)的最大值和最小值是比較整個(gè)定義域上的函數(shù)值得出的(具有絕對(duì)性),是整個(gè)定義域上的整體性概念。最大值是函數(shù)在整個(gè)定義域上所有

10、函數(shù)值中的最大值;最小值是函數(shù)在整個(gè)定義域上所有函數(shù)值中的最小值.函數(shù)的極大值與極小值是比較極值點(diǎn)附近兩側(cè)的函數(shù)值而得出的(具有相對(duì)性) ,是局部的概念;極值可以有多個(gè),最大 (小 )值若存在只有一個(gè);極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,不能在區(qū)間端點(diǎn)取得;最大(小)值可能是某個(gè)極大(?。┲担部赡苁菂^(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值;有極值的函數(shù)不一定有最值,有最值的函數(shù)未必有極值,極值可能成為最值.經(jīng)典例題透析類型一:利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題1設(shè)函數(shù)的圖象與直線相切于點(diǎn)( 1,11) .( 1)求 a, b 的值;( 2)討論函數(shù)的單調(diào)性 .思路點(diǎn)撥: 先求函數(shù)的表達(dá)式,再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析:( 1)

11、的圖象與直線相切于點(diǎn)( 1, 11) .,即解之得 a=1, b= 3.( 2)由( 1),得.令,解得 x 3 或 x 1.令,解得 1 x3.當(dāng) x(, 1)和 x( 3, +)時(shí),是增函數(shù) .當(dāng) x( 1, 3)時(shí),是減函數(shù) .總結(jié)升華: 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟:6最新資料推薦 確定函數(shù)的定義域;求導(dǎo)數(shù);在定義域內(nèi)解不等式,解出相應(yīng)的x 的范圍;當(dāng)時(shí),在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù);當(dāng)時(shí)在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù).寫出的單調(diào)區(qū)間 .舉一反三:【變式 1】求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】令,解得:或,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,.【變式 2】當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù).【答案】,故函數(shù)在上是單調(diào)遞

12、減函數(shù).【變式 3】在下列所給區(qū)間中,使函數(shù)是增函數(shù)的區(qū)間為() .AB CD【答案】 B ;7最新資料推薦解析:,若在某區(qū)間是增函數(shù),只需在此區(qū)間大于等于0 (不恒等于0)即可 .只有當(dāng)時(shí)恒成立 .只有 B 符合題意,2已知 a R,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .思路點(diǎn)撥: 已知函數(shù)解析式中含字母,需分類討論.解析:.( 1)當(dāng) a=0 時(shí),若 x 0,則;若 x 0,則.所以,當(dāng)a=0 時(shí),函數(shù)在區(qū)間(, 0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0, +)內(nèi)為增函數(shù).( 2)當(dāng) a 0 時(shí),由 2x+ax 2 0,解得或 x 0;由 2x+ax 2 0,解得.所以,當(dāng)a0 時(shí),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)

13、,在區(qū)間(0, +)內(nèi)為增函數(shù).( 3)當(dāng) a 0 時(shí),由 2x+ax 2 0,解得;由 2x+ax 2 0,解得 x 0 或.所以,當(dāng)a0 時(shí),函數(shù)在區(qū)間(,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù) .8最新資料推薦舉一反三:【變式 1】設(shè)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,試確定a 的取值范圍,并求其單調(diào)區(qū)間 .【答案】( 1)當(dāng)時(shí),則恒成立,此時(shí) f(x) 在 R 上為單調(diào)函數(shù),只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間為,不合題意;( 2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,增區(qū)間為:;減區(qū)間為:,.【變式 2】已知 f(x)=x2+1, g(x)=x 4+2x2+2 且 F(x)=g(x)-lf(x),試問:是否存在實(shí)數(shù)

14、l ,使 F(x) 在 (- ,-1) 上是減函數(shù),且在 (-1,0) 上是增函數(shù) .【答案】 假設(shè)存在實(shí)數(shù) l 滿足題設(shè) .F(x)=g(x)-lf(x)=(x4+2x2+2)-l(x2+1)=x 4-(l-2)x2+(2-l),F (x)=4x 3-2(l-2)x,令 4x3-2(l-2)x=0,( 1)若 l 2,則 x=0.當(dāng) x (- ,0) 時(shí), F (x) 0;當(dāng) x (0,+ ) 時(shí), F (x) 0. F(x) 在(- ,0) 上單調(diào)遞減, 在(0,+ ) 上單調(diào)遞增,顯然不符合題設(shè).( 2)若 l 2,則 x=0 或,9最新資料推薦當(dāng)時(shí), F (x) 0;當(dāng)時(shí),F(xiàn) (x)

15、0;當(dāng)時(shí), F (x) 0;當(dāng)時(shí), F(x) 0. F(x) 的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,.要使 F(x) 在 (- ,-1) 上是減函數(shù),且在(-1,0)上是增函數(shù),則,即 l=4.故存在實(shí)數(shù)l=4 ,使 F(x) 在 (- ,-1)上是減函數(shù), 且在 (-1,0)上是增函數(shù) .類型二:利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題3求函數(shù)的極值 .解析:令,解得,或當(dāng) x 變化時(shí),與的變化情況如下表:3(3 , + )+00+極大值極小值在處取得極大值,在處取得極小值.總結(jié)升華: 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟:確定函數(shù)的定義域;10最新資料推薦求導(dǎo)數(shù);求方程的根;列表,檢查在方程根左右的值的符號(hào),如果左正

16、右負(fù),則f(x) 在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,則f(x)在這個(gè)根處取得極小值.舉一反三:【變式 1】函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間(a, b),導(dǎo)函數(shù)在( a, b)內(nèi)的圖如圖所示,則函數(shù)在( a, b)內(nèi)的極小值有()A 1 個(gè)B 2 個(gè)C 3 個(gè)D 4 個(gè)【答案】 由極小值的定義,只有點(diǎn)B 是函數(shù)的極小值點(diǎn),故選A?!咀兪?2】求函數(shù)的極值 .【答案】令,解得或當(dāng) x 變化時(shí),與的變化情況如下表:1(1 , + )+00+極大值極小值在處取得極大值,在處取得極小值.11最新資料推薦4.已知函數(shù)在處取得極值,求函數(shù)以及的極大值和極小值.思路點(diǎn)撥:先求函數(shù)的表達(dá)式,再求極值.解析:依題意,即,令,

17、得 x=-1 或 x=1,當(dāng) x 變化時(shí),與的變化情況如下表:1(1 , + )+00+極大值極小值在處取得極大值,在處取得極小值.總結(jié)升華: 利用“在處取得極值,則必有導(dǎo)數(shù)”是本題的破題關(guān)鍵.舉一反三:【變式 1】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 處有極值 10,求 a,b 的值 .【答案】依題意得方程組解得.當(dāng) a=-3,b=3 時(shí),令得 x=1.12最新資料推薦x(- ,1)1(1,+)+0+無極值顯然 a=-3, b=3不合題意,舍去 .當(dāng) a=4, b=-112時(shí), f (x)=3x+8x-11=(x-1)(3x+11)令得或 x=1.x1( 1,+)+0-0+極

18、大值極小值f(x)在 x=1 處有極小值10,合題意, a=4, b=-11.【變式 2】已知函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得極值,并且極大值比極小值大4.( 1)求常數(shù)的值;( 2)求的極值 .【答案】,令得方程在處取得極值或?yàn)樯鲜龇匠痰母?,即?dāng)時(shí),(不符合題意)當(dāng)時(shí),當(dāng) x 變化時(shí),與的變化情況如下表:1(1 , +)13最新資料推薦+00+極大值極小值在處取得極大值,在處取得極小值.由題意得, 整理得,又聯(lián)立,解得,由表知道:,當(dāng)時(shí),當(dāng) x 變化時(shí),與的變化情況如下表:當(dāng) x 變化時(shí),與的變化情況如下表:1(1 , + )-0+0-極小值極大值在處取得極小值,在處取得極大值.由題意得, 整理得,又

19、聯(lián)立,解得,綜上可得:(),或,()當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),【變式 3】已知函數(shù),其中 a R.14最新資料推薦( 1)當(dāng) a=1 時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;( 2)當(dāng) a 0 時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】( 1)當(dāng) a=1 時(shí),又,.所以,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即 6x+25y 32=0.( 2).由于 a 0,令,得到 x1=a,以下分兩種情況討論.當(dāng) a 0 時(shí),當(dāng) x 變化時(shí),的變化情況如下表:x(, a)a00極大值極小值所以在區(qū)間(, a),內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù) .函數(shù)在處取得極小值且.函數(shù)在 x=a 處取得極大值,且.當(dāng) a 0 時(shí),當(dāng) x 變化時(shí),的變化情況如下表:

20、15最新資料推薦x)00極小值極大值所以在區(qū)間,內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù) .函數(shù)在處取得極小值且.函數(shù)在 x=a 處取得極大值,且.類型三:利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題5求函數(shù)在 0 , 2 上的最大值和最小值.解析:,令,化簡為x2+x 2=0.解得 x= 2(舍去)或x=1.,又因?yàn)?,所以為函?shù)在 0 , 2 上的最小值,為函數(shù)在 0 ,2 上的最大值 .總結(jié)升華:函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上必有最大值和最小值,且最值一定在極值16最新資料推薦點(diǎn)或端點(diǎn)處取得,因此,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間最值的一般步驟可簡化為:( 1)求;( 2)令,解出在上的點(diǎn),求出其相應(yīng)的函數(shù)值;( 3)求兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)

21、所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值;(4)比較這些函數(shù)值的大小,最大的是函數(shù)的最大值,最小的是函數(shù)的最小值 .若在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且有唯一的極大(?。┲担瑒t這一極大(?。┲导礊樽畲螅ㄐ。┲?.舉一反三:【變式 1】求函數(shù) f(x)=3x-x3 在閉區(qū)間的最大值和最小值 .【答案】 f (x)=3-3x2, 令 f (x)=0,則 x=-1或 x=1.又 f(-1)=-2, f(1)=2, f(x)=2, f(x)min=-18.max【變式 2】 f(x)=x3-3x 2+2 在區(qū)間 -1,1上的最大值是()(A)-2(B)0(C)2(D)4【答案】 f (x)=3x 2-6x=3x(x-2)又 f(-1)=-2

22、;f(1)=0所以當(dāng) x 0 時(shí), f(x),令 f (x)=0可得 x 0 或 2( 2 舍去)。;f(0)=2;取得最大值為2,選 C【變式 3】設(shè)函數(shù)求的最小值 ;【答案】 函數(shù) f (x)的定義域?yàn)椋?, 1)令17最新資料推薦當(dāng)時(shí),,在區(qū)間是減函數(shù);當(dāng)時(shí),,在區(qū)間是增函數(shù) .在時(shí)取得最小值且最小值為類型四:導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用6設(shè)函數(shù) f(x)=ax3+bx+c(a 0) 為奇函數(shù), 其圖象在點(diǎn) (1 ,f(1)處的切線與直線x-6y-7=0垂直,導(dǎo)函數(shù)的最小值為 -12( ) 求 a,b,c的值;( ) 求函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間,并求函數(shù)f(x)在 -1,3上的最大值和最

23、小值.解析:( ) f(x)為奇函數(shù),f(-x)=-f(x)即 -ax 3-bx+c=-ax 3-bx-c , c=0的最小值為 -12 , b=-12 且又直線 x-6y-7=0的斜率為因此, a=2,a=2,b=-12,c=0( )f(x)=2x3-12x ,列表如下:x+0-0+極大極小所以函數(shù)f(x) 的單調(diào)增區(qū)間是f(-1)=10, f(3)=18f(x)在 -1,3上的最大值是f(3)=18 ,最小值是18最新資料推薦舉一反三:【變式 1】已知,函數(shù)在 -1 , 1 上有最大值1,最小值,求常數(shù)a,b 的值 .【答案】 f (x)=3x 2-3ax=3x(x-a).令 f (x)=

24、0 得 x=0 或 x=a.x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1+0-0+極小值極大值 b函數(shù) f(x)最大值只可能在x=0 或 x=1 處獲得。由, , f(0)-f(1) 0, 即 f(0)=b 是 f(x) 最大值 b=1函數(shù) f(x)最小值只可能在x=-1 或 x=a 處獲得 ., a-2 0, a(a+2)+1 0. f(a)-f(-1) 0,即是最小值,19最新資料推薦綜上, b=1.【變式 2】已知是二次函數(shù),不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。( I )求的解析式;( II )是否存在實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說

25、明理由。解析:( I )是二次函數(shù),且的解集是可設(shè)在區(qū)間上的最大值是由已知,得( II )方程等價(jià)于方程設(shè)則當(dāng)時(shí),是減函數(shù);當(dāng)時(shí),是增函數(shù)。方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根,而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根,20最新資料推薦所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。7設(shè)函數(shù) f(x) (x 1)ln(x 1) ,若對(duì)所有的x 0,都有 f(x) ax 成立,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解法一: 令 g(x) (x 1)ln(x 1) ax,對(duì)函數(shù) g(x) 求導(dǎo)數(shù): g(x) ln(x 1) 1 a令 g(x) 0,解得 xea 1 1,(i) 當(dāng) a 1 時(shí),對(duì)所有 x 0,g (x) 0,所

26、以 g(x) 在 0 , ) 上是增函數(shù),又 g(0) 0,所以對(duì) x 0,都有 g(x) g(0) ,即當(dāng) a 1 時(shí),對(duì)于所有x 0,都有 f(x)ax(ii)當(dāng) a 1 時(shí),對(duì)于 0x ea1 1, g(x) 0,所以 g(x) 在 (0 , ea 1 1)是減函數(shù),又 g(0) 0,所以對(duì) 0 x ea 11,都有 g(x) g(0) ,即當(dāng) a 1 時(shí),對(duì)所有的 x 0,都有 f(x) ax 成立綜上, a 的取值范圍是(, 1 解法二: 令 g(x) (x 1)ln(x 1) ax,于是不等式 f(x) ax 成立即為 g(x) g(0) 成立對(duì)函數(shù) g(x) 求導(dǎo)數(shù): g(x) ln(x 1) 1 a令 g(x) 0,解得 xea 1 1,當(dāng) x e a 1 1 時(shí), g(x) 0,g(x) 為增函數(shù),當(dāng) 1 x ea1 1, g(x) 0,g(x) 為減函數(shù),所以要對(duì)所有 x0 都有 g(x) g(0) 充要條件為 ea 1 1 0由此得 a 1,即 a 的取值范圍是(,1 舉一反三:【變式 1】已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+1,若 f(x)在( 0, 1)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .【答案】 f (x)=3ax 2+2x, f(x) 在( 0,1)上是增函數(shù), x( 0,

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論