全國初中數(shù)學競賽二次函數(shù)問題

1、全國初中數(shù)學競賽二次函數(shù)歷屆考題11（2008）、已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點（5,2），且對于任意實數(shù)x的同一個值，這三個函數(shù)所對應的函數(shù)值，都有成立？若存在，求出函數(shù)的解析式；若不存在，請說明理由。解：存在滿足條件的二次函數(shù)。因為，所以，當自變量x取任意實數(shù)時，均成立。由已知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（5,2），得25當時，有，由于對于自變量取任實數(shù)時，均成立，所以有22，故由，得，所以5分當時，有，即所以，二次函數(shù)對于一切實數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故即所以當時，有，即，所以，二次函數(shù)對于一切實數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故即所以綜上，所以，存在二次函數(shù)，在實數(shù)范圍內(nèi)

2、，對于x的同一個值，都有成立。15分11（2009）函數(shù)的圖象與軸的兩個交點是否都在直線的右側(cè)？若是，請說明理由；若不一定是，請求出兩個交點都在直線的右側(cè)時k的取值范圍解：不一定，例如，當k0時，函數(shù)的圖象與x軸的交點為（0，0）和（1，0），不都在直線的右側(cè) 5分設函數(shù)與x軸的兩交點的橫坐標為，則，當且僅當滿足如下條件 10分時，拋物線與軸的兩交點都在直線的右側(cè)由 解之，得 15分所以當時，拋物線與軸的兩交點在直線的右側(cè) 20分12（2010）如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B. 已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內(nèi)，且AOB的面積為3（O為坐標原點）.（1）求實數(shù)a，b，k

3、的值；（2）過拋物線上點A作直線ACx軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足EOCAOB的點E的坐標.（第12題）解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線上，所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達式為.設點B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達式為，則有 解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標為，故，整理得，解得，或t（舍去）所以點B的坐標為（，）因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以 解得 （10分）（2）如圖，因為ACx軸，所以C（，4），于是CO4. 又BO=2，所以.（第12題）設拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D， 則點D的坐標為（，0）.因為CODBOD，所以COB=.（i）將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得

4、到.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標為（4，）.延長到點，使得=，這時點（8，）是符合條件的點.（ii）作關于x軸的對稱圖形，得到點（1，）；延長到點，使得，這時點E（2，）是符合條件的點所以，點的坐標是（8，），或（2，）. （20分）13（2011）點為軸正半軸上一點，兩點關于軸對稱，過點任作直線交拋物線于，兩點.（1）求證：=；（2）若點的坐標為（0，1），且=60，試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式. 解：（1）如圖，分別過點作軸的垂線，垂足分別為.設點的坐標為（0，），則點的坐標為（0，-）.設直線的函數(shù)解析式為,并設的坐標分別為 ,.由（第13題）得 ，于是 ，即 . 于是 又因為，所以. 因為，所以， 故=.（2） 設，不妨設0，由（1）可知=，=，=， 所以 =，=.因為，所以.于是，即，所以由（1）中，即，所以于是可求得 將代入，得到點的坐標（，）. 再將點的坐標代入，求得 所以直線的函數(shù)解析式為.11（2007）、已知拋物線C1：和拋物線C2：相交于A，B兩點。點P在拋物線C1上，且位于點