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文檔簡介
1、全國初中數(shù)學競賽二次函數(shù)歷屆考題11(2008)、已知一次函數(shù),二次函數(shù),是否存在二次函數(shù),其圖象經(jīng)過點(5,2),且對于任意實數(shù)x的同一個值,這三個函數(shù)所對應的函數(shù)值,都有成立?若存在,求出函數(shù)的解析式;若不存在,請說明理由。解:存在滿足條件的二次函數(shù)。因為,所以,當自變量x取任意實數(shù)時,均成立。由已知,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(5,2),得25當時,有,由于對于自變量取任實數(shù)時,均成立,所以有22,故由,得,所以5分當時,有,即所以,二次函數(shù)對于一切實數(shù)x,函數(shù)值大于或等于零,故即所以當時,有,即,所以,二次函數(shù)對于一切實數(shù)x,函數(shù)值大于或等于零,故即所以綜上,所以,存在二次函數(shù),在實數(shù)范圍內(nèi)
2、,對于x的同一個值,都有成立。15分11(2009)函數(shù)的圖象與軸的兩個交點是否都在直線的右側(cè)?若是,請說明理由;若不一定是,請求出兩個交點都在直線的右側(cè)時k的取值范圍解:不一定,例如,當k0時,函數(shù)的圖象與x軸的交點為(0,0)和(1,0),不都在直線的右側(cè) 5分設函數(shù)與x軸的兩交點的橫坐標為,則,當且僅當滿足如下條件 10分時,拋物線與軸的兩交點都在直線的右側(cè)由 解之,得 15分所以當時,拋物線與軸的兩交點在直線的右側(cè) 20分12(2010)如圖,拋物線(a0)與雙曲線相交于點A,B. 已知點A的坐標為(1,4),點B在第三象限內(nèi),且AOB的面積為3(O為坐標原點).(1)求實數(shù)a,b,k
3、的值;(2)過拋物線上點A作直線ACx軸,交拋物線于另一點C,求所有滿足EOCAOB的點E的坐標.(第12題)解:(1)因為點A(1,4)在雙曲線上,所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達式為.設點B(t,),AB所在直線的函數(shù)表達式為,則有 解得,.于是,直線AB與y軸的交點坐標為,故,整理得,解得,或t(舍去)所以點B的坐標為(,)因為點A,B都在拋物線(a0)上,所以 解得 (10分)(2)如圖,因為ACx軸,所以C(,4),于是CO4. 又BO=2,所以.(第12題)設拋物線(a0)與x軸負半軸相交于點D, 則點D的坐標為(,0).因為CODBOD,所以COB=.(i)將繞點O順時針旋轉(zhuǎn),得
4、到.這時,點(,2)是CO的中點,點的坐標為(4,).延長到點,使得=,這時點(8,)是符合條件的點.(ii)作關于x軸的對稱圖形,得到點(1,);延長到點,使得,這時點E(2,)是符合條件的點所以,點的坐標是(8,),或(2,). (20分)13(2011)點為軸正半軸上一點,兩點關于軸對稱,過點任作直線交拋物線于,兩點.(1)求證:=;(2)若點的坐標為(0,1),且=60,試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式. 解:(1)如圖,分別過點作軸的垂線,垂足分別為.設點的坐標為(0,),則點的坐標為(0,-).設直線的函數(shù)解析式為,并設的坐標分別為 ,.由(第13題)得 ,于是 ,即 . 于是 又因為,所以. 因為,所以, 故=.(2) 設,不妨設0,由(1)可知=,=,=, 所以 =,=.因為,所以.于是,即,所以由(1)中,即,所以于是可求得 將代入,得到點的坐標(,). 再將點的坐標代入,求得 所以直線的函數(shù)解析式為.11(2007)、已知拋物線C1:和拋物線C2:相交于A,B兩點。點P在拋物線C1上,且位于點
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