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1、全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽二次函數(shù)歷屆考題11(2008)、已知一次函數(shù),二次函數(shù),是否存在二次函數(shù),其圖象經(jīng)過點(diǎn)(5,2),且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x的同一個(gè)值,這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,都有成立?若存在,求出函數(shù)的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由。解:存在滿足條件的二次函數(shù)。因?yàn)?,所以,?dāng)自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí),均成立。由已知,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(5,2),得25當(dāng)時(shí),有,由于對(duì)于自變量取任實(shí)數(shù)時(shí),均成立,所以有22,故由,得,所以5分當(dāng)時(shí),有,即所以,二次函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,函數(shù)值大于或等于零,故即所以當(dāng)時(shí),有,即,所以,二次函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,函數(shù)值大于或等于零,故即所以綜上,所以,存在二次函數(shù),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)
2、,對(duì)于x的同一個(gè)值,都有成立。15分11(2009)函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是否都在直線的右側(cè)?若是,請(qǐng)說明理由;若不一定是,請(qǐng)求出兩個(gè)交點(diǎn)都在直線的右側(cè)時(shí)k的取值范圍解:不一定,例如,當(dāng)k0時(shí),函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為(0,0)和(1,0),不都在直線的右側(cè) 5分設(shè)函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則,當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下條件 10分時(shí),拋物線與軸的兩交點(diǎn)都在直線的右側(cè)由 解之,得 15分所以當(dāng)時(shí),拋物線與軸的兩交點(diǎn)在直線的右側(cè) 20分12(2010)如圖,拋物線(a0)與雙曲線相交于點(diǎn)A,B. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)B在第三象限內(nèi),且AOB的面積為3(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求實(shí)數(shù)a,b,k
3、的值;(2)過拋物線上點(diǎn)A作直線ACx軸,交拋物線于另一點(diǎn)C,求所有滿足EOCAOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).(第12題)解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(1,4)在雙曲線上,所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B(t,),AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為,則有 解得,.于是,直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,故,整理得,解得,或t(舍去)所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,)因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在拋物線(a0)上,所以 解得 (10分)(2)如圖,因?yàn)锳Cx軸,所以C(,4),于是CO4. 又BO=2,所以.(第12題)設(shè)拋物線(a0)與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D, 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,0).因?yàn)镃ODBOD,所以COB=.(i)將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得
4、到.這時(shí),點(diǎn)(,2)是CO的中點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,).延長(zhǎng)到點(diǎn),使得=,這時(shí)點(diǎn)(8,)是符合條件的點(diǎn).(ii)作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形,得到點(diǎn)(1,);延長(zhǎng)到點(diǎn),使得,這時(shí)點(diǎn)E(2,)是符合條件的點(diǎn)所以,點(diǎn)的坐標(biāo)是(8,),或(2,). (20分)13(2011)點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn),兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,過點(diǎn)任作直線交拋物線于,兩點(diǎn).(1)求證:=;(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),且=60,試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式. 解:(1)如圖,分別過點(diǎn)作軸的垂線,垂足分別為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,),則點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-).設(shè)直線的函數(shù)解析式為,并設(shè)的坐標(biāo)分別為 ,.由(第13題)得 ,于是 ,即 . 于是 又因?yàn)?,所? 因?yàn)椋裕?故=.(2) 設(shè),不妨設(shè)0,由(1)可知=,=,=, 所以 =,=.因?yàn)椋?于是,即,所以由(1)中,即,所以于是可求得 將代入,得到點(diǎn)的坐標(biāo)(,). 再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,求得 所以直線的函數(shù)解析式為.11(2007)、已知拋物線C1:和拋物線C2:相交于A,B兩點(diǎn)。點(diǎn)P在拋物線C1上,且位于點(diǎn)
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